2022年上海市嘉定區(qū)南翔中學中考數(shù)學診斷試卷（4月份）（解析版）

2022年上海市嘉定區(qū)南翔中學中考數(shù)學診斷試卷（4月份）

注意事項：

i.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人準考證號、姓名等信息.考

生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、

姓名是否一致.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.非選擇題答案用0.5毫米黑色墨水簽字

筆在答題卡上相應(yīng)位置書寫作答，在試題卷上答題無效.

3.作圖可先使用2B鉛筆畫出，確定后必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆描黑.

一、選擇題（共6小題，共24分）

1.下列分數(shù)中，能化為有限小數(shù)的是（）

c-7D4

2.如果a>b,c<0,那么下列不等式成立的是（）.

A.a+c>b+cB.c-a>c-bC.ac>beD.->-

cc

3.下列二次根式中，最簡二次根式的是（）

AB.C.y/5D.V50

4.拋物線y=-(x+2)2-3的頂點坐標是（)

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

5.下列命題中，真命題是（）

A.周長相等的銳角三角形都全等

B.周長相等的直角三角形都全等

C.周長相等的鈍角三角形都全等

D.周長相等的等腰直角三角形都全等

6.矩形ABC。中，48=8,BC=3遙，點P在邊AB上，且8P=

3AP,如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下

列判斷正確的是（）

A.點B,C均在圓P外

B.點B在圓P外，點C在圓P內(nèi)

C.點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外

D.點B,C均在圓P內(nèi)

二、填空題（本大題共12小題，共48分）

7.計算：a2-a3=.

8.因式分解：x2-9y2=.

9.如果關(guān)于x的方程/-2x+m=0（m為常數(shù)）有兩個相等實數(shù)根，那么m.

10.函數(shù)y=的定義域是.

11.如果反比例函數(shù)y=是常數(shù)，140）的圖象經(jīng)過點（-1,2）,那么這個函數(shù)的解

析式是.

12.一次函數(shù)y=3x-2的函數(shù)值y隨自變量%值的增大而（填“增大”或“減

小”）.

13.有8只型號相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，從中隨機抽取1

只杯子，恰好是一等品的概率是.

14.某小區(qū)2012年屋頂綠化面積為2000平方米，計劃2014年屋頂綠化面積要達到2880

平方米，如果每年屋頂綠化面積的增長率相同，那么這個增長率是

15.如圖，AM是△ABC的中線，設(shè)向量而=日，尻=3,那么向量

AM=（結(jié)果用益、b表示）.

16.如圖，點8、C、D在同一條直線上，CE〃AB,乙4cB=90。，如果NECD=36。,

那么乙4='

17.如圖，AB,4C都是圓0的弦，0Ml48,ONLAC,垂足分別

為M、N,如果MN=3,那么BC=.

18.Rt△4BC中，己知4c=90°,乙B=50°,點。在邊BC上，BD=

2CC（如圖）.把△力BC繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)m（0<m<180）度

后，如果點8恰好落在初始Rt△4BC的邊上，那么m.

DB

第2頁，共18頁

三、解答題(本大題共7小題，共49分)

19.計算：（-3）°-西+|1-&|+羨.

20.解方程組：｛/-2xy-3y2=0,

21.如圖，點C、。分別在扇形AOB的半徑。4、OB的延長線上，且。4=3,AC=2,CD

平行于4B,并與弧4B相交于點M、N.

(1)求線段。。的長；

(2)若tan4C=T，求弦MN的長.

22.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，當生產(chǎn)數(shù)量至少為10噸，但不超過50噸時，每噸的成本y(萬

元/噸)與生產(chǎn)數(shù)量x(噸)的函數(shù)關(guān)系式如圖所示.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(2)當生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本為280萬元時，求該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量.

(注：總成本=每噸的成本x生產(chǎn)數(shù)量)

23.如圖，在梯形ZBCD中，AD//BC,AB=DC,過點。作DE1

BC,垂足為E,并延長DE至F,使EF=DE.連接BF、CF、

AC.

(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形；

(2)如果DE?=BE-CE,求證：四邊形4BFC是矩形.

