2022年12月27日數(shù)學作業(yè)-測試卷

2022年12月27日數(shù)學作業(yè)

一、單選題

（、-l,x<0

1.已知函數(shù)〃x）=,若〃a）=3,則4的值為（）

yIXyX>0

A.V3B.2C.9D.-2或9

2.方程/+/+6+6+尸=0（。2+￡2-4尸>0）表示的曲線關于直線工+丫=0成軸對

稱圖形，貝D（）

A.O+E=0B.D+F=O

C.E+F=OD.D+E+F^O

3.已知函數(shù)〃x）=藝:，則其圖象可能是（）

/a/

4.函數(shù)f(x)=cos(2x--?)-Gsin(2x——)則關于函數(shù)性質(zhì)說法正確的是（）

66

TTJF

A.周期為2萬B.在區(qū)間-］，-丘上單調(diào)遞增

C.對稱中心為殍，。卜￡Z)D.其中一條對稱軸為廣鄉(xiāng)7T

5.已知函數(shù)/(x)=6s】nx+7-4c°s-x,則“封的最小值為()

sinx+l

13

A.1B.2C.—D.5

2

6.設隨機變量g的分布列為PCK）=熱依=125）,—'E（g）,o（g）分別為隨機變

量4的數(shù)學期望與方差，則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.P(O<^<3.5)=-B.E(3J+2)=7C.。修)=2D.￡>(3^+1)=6

7.如圖，在直二面角A-BC-C中，XABD,△CBO均是以80為斜邊的等腰直角三角

形，取AC的中點E,將ABE沿BE翻折到△A/8E,在△ABE的翻折過程中，下列不

可能成立的是()

A.BC與平面A/BE內(nèi)某直線平行

B.C?！ㄆ矫?BE

C.8c與平面A/8E內(nèi)某直線垂直

D.BCVAiB

8.定義方程"X)=((x)的實根/叫做函數(shù),“X)的“新駐點”，若函數(shù)g(x)=2x^+1,

〃(x)=lnx+2,e(x)=d-l的“新駐點”分別為。,b,c,則a,b,c的大小關系為

()

A.a>h>cB.c>h>aC.c>a>bD.b>c>a

二、多選題

9.已知直線/過原點，且4(1,4),3(3,2)兩點到直線/的距離相等，則直線方程可以為

()

A.x+y=OB.x+y-5=0C.3x-2y=0D.3x+2y=0

10.下列說法正確的有()

A.對任意的事件A,都有P(A)>0

B.隨機事件4發(fā)生的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值

C.必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0

D.若事件Aa事件B,則P(A)4P(8)

11.下列說法中正確的是()

A，若匕〃c，則a〃c

B.若兩個非零向量:工，滿足7-力=《+”,則：與族共線且反向

C.若對平面內(nèi)的任意一點。，W(24=xOB+yOC{xe/?,ye/?)>且x+y=l,則A,B,

C三點共線

試卷第2頁，共4頁

TT—3

D.若a=（2」），b=（43），且：與了夾角為銳角，則人-萬

12.已知向量a=（l,l）石=（cosasine）（0V64萬）.則下列命題正確的是（）

B.存在6,使得歸+,=|萬/

D.向量￡與5夾角的余弦值范圍是

三、填空題

13.二項式的展開式的常數(shù)項是一.

14.拋物線y=Jx?的準線方程是__________________.

8

15.已知A,8是拋物線C:y?=4x上的兩點，線段AB的中點為M（2,2）,則直線A8

的方程為.

16.若函數(shù)〃尤）=（x+l）lnx+2（x-l）有三個零點X[,X],￡，且芭＞々＞*3，則

萬（玉+赴）（々+七）（七+xJ的取值范圍為.（寫成區(qū)間形式）

四、解答題

17.某中學對50名學生的學習興趣和主動預習情況進行了長期的調(diào)查，得到的統(tǒng)計數(shù)

據(jù)如下表所示.試運用獨立性檢驗的思想方法判斷：是否有99%以上的把握認為學生的

學習興趣與主動預習有關？

主動預習不太主動預習合計

學習興趣高18725

學習興趣一般61925

合計242650

x+l,x<-2

18.已知函數(shù)/(x)=,V+2x,-2<x<2,.

