同濟大學(xué)《線性代數(shù)》-課件

同濟大學(xué)《線性代數(shù)》PPT課件第一章行列式2內(nèi)容提要

1二階與三階行列式

2 行列式的性質(zhì)

3行列式按行（列）展開

及n

階行列式的定義

4克拉默法則行列式是線性代數(shù)的一種工具！學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計算行列式的值.§1

二階與三階行列式我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式.一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組由消元法，得當時，該方程組有唯一解求解公式為二元線性方程組

請觀察，此公式有何特點？分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定.分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再相減而得.其求解公式為二元線性方程組我們引進新的符號來表示“四個數(shù)分成兩對相乘再相減”.記號數(shù)表表達式稱為由該數(shù)表所確定的二階行列式，即其中，稱為元素.i為行標，表明元素位于第i行；j為列標，表明元素位于第j

列.原則：橫行豎列二階行列式的計算主對角線副對角線即：主對角線上兩元素之積－副對角線上兩元素之積——對角線法則例1二、三階行列式定義

設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表原則：橫行豎列引進記號稱為三階行列式.主對角線副對角線二階行列式的對角線法則并不適用！三階行列式的計算——對角線法則注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式.實線上的三個元素的乘積冠正號，虛線上的三個元素的乘積冠負號.例2

計算行列式解按對角線法則，有三、n階行列式的定義

n

階行列式共有

n!項．每一項都是位于不同行不同列的

n

個元素的乘積．每一項可以寫成（正負號除外），其中是1,2,…,n的某個排列.當是偶排列時，對應(yīng)的項取正號；當是奇排列時，對應(yīng)的項取負號.簡記作，其中為行列式D的(i,j)元§2行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.若記，則.記性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即.性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.說明行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.驗證于是推論1如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有，所以.

備注：交換第行（列）和第行（列）,記作.性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)，等于用數(shù)

乘以此行列式.驗證我們以三階行列式為例.記根據(jù)三階行列式的對角線法則，有備注：第行（列）乘以，記作.推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．備注：第行（列）提出公因子，記作.驗證推論2

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．推論3

行列式中如果有一行元素全為零，則此行列式為零．驗證性質(zhì)4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,則該行列式為兩行列式之和則例如：性質(zhì)5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．則驗證我們以三階行列式為例.記備注：以數(shù)乘第行（列）加到第行（列）上，記作§3

行列式按行(列)展開對角線法則只適用于二階與三階行列式.本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式.一、引言結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示.思考題任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？例如把稱為元素的代數(shù)余子式．在n階行列式中，把元素所在的第行和第列劃后，留下來的n－1階行列式叫做元素的余子式，記作.結(jié)論因為行標和列標可唯一標識行列式的元素，所以行列式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式.二、行列式按行（列）展開法則定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即分析我們以3階行列式為例.把第1行的元素換成第2行的對應(yīng)元素，則定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即綜上所述，有同理可得例1行列式例2計算行列式解(1)上三角形行列式（主對角線下側(cè)元素都為0）(2)下三角形行列式（主對角線上側(cè)元素都為0）特殊行列式：(3)對角行列式例１三、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．解§4

克拉默法則二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為一、克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含著三個結(jié)論：方程組有解；（解的存在性）解是唯一的；（解的唯一性）解可以由公式(2)給出.這三個結(jié)論是有聯(lián)系的.應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論.關(guān)于克拉默法則的等價命題定理4

如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.定理4′

如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.設(shè)例解線性方程組解線性方程組常數(shù)項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組.齊次線性方程組總是有解的，因為(0,0,…,0)就是一個解，稱為零解.因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解.我們關(guān)心的問題是，齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解.二、齊次線性方程組的相關(guān)定理定理5

如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則齊次線性方程組只有零解，沒有非零解.定理5′

如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.備注這兩個結(jié)論說明系數(shù)行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的必要條件.在第三章還將證明這個條件也是充分的.即：齊次線性方程組有非零解系數(shù)行列式等于零練習(xí)題：問取何值時，齊次方程組有非零解？解如果齊次方程組有非零解，則必有.所以時齊次方程組有非零解.思考題當線性方程組的系數(shù)行列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解為何？答：當線性方程組的系數(shù)行列式為零時，不能用克拉默法則解方程組，因為此時方程組的解為無解或有無窮多解.1.用克拉默法則解線性方程組的兩個條件(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù)；(2)系數(shù)行列式不等于零.2.克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關(guān)系．它主要適用于理論推導(dǎo)．三、小結(jié)第二章矩陣及其運算§1