24.已知平面直角坐標系％0y(如圖)，一次函數(shù)y=；x+

4

3的圖象與y軸交于點4,點M在正比例函數(shù)y=|x的

圖象上，且M。=M4二次函數(shù)、=X2+/?%+(；的圖

象經(jīng)過點4、M.

(1)求線段4M的長；

(2)求這個二次函數(shù)的解析式；

(3)如果點B在y軸上，且位于點4下方，點C在上述二次函數(shù)的圖象上，點。在一次

函數(shù)y=+3的圖象上，且四邊形A8CD是菱形，求點C的坐標.

25.在Rt△力BC中，N4CB=90°,BC=30,AB=50.點P是4B邊上任意一點，直線PE1

AB,與邊4C或BC相交于E.點M在線段4P上，點N在線段BP上，EM=EN,

12

sin/EMP=

13

(1)如圖1,當點E與點C重合時，求CM的長；

(2)如圖2,當點E在邊47上時，點E不與點4、C重合，設(shè)AP=x,BN=y,求y關(guān)

于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；

(3)若△4MEsAENBO4ME的頂點4、M、E分別與△ENB的頂點E、N、B對應(yīng))，

第4頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】B

解：力,；：=0.3…故本選項錯誤；

8、：;二。.？故本選項正確；

C、；=0.142857…故本選項錯誤；

D、：=0.1…故本選項錯誤.

故選艮

本題需根據(jù)有理數(shù)的除法法則分別對每一項進行計算，即可求出結(jié)果.

本題主要考查了有理數(shù)的除法，在解題時要根據(jù)有理數(shù)的除法法則分別計算是解題的關(guān)

鍵.

2.【答案】A

解：A："a>b,a+c>b+c,故此選項正確：

B-.a>b,

:.-CL<-b,

:.-a+cV—b+c,

故此選項錯誤；

C：va>h,c<0,

???ac<be,

故此選項錯誤；

D：?：a>b,c<0,

ab

故此選項錯誤；

故選：A.

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不

變.（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.一個個篩選即可得到答案.

此題主要考查了不等式的基本性質(zhì).“0”是很特殊的一個數(shù)，因此，解答不等式的問

題時，應(yīng)密切關(guān)注“0”存在與否，以防掉進“0”的陷阱，準確把握不等式的性質(zhì)是做

題的關(guān)鍵.

3.【答案】C

解：4、/中被開方數(shù)是分數(shù)，故不是最簡二次根式；

B、瓜中被開方數(shù)是分數(shù)，故不是最簡二次根式；

C、通中被開方數(shù)不含分母，不含能開得盡方的因數(shù)，故是最簡二次根式；

D、同中含能開得盡方的因數(shù)，故不是最簡二次根式；

故選：C.

根據(jù)最簡二次根式的定義解答即可.

本題主要考查了最簡二次根式的定義，最簡二次根式滿足：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）

被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二

次根式，否則就不是.

4.【答案】D

解：???拋物線的解析式為：y=-（x+27一3,

.?.此拋物線的頂點坐標為：（-2,-3）.

故選：D.

直接根據(jù)此二次函數(shù)的頂點式進行解答即可.

本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點式是解答此題的關(guān)鍵.

5.【答案】D

解：4、周長相等的銳角三角形的對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊也不一定相等，假命題；

8、周長相等的直角三角形對應(yīng)銳角不一定相等，對應(yīng)邊也不一定相等，假命題；

C、周長相等的鈍角三角形對應(yīng)鈍角不一定相等，對應(yīng)邊也不一定相等，假命題；

。、由于等腰直角三角形三邊之比為1：1：V2,故周長相等時，等腰直角三角形的對應(yīng)

角相等，對應(yīng)邊相等，故全等，真命題.

故選D.

全等三角形必須是對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一檢驗.

本題考查了全等三角形的判定定理的運用，命題與定理的概念.關(guān)鍵是明確全等三角形

的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

6.【答案】C

第6頁，共18頁

解：如圖，

???四邊形/BCD為矩形，

:.AD=BC-3V5，

?：AB=8,BP=34P,

■1?AP=2,BP=6,

在RM4DP中，AP=2,AD=3V5，

PD=\/AP2+AD2=7，

在RMPBC中，???PB=6,BC=3V5，

APC=VPB2+BC2=9.