2x-2,x>2

⑴求〃一5),/(-x/3),的值;

⑵若〃a)=3,求實數(shù)。的值.

19.(1)當14x42時，不等式/+皿+4<0恒成立，求實數(shù)"，的取值范圍；

(2)當x>l時，關于x的不等式丁-〃a+〃?>0恒成立，求參數(shù)〃?的取值范圍.

20.若函數(shù)〃x)=(x+l)eT.

(1)判斷方程J'(x)=l解的個數(shù)，并說明理由；

(2)當a>0,設g(x)=/(x)+gor2,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.

21.在三角形ABC中，角ABC的對邊分別為a,b,c,已知

2bs\nC=47cosC+ccosAc=&B=—.

3

(1)求角。和邊b;

⑵若點E滿足荏=2方，求BE的長度

22.已知/(x)=x-ex+l,(x)=>/-2x-l.

(1)求y=/(%)+g(x)在m-1處的切線方程;

v—〃2

⑵若叭X)之g(x)+----恒成立，求。的取值范圍.

a

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.D

【分析】由/(“)=3解方程，從而求得正確答案.

【詳解】當時，/(。)=/_1=3,/=4,。=一2(正根舍去)；

當a>0時，/(￡/)=Va=3,a=9.

所以。的值為-2或9.

故選：D

2.A

【分析】依題意可知，方程表示的圓的圓心在直線x+y=O上，即可解出.

【詳解】因為犬+丁+瓜+或+尸=0(。2+序-4尸>0),所以該方程表示圓心為(-?,一同

的圓，而該方程表示的曲線關于直線x+y=0成軸對稱圖形，所以圓心在直線

x+y=0上，即有。+E=0.

故選：A.

3.C

【分析】從奇偶性，特殊點處的函數(shù)值的正負即可判斷.

【詳解】函數(shù)的定義域為{X|XH±2},其定義域關于原點對稱，

由函數(shù)的解析式可得：.f(-x)=-f(x),

則函數(shù)圖象關于坐標原點對稱，選項B,D錯誤；

萬x6

而選項A錯誤,C正確；

⑴二一4

36

故選：C.

4.B

【分析［化簡函數(shù)/(x)=2cos(2x+g),結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.

O

【詳解】由題意，函數(shù)f(x)=cos(2x-g)-百sin(2x_9)=2cos(2x+￡),

OOO

0

可得函數(shù)/(X)的最小正周期為7=m7r=乃，所以A不正確；

答案第1頁，共13頁

.7t7C__7C57r?

由■，可得2%+丁€--,0,

212J66

由余弦函數(shù)y=cosx在-學,。上為單調(diào)遞增函數(shù)，

0

可得函數(shù)〃x)=2cos(2x+2)在區(qū)間_；,-三為單調(diào)遞增函數(shù)，所以B正確;

6|_212_

^-2x4--=—+k7c,keZx=--\-—,keZ,

62t26

可得函數(shù)/(X)的對稱中心為(竺+2,0),%eZ,所以C不正確；

26

令2無+看=左肛&EZ,解得工=與一三

TT

可得X=?不是函數(shù)的對稱軸，所以D不正確.

故選：B.

5.B

【分析】首先根據(jù)換元法將函數(shù)/(x)=6,「：；：二廣"的最小值與函數(shù)y=4/+}-2在區(qū)

間(0,2］的最小值，最后利用基本不等式求出函數(shù)的最小值即可.

