河北省保定市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1河北省保定市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以“”的否定是“”.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，由在R上單調(diào)遞增，則有，所以充分性成立；當(dāng)時(shí)，由在R上單調(diào)遞增，可得，在的情況下，不成立，所以必要性不成立，所以，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)扇形的半徑為，則，所以扇形的面積為.故選：B.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)椋蚝驮谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以有唯一零點(diǎn)在上.故選：C.5.冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則過定點(diǎn)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得：或，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，則，當(dāng)時(shí)，，則過定點(diǎn).故選：D.6.已知，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，兩式相加得，.故選：C.7.若，，，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立；所以，即的最大值為.故選：C.8.已知函數(shù)，若存在不相等的實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，，則在上遞減且值域?yàn)?；在上遞增且值域?yàn)?；在上遞減且值域?yàn)椋谏线f增且值域?yàn)?；的圖象如下：所以時(shí)，與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，不妨假設(shè)，由圖及函數(shù)性質(zhì)知：，易知：，，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)中其值等于的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確．故選：BD.10.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又有冪函數(shù)的性質(zhì)知，在定義域上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)知，其在定義域上不具有單調(diào)遞增性，故B錯(cuò)誤；對于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，故函數(shù)為奇函數(shù)，又為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，不具有奇偶性，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B.函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在的值域?yàn)镈.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)為〖答案〗ACD〖解析〗由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最低點(diǎn)為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，所以，由A選項(xiàng)分析可知，但，從而函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A選項(xiàng)正確；但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對稱，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在的值域?yàn)?，故C選項(xiàng)正確；若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，則得到的新的函數(shù)〖解析〗式為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞減C. D.〖答案〗BC〖解析〗由已知，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以令，代入上式得，即，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)開___________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，由，解得且，因此定義域?yàn)?故〖答案〗為：.14.設(shè)，則___________.〖答案〗〖解析〗因，所以，所以，所以，故〖答案〗為：.另解：由可得，所以，則.故〖答案〗為：.15.已知，則______．〖答案〗〖解析〗分子分母同除得，，解得：，所以.故〖答案〗為：.16.已知，函數(shù)，若方程恰有2個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_________________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)，函數(shù)圖象如下圖所示：方程，若，即；若，得，；結(jié)合圖象可知：當(dāng)時(shí)，方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，；當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解，，；當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，；綜上，若方程恰有2個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.記不等式的解集為，不等式的解集為.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈慕鉃榛?，所以，所?（2）因?yàn)?，，又，所以，故的取值范圍?18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn)，且.（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值；（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以，所以.（2）因?yàn)辄c(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以，所以，于是得，又因?yàn)?，由圖可知，所以.19.設(shè)函數(shù)，．（1）解關(guān)于x的不等式，；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．（2）因?yàn)?，由可得：，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，若，求的最大值．解：（1）依題意，，所以函數(shù)的周期為.（2）由（1）知，，在中，，有，于是，解得，則，，顯然，，因此當(dāng)，即時(shí)，，所以的最大值為.21.某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額x成正比，且投資1萬元時(shí)的收益為萬元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額x的算術(shù)平方根成正比，且投資1萬元時(shí)的收益為0.5萬元．（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？解：（1）依題意設(shè)，由，得；設(shè)，由，得.（2）設(shè)投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為x萬元，則投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品為萬元，，∵，當(dāng)，萬元時(shí)，收益最大萬元，故20萬元資金，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品為16萬元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為4萬元，投資收益最大為3萬元．22.已知