???PC>PD>PB,

二點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外.

故選：C.

由AB=8,BP=34P得到AP=2,BP=6,再根據(jù)勾股定理，在Rt△ADP中計算出PD=

7,在Rt△PBC中計算出PC=9,則PC>PD>PB,然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進行

判斷.

本題考查了點與圓的位置：設(shè)。。的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,則有：點P在

圓外0d>r；點P在圓上od=r；點P在圓內(nèi)0d<r.

7.【答案】a5

解：a?.=a2+3=a5.

故答案為：a5.

根據(jù)同底數(shù)的累的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加，計算即可.

熟練掌握同底數(shù)的基的乘法的運算法則是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】(x+3y)(x-3y)

解：x2—9y2=(x+3y)(x—3y).

直接利用平方差公式分解即可.

本題主要考查利用平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】1

【解析】

【分析】

本題需先根據(jù)已知條件列出關(guān)于m的等式，即可求出m的值.

本題主要考查了根的判別式，在解題時要注意對根的判別式進行靈活應(yīng)用是本題的關(guān)鍵.

【解答】

解：丫x的方程x2-2x+m=0(m為常數(shù))有兩個相等實數(shù)根

1??△=b2-4ac—(―2)2—4x1-m=0

4-4m=0

m=1

故答案為：1

10.【答案】x<3

解：依題意，得3-xNO,

解得3.

故答案為：x<3.

二次根式有意義，被開方數(shù)為非負數(shù)，BP3-x>0,解不等式即可.

本題考查了函數(shù)的自變量取值范圍的求法.關(guān)鍵是根據(jù)二次根式有意義時，被開方數(shù)為

非負數(shù)建立不等式.

11.【答案】y=~l

解：把(—1,2)代入反比例函數(shù)關(guān)系式得：k=—2,

2

???y=-7

故答案為：y=-：，

根據(jù)圖象過(-1,2)可知，此點滿足關(guān)系式，能使關(guān)系式左右兩邊相等.

此題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，是中學階段的重點.

12.【答案】增大

解：一次函數(shù)y=3x-2中，k=3>0,

函數(shù)值y隨自變量x值的增大而增大.

故答案為：增大.

根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷出一次函數(shù)y=3x-2中k的符號，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性

進行解答即可.

本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，即一次函數(shù)y=kx+b(kK0)中，k>0時，y隨x的增

第8頁，共18頁

大而增大.

13.【答案】1

O

解：在8只型號相同的杯子中，

一等品有5只，

則從中隨機抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是P=j.

O

故答案為今

共有八只型號相同的杯子，每只杯子被抽到的機會是相同的，故可用概率公式解答.

此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事

件4出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件4的概率P(4)=?

14.【答案】20%

【解析】

【分析】

此題考查了一元二次方程的應(yīng)用.對于平均增長率問題，在理解的基礎(chǔ)上，可歸結(jié)為

a(l+x)2=b(a<b)；平均降低率問題，在理解的基礎(chǔ)上，可歸結(jié)為a(l—x)2=

b(a>b).

設(shè)增長率為x,根據(jù)題意即可列出方程.

【解答】

解：設(shè)增長率為X,根據(jù)題意可列出方程為：

2000(1+%)2=2880,

(1+x)2=1.44.

1+x=±1.2.

=

所以與=0.2,x2-2.2(舍去).

故x=0.2—20%.

即：這個增長率為20%.

故答案是：20%.

15.【答案】a+^b

解：TaM是△ABC的中線，~BC=b>

BM=-2BC=-2b,

vAB-a.，

■■■AM=AB+'BM=a+-b.

2

故答案為：2+|b.

首先由AM是△力BC的中線，即可求得前的長，又由宿=荏+的，即可求得答案.

此題考查了平面向量的知識.題目難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16.【答案】54

解：???乙ECD=36°,乙ACB=90°,

Z.ACD=90°,

Z.ACE=Z.ACD-乙ECD=90°-36°=54°,

vCE//AB,

???"=AACE=54°.