6sinx+7-4cos2x6sinx+7-4(l-sin2x)4sin2x+6sinx+3

【詳解】/(%)=

sinx+1sinx+1sinx+1

A1/CO]rn.i4(r—1)~+6(f—1)+34戶—2/4-11

^r=smx+lG(0,2],則)，=-^——乙----——--=---------=4t+--2,

ttt

因此函數(shù)〃x)=8@W上W的最小值與函數(shù)y=4/+1-2在區(qū)間(0,2]的最小值相同,

sinx+1t

又因為y=4f+1-222限1-2=2,當且僅當，=[即Sinx=—；時等號成立，

tytZZ

所以函數(shù)f(x)=6sinX+7-4c°s。的最小值

'sinx+l

故選：B

【點晴】本題主要考查換元法求函數(shù)的最小值，特別注意的是，在換元前后要注意變量的取

值范圍的變化.

6.C

【分析】利用分布列的性質(zhì)概率之和為1,得出。=1,利用概率的性質(zhì)可判斷A選項，再

利用均值方差定義公式以及其性質(zhì)逐項判斷BCD即可.

【詳解】因為隨機變量4的分布列為PC=&)=7、(k=L2,5),由分布列的性質(zhì)可知，

4+1

Pe=l)+PC=2)+PC=5)=：+；+==l,解得a=l,

236

答案第2頁，共13頁

又寸于A,P(O<^<3.5)=P(^=1)+P(^=2)=-+-=故A不正確：

236

對于B,?.?E(g)=lxg+2xg+5x：=2,

.?.E(34+2)=3EC)+2=3x2+2=8,故B不正確；

對于C,￡>(^)=^X(1-2)2+1X(2-2)2+^X(5-2)2=2,故C正確；

236

對于D,,??。?)=2,.?.D(3J+l)=9xDC)=18,故D不正確.

故選：C

7.D

【分析】連接CE,當平面A/BE與平面BCE重合時，可判斷A,C；在平面8C。內(nèi)過8作

CE(的平行線8尸，使得BG=CD,連接EF,則當平面A/BE與平面BE尸重合時，看判斷B;

算可得CE=曲,與4BVCE矛盾,可判斷D.

2

【詳解】連接CE,當平面A/BE與平面8CE重合時，BCu平面A/BE,所以平面A/BE內(nèi)必

存在與BC平行和垂直的直線，故A,C可能成立；

在平面BCD內(nèi)過B作C。的平行線B凡使得8尸=。9,連接￡F,則當平面A/BE與平面

BE尸重合時，3Fu平面A/BE,故平面A/BE內(nèi)存在與BF平行的直線，即平面A/BE內(nèi)存在

與C。平行的直線，所以C。〃平面A/2E,故B可能成立；

若BCLA/B,又A/8LA/E,則A/B為直線A/E和8C的公垂線，所以A/BVCE,設A/8=l,

則經(jīng)計算可得CE=^,與4BVCE矛盾，故D不可能成立.

2

【點睛】本題主要考查空間線線關系、線面關系的判斷，考查空間想象能力，屬于基礎題.

8.B

【分析】分別求出導函數(shù)，由導函數(shù)與原函數(shù)相等列出方程，直接解得。=lng<0,再引入

新函數(shù)，利用新函數(shù)的導數(shù)確定新函數(shù)的零點所在區(qū)間，得c?的范圍，從而確定它們的大

小.

答案第3頁，共13頁

【詳解】g'(x)=2(x+l)，，由g(x)=g'(x)得2,=1,X=ln-,即。=皿5<0,

h\x)=—,由〃'(工)=〃(%)得4=1口1+2,Inx一~-4-2=0,

xxx

令"(x)=lnx—L+2,x>0,”'(x)=L+二>0恒成立，所以H(x)在(0,+s)遞增，又

XXx~

“(工)=尾<0,”(1)=1>0,所以H(X)在(±1)上存在唯一零點，所以方€(」)，

2222

s'(x)=3x2,則e(x)=e'(x)得3x2=x3-l，即x3-3f一1=0,

令p(x)=x3-3/-l,p'(x)=3x2-6x=3x(x-2),x<0或x>2時，p'(x)>0,0cx<2時，

”*)<(),所以p(x)在(-8,0)和(2,xo)上是增函數(shù)，在(0,2)上是減函數(shù)，

而p(0)=-l<0,p⑵=-5<0,p(4)=15>0,所以p(x)在(2,+8)上有唯一零點,所以

c>2.綜上a<b<c.