矩陣一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣√√√√√其中√表示有航班始發(fā)地ABCD目的地ABCD例

1

某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示:√√一、矩陣概念的引入為了便于計算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個數(shù)表：ABCDABCD√√√√√√√這個數(shù)表反映了四個城市之間交通聯(lián)接的情況.其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例

2

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．

由

m×n

個數(shù)排成的

m

行

n

列的數(shù)表稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n矩陣．記作二、矩陣的定義簡記為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這m×n個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.行數(shù)不一定等于列數(shù)共有m×n個元素本質(zhì)上就是一個數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個元素矩陣行列式行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：三、特殊的矩陣4.方陣形如的矩陣稱為n階方陣.

形如的矩陣稱為上三角陣．形如的矩陣稱為下三角陣

形如的方陣稱為對角陣．

特別的，方陣稱為數(shù)量陣．記作

特別的，方陣稱為單位陣．記作．同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

兩個矩陣與為同型矩陣，并且對應(yīng)元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如§2

矩陣的運算例1

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第

j種貨物的數(shù)量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j

種貨物的數(shù)量．解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量一、矩陣的加法定義1：設(shè)有兩個

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.知識點比較交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負矩陣．顯然設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量．例1（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．解：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．二、數(shù)與矩陣相乘定義2：數(shù)

l與矩陣

A

的乘積記作

lA

或

Al

，規(guī)定為結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.知識點比較其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例1（續(xù)）

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．可用矩陣表示為一般地，三、矩陣與矩陣相乘定義3：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．例2：設(shè)則知識點比較有意義.沒有意義.只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例3

P.35例5

結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論．矩陣乘法的運算規(guī)律(1)

乘法結(jié)合律(3)

乘法對加法的分配律(2)

數(shù)乘和乘法的結(jié)合律（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是數(shù)量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的.數(shù)量陣不同于對角陣(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義4：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例4轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)例5：已知解法1解法2定義5：設(shè)A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對稱陣.對稱陣反對稱陣五、方陣的行列式定義6：由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運算性質(zhì)例6：已知解法1解法2§3

逆矩陣定義1：

n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，使得這里E是n階單位矩陣.根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式.對于任意的n階方陣A，適合上述等式的矩陣B是唯一的（如果有的話）.證：若B，C都是A的逆矩陣，則有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C下面要解決的問題是：在什么條件下，方陣A是可逆的？如果A可逆，怎樣求A－1

？定義2：如果矩陣B滿足上述等式，那么B就稱為A的逆矩陣， 記作A－1.定義3：行列式|A|的各個元素的代數(shù)余子式

Aij

所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣

A的伴隨矩陣.元素的代數(shù)余子式位于第j行第i列性質(zhì)1性質(zhì)1證明結(jié)論：，其中定理1：若，則方陣A可逆，而且推論1：若，則.元素的代數(shù)余子式位于第j行第i列例1：求二階矩陣的逆矩陣.例2：求3階方陣的逆矩陣.解：|A|=1，則例3：解方陣A可逆此時，稱矩陣A為非奇異矩陣容易看出：對于n階方陣A、B，如果那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.定理2：若方陣A可逆，則．性質(zhì)2：如果n階方陣A、B可逆，那么、、與AB也可逆，且證：因A可逆，有證：對定義進行轉(zhuǎn)置運算，由定義知由定理2知也可逆，且也可逆，且證：由定理2知AB可逆，且證：由定理2知可kA可逆，且§4

矩陣的初等變化與初等矩陣定義1：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對調(diào)兩行，記作；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換初等行變換初等列變換有限次初等行變換有限次初等列變換行等價，記作列等價，記作一、矩陣之間的等價關(guān)系有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價，記作矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性對稱性若，則傳遞性若,則例1：用矩陣的初等變換將矩陣B化為“簡單形式”的等價矩陣行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.行最簡形矩陣：非零行的第一個非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.行最簡形矩陣：非零行的第一個非零元為1;這些非零元所在的列的其它元素都為零.標準形矩陣：左上角是一個單位矩陣，其它元素全為零.行階梯形矩陣標準形矩陣