故答案為：54°.

由N4CB=90。，NEC。=36。，求得/ACE的度數(shù)，又由CE〃4B,即可求得乙4的度數(shù).

此題考查了平行線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

17.【答案】6

解：???48、4c都是圓。的弦，OM1AB,ON1AC,

二M、N為AB、AC的中點，即線段MN為△ABC的中位線，

BC=2MN=6.

故答案為：6.

由ZB、AC都是圓0的弦，0M14B,ONA.AC,根據(jù)垂徑定理可知M、N為AB、AC的

中點，線段MN為△力BC的中位線，根據(jù)中位線定理可知BC=2MN.

本題考查了垂徑定理，三角形的中位線定理的運用.關(guān)鍵是由垂徑定理得出兩個中點.

18.【答案】80?；?20。

解：如圖，在線段4B取一點B',使DB=DB',在線段AC取一點8",使DB=DB",

①旋轉(zhuǎn)角6=乙BDB'=180-Z.DB'B一乙B=180°-2乙B=80°,

②在中，

vDB"=DB=2CD,

???乙CDB"=60°,

第10頁，共18頁

旋轉(zhuǎn)角4BDB"=180°-乙CDB"=120°.

故答案為：80?；?20。.

本題可以圖形的旋轉(zhuǎn)問題轉(zhuǎn)化為點B繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)的問題，故可以。點為圓心，DB長

為半徑畫弧，第一次與原三角形交于斜邊48上的一點B',交直角邊4c于B”,此時=

DB,DB"=DB=2CD,由等腰三角形的性質(zhì)求旋轉(zhuǎn)角4BDB'的度數(shù)，在Rt△B"CD中，

解直角三角形求4CDB”,可得旋轉(zhuǎn)角ZBDB"的度數(shù).

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).關(guān)鍵是將圖形的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為點的旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)角.

19.【答案】解：原式=1-3舊+或-1+遮一企

=—2^3.

【解析】直接利用零指數(shù)累的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答

案.

此題主要考查了零指數(shù)幕的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是

解題關(guān)鍵.

20.【答案】解：22一\=2?2c-

(X2-2xy-3y2=0②

由①得y=x-2③

把③代入②,得/-2x(x-2)-3(x-2)2=0,

a|lx2-4x+3=0

解這個方程，得Xi=3>x2=1

代入③中，彳唯二:啜

二原方程組的解為二:或

【解析】用代入法即可解答，把①化為y=x-2,代入②得化簡/一4》+3=0即可

解答.

本題考查了二元二次方程組的解法，解答此類題目一般用代入法比較簡單，先消去一個

未知數(shù)再解關(guān)于另一個未知數(shù)的一元二次方程，把求得結(jié)果代入一個較簡單的方程中即

可.

21.【答案】解：(1)CD//AB,

：?Z.OAB=Z.OCD,Z.OBA=ZJJDC,

???△OAB^LOCDf

OA_OB

,1?五=命'

o即n--O-A--=——OB,

OA+ACOD

又。4=3,AC=2,

???OB=3,

3_3_

3+2-OD9

???OD=5；

(2)過0作OE1CD,連接OM,則ME=：MN,

.,「1日門OE1

■:t3nz.C=一，|KJ—=~j

2CE2

?,?設(shè)。E=x,則CE=2%,

在Rtz\OEC中，OC2=OE2+CE2,B|J52=x2+(2x)2,解得x=遮，

在RtAOME中，0M2=0E2+ME2,即32=(遮)2+ME2,解得ME=2.

???MN=4,

答：弦MN的長為4.

【解析】(1)根據(jù)CD〃4B可知，40ABs&0CD,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即

可求出OD的長；

(2)過。作OE1CD,連接OM,由垂徑定理可知ME=1M/V,再根據(jù)tan4c=:可求出OE

的長，利用勾股定理即可求出ME的長，進而求出答案.

本題考查的是垂徑定理，涉及到銳角三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股

定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：⑴利用圖象設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為、=丘+上

將(10,10)(50,6)代入解析式得：

[10=10k+b

16=50k+b'

解得：[仁一事,，

lb=11

y=—+11(10<%<50)

(2)當生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本為280萬元時，

x(-^x+11)=280,

第12頁，共18頁

解得：%!=40,x2—70(不合題意舍去)，

故該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為40噸.