故選：B.

【點睛】本題考查導數(shù)新定義，用導數(shù)研究方程的根，解題關鍵是理解新定義，對方程根的

研究，通過引入新函數(shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理得出根(零點)的

范圍，從而比較大小.

9.AC

【分析】由題意先設出方程，根據(jù)已知條件建立方程解出直線的斜率即可

【詳解】直線/過原點，且A(l,4),8(3,2)兩點到直線/的距離相等，

斜率必存在，設所求直線的方程為"-y=0,

由己知及點到直線的距離公式可得：

I|3"2|,

yjl+k2Jl+」2

解得k=T或*=/，

即所求直線方程為x+y=0或3x-2y=o.

故選：AC.

10.BCD

【分析】根據(jù)題意，由概率的定義依次分析選項，即可得答案.

【詳解】解：對任意的事件A,都有0《尸(4)<1,必然事件的概率為1,不可能事件的概率

為0,故A錯誤，C正確;

答案第4頁，共13頁

對于8,隨機事件A發(fā)生的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，8正確,

對于D,若事件事件B,則P(A)4尸(8),故D正確；

故選：BCD

11.BC

【分析】A.如果則：〃:不一定成立，所以該選項錯誤；

B.由題得<：］>=%,則:與之共線且反向，所以該選項正確；

C.由題得&=x&，因為向量有公共點C,則A，B,C三點共線，所以該選項正確；

D.由題得2>-|且?guī)譝6,所以該選項錯誤.

【詳解】A.如果1=6,則W〃1不一定成立，所以該選項錯誤；

B.由題得“-21a||%|cos<a,b>=a+b+21iz||Z>|,所以<a,b>=萬，則a與6共線艮

反向，所以該選項正確；

C.由題得&=xd+(l-x)&?，所以&-0t=x(加-左>所以a=x&，

因為向量有公共點C,則A,B,C三點共線，所以該選項正確；

D.若1=(2,1)，力=(%3)，且；與W夾角為銳角，貝IJ2X2+1X3>0,且2x3—IxXwO,所

以2>-。且4#6,所以該選項錯誤.

故選：BC

12.ABD

【分析】對于A,由特殊角的三角函數(shù)值與。的取值范圍可得到。=￡,故A正確；

對于B,利用向量的數(shù)量積運算由W+可=K-可易得必5=0，從而得到tane=-l，故*弓，

即說法成立，故B正確；

對于C,利用土百易求得與公共線的單位向量有兩個，故C錯誤：

對于D,利用向量數(shù)量積運算求得夾角的余弦值的表達式，結(jié)合三角函數(shù)的圖像即可得

到其取值范圍是-￥』，故D正確.

答案第5頁，共13頁

【詳解】對于A,由題意得cose=受，又故。=￡,故A正確；

24

對于B,因為卜+同=卜/，即1+司2=卜_51,即伍+m=("5)2,

整理得講+2無5+52=苕2-2無5+萬2,即不3=0，

qin。

古攵1xcos8+Ixsin。=0,即sin8=—cos。,得tan6=-——-=-1,

cos。

又04"萬，所以，=與，即存在凡使得|萬+同=|萬一司，故B正確；

對于C,因為i=(l,l),所以同=爐不=0,故與一共線的單位向量為

畫小由,故。錯誤；

/-口\無5cos0+sinV2nV2.2吟

對干于口D，cos「(a,b/)=同-忖nrr=衣—zz-后>瓦荷=”~——2cos〃+——2sin0=sin19+一4〉

又04”萬，所以》44?當,所以一堂4如1+2141,即向量［與5夾角的余弦值范

4442I4)

圍是J,1,故D正確.

故選：ABD.

13.45

10-5r

【分析】求得二項展開式的通項7^=C>xk，令廠=2,即可求解展開式的常數(shù)項，得到

答案.

【詳解】由題意，二項式4+WJ的展開式的通項為加=4(五嚴’(})，=/?xH,

令r=2,可得￡=4,=45,即展開式的常數(shù)項是45.

故答案為：45.

14.y=-2

【分析】先將拋物線方程化為標準方程，然后可求出P,從而可求出準線方程

【詳解】拋物線y=的標準方程為一=8)，，

O

所以2P=8,得5=2,

所以拋物線的準線方程為y=-2,

答案第6頁，共13頁

故答案為：y=-2

15.

【分析】先由題意判斷得與二々，再由點差法求得21二包=」一，由此得到砥“=1,從而

xi-x2y+y?

利用點斜式即可求得直線AB的方程.

【詳解】依題意，設A(X“M，B(X2，%),

若芭=*2,則直線AB:x=2,由拋物線的對稱性可知，線段4B的中點為(2,0),顯然不符

合題意，故占XX?,

因為A,8是拋物線C:/=4x上的兩點,

所以I'"：'，兩式相減得，必2-%2=4%-4々，整理得比二包=一工，

Xx

[y2=4X2I-2%+%

因為線段A8的中點為M(2,2),

所以入產(chǎn)=2,即乂+%=4,

又怎8=之二亙，所以心3=2=1，

Xy-X2八"4

所以直線AB的方程為y-2=x-2,即y=x.

故答案為：尸￡

16.(-＜?,-64)

【分析】對函數(shù)進行整理，構(gòu)造g(x)=lnx+巫U，結(jié)合零點個數(shù)及單調(diào)性求出力＜-2,求

X+1

出0＜七＜1=X2＜人＜X|且工3=一,利用基本不等式得到(辦+工2)(工2+工3)(芻+石)＞8,從而得

x\

到答案.

【詳解】解：因為/(x)=(x+l)lnx+/l(x_l),所以/(l)=(l+l)lnl+4(l-1)=0,

令(x+l)lnx+〃x-l)=0,(x>0),即lnx+d5T)=(),(x>0),

x+1

令g(x)=lnx+^^,(x>0),則g(l)=0,

、I2/1x2+(2A+2)x+i

g(x)=_+----7=---------5---(%>0)，

X(x+l)*X(X+1)~

令h(x)=x2+(22+2)x+1,(x>0),

要想g(x)除1外再有兩個零點，則g(x)在(0,+co)上不單調(diào),

答案第7頁，共13頁

則△=(22+2)2-4=4萬+8%>0,解得4<一2或;1>0,

當2>0時，g'(x)>0在(0,y)恒成立，則g(x)在(0,侄)單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，舍

去；

當兀<—2時，設g'(x)=O即〃(幻=0的兩根為a,b,S.a<b,

ab=\

則有,故OvovlvZ?,

a+b=-2(A+l)>0

令g'(x)>。，解得x<〃或x〉人，令g'(x)v。，解得avxv/?,

所以g(x)在(。，4),3，”)上單調(diào)遞增，在(a，〃)上單調(diào)遞減，

因為%>冗2>%3，所以0<工3<。<1=工2<人<11，

又因為g1斗1J+寸—=―天天+彳I)=_g(x),

⑴X1+11+X

X

1,1

若g(%)=0,則g(一)=o,因為g(%)=g(玉)=0,所以“3=一，

XX]

所以(5+xj(蒼+芻)(思+%)=(%+1)(1+—)(^1+—)=(2+^+—)(^+—)

>(2+2后)-2后=8,

因為4<-2,所以故萬a+工2)*2+演)(丹+西)<-64.

檢驗：當2=-2時，g(x)=lnx+"'J)(x>0),g，(x)=1-；4滯=(：?了..0,

此時g(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增，又g(l)=O,即占=*2=三=1，

此時為臨界情況，下(再+X2)(x,+x3)(x3+x,)=-64,

綜上，萬(3+8)(々+三)(弓+內(nèi))的取值范圍為(-8,-64).

故答案為：(-8,-64).

17.有99%以上的把握認為學生的學習興趣與主動預習有關

【分析】計算K?的值，由此作出判斷.

【詳解】八小3士支。心38>6.635，

24x26x25x25

所以有99%以上的把握認為學生的學習興趣與主動預習有關.