【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可，根據(jù)當生產(chǎn)數(shù)量至少為10噸，

但不超過50噸時，得出工的定義域；

(2)根據(jù)總成本=每噸的成本x生產(chǎn)數(shù)量，利用(1)中所求得出即可.

此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)總成本=每噸的成本x生產(chǎn)數(shù)量得出等式方程求

出是解題關(guān)鍵.

23.【答案】證明：（1）連接8D,

???梯形中，AD//BC,AB=CD,

???AC=BD,

???DE1BC,EF=DE,

BD=BF,CD=CF,

：.AC=BFfAB=CF,

???四邊形ABFC是平行四邊形；

(2)DE2=BE-CE

DEBE

A—=一,

CEDE

???乙DEB=乙DEC=90°,

???△BDE~>DCE,

???Z-CDE=乙DBE,

???乙BFC=Z.BDC=乙BDE+"DE=乙BDE+乙DBE=90°,

四邊形ABFC是矩形.

【解析】(1)連接BD,利用等腰梯形的性質(zhì)得到4c=BD,再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得

到。8=尸B,從而得到4c=BF,然后證得4C〃BF,利用一組對邊平行且相等判定平

行四邊形；

(2)利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對應(yīng)角相等,

從而得到直角來證明有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等及相似三角形的判定及性質(zhì)等，是一道集合了好幾個

知識點的綜合題，但題目的難度不算大.

24.【答案】解：（1）在一次函數(shù)y=：x+3中,

當％=0時，y=3.

vMO=MA,

???M為04垂直平分線上的點，

可求04垂直平分線上的解析式為y=|,

又,點M在正比例函數(shù)y=|x,

又???4（0,3）.

???AM=—;

2

(2)?.,二次函數(shù)y=%2+bx+c的圖象經(jīng)過點4、M.可得

(1+b+c=|

lo+O+c=3'

解得修=一|.

lc=3

y=x2-jx+3；

(3)?.?點。在一次函數(shù)y=[x+3的圖象上，

則可設(shè)D(n5n+3),

4

設(shè)8(0,?n)(?n<3),C(n,n2—jn+3)

???四邊形"BCD是菱形，

3513

AMFI=3-m,\DC\-\y_id=kj外+3—(部+3)1=I—n-n2|,

n424

\AD\=J(…)2+命+3-3)2二|)|,

V\AB\=\DC\f

???3-m=^-n-n2,①，

v\AB\=\DA\9

A3—m=^n,(2)

解①②得，九i=0（舍去），九2=2,

第14頁，共18頁

將n=2,代入C(%*1n+3),

???C(2,2).

即：滿足條件的點C坐標為C(2,2).

【解析】(1)先求出根據(jù)。4垂直平分線上的解析式，再根據(jù)兩點的距離公式求出線段4M

的長；

(2)二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點4、機待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;

(3)可設(shè)053/1+3),根據(jù)菱形的性質(zhì)得出。(小+3)且點C在二次函數(shù)

&=^x+3t,得到方程求解即可.

本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線解析式的確定，兩點的距離公

式，菱形的性質(zhì)，解二元一次方程，綜合性較強，難度較大.

25.【答案】解：

圖1

(1)?/UCB=90°,

AC=7AB2-BC2,

=V502-302.

=40,

???CP1AB,

:.-A-B-C-P=-A-C--B-C,

22

??-3-0-X-4--0=--5-0--C-P,

22

:.CP=24,

rp

???CM=.，

sinzEMP

24

=

石

=26；

12

(2)???sin4EMP=

k713

圖2

???設(shè)EP=12a,

則EM=13a,PM=5a,

vEM=EN,

AEN=13a,PN=5a,

AEP^LABC,

PEBC

:.—=—,

APAC

12a30

----=—,

X40

：?X—16Q,

x

???Q=彩，

???BP=50—16a,

???y=50—21a,

=50-21x—,

16

=5LC0----2-1x