18.(1)/(-5)=-4,/(一百)=3-26，3

答案第8頁，共13頁

(2)。=1或。

【分析】(1)x=-5,犬=-6代入直接計算，然后先求出/(-》再計算，/(-|))；

(2)按分段函數(shù)定義分類討論解方程f3)=3.

【詳解】(1)由題可得/(-5)=-5+1=7,

/(-^)=(-后+2x(-揚=3-25

因為

所以/(/(-1))=/(-|)=(-|)2+2x(-|)=^-3=；

(2)①當(74—2時，f(a)=a+l=3,

解得a=2,不合題意，舍去；

②當一2<。<2時,/(〃)=/+2〃=3,即/+2々一3=0,

解得a=1或a=-3,

因為lc(-2,2),-3武-2,2),所以a=l符合題意；

③當a22時，/(?)=2?-2=3,

解得。=|,符合題意；

綜合①②③知，當f(a)=3時，。=1或a=|.

19.(1)機<一5；(2)〃z<4.

【分析】⑴令小)=寸+如+4,根據(jù)題意可得m；,從而可得出答案；

-一V1

(2)不等式9_如；+m〉0恒成立，可化為加<_=(工_1)+---+2,結(jié)合基本不等式求

X—1X-1

得(x-1)+—=+2的最小值，即可得解.

X-1

【詳解】解：(1)令“力=/+〃a+4,

因為當14x42時，不等式/+〃優(yōu)+4<0恒成立，

[/(1)<011+加+4<0

所以1:八，即,c,八，解得〃，<一5；

/(2)<0[4+2/?+4<0

答案第9頁，共13頁

(2)由當x>l時，不等式Y(jié)一如+m>0恒成立,

坦(x-l)'+2(x-l)+l/1

倚"Z<-----=--------------------L—=(x-l)A+-----+2'

x-1x-\'7x-\

因為+++當且僅當(x-lbL，即x=2時，取等號,

工一1Vx—1x—1

所以(x-D+J7+Z的最小值為4,

X—1

所以〃2<4.

20.(1)僅有一個，理由見解析；

(2)答案見解析.

【分析】(1)由題可得r(x)=-xe-*,進而可得函數(shù)的極大值為1,即得;

(2)由題可得g'(x)=x(a—e，'),分0<“<1,a=\,a>l討論即得.

【詳解】(1)方程〃力=1僅有一個解，

因為，(x)=(x+l)eT,

所以/*(%)=(%+1)7-e'A+(x+l)-(e-1)=-xe-x>

令戶包>0可解得x<0,

所以f(x)單調(diào)性如下表：

X3,o)0(0,+<?)

/'(X)+0—

“X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

又"0)=1,即f(x)的極大值為1,

所以方程〃x)=l僅有一個解；

(2)因為g(x)=(x+l)eT+：or2,

答案第10頁，共13頁

所以g'(x)=x(a-eT),

令g'(x)=°可得x=0或工=-m。

分類討論如下：(i)當Ova<l時，-lna>0

所以g(x)的單調(diào)性如下

X(-8,0)0一Ina(-In

g'(x)+0—0+

g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(y,0),(-Ina"),單調(diào)減區(qū)間為(0,-Ina)；

(n)當a=l時,-lna=O,此時g'(x)20恒成立

所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間為R,無單調(diào)減區(qū)間

(ill)當。>1,-lna<0,

所以g(x)的單調(diào)性如下

X(Yo,-lna)-Ina(-lntz,0)0(。,+8)

g'(x)+0—0+

g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-W,-Ina),(0,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-Ina,0).

21.⑴g,3

O

(2)1

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，邊角互化，即可求解.

答案第11頁，共13頁

(2)根據(jù)余弦定理，即可求解.

(1)

,.,?sinC=acosC+ccos4

/.2sinBsinC=sinAcosC+sinCeosA

/.2sinBsinC=sin(A+C)=sinB,而sinBw0,

?「1

/.sine,

2

vB=—,0<C<^,

3

/.C=-,

6

cb

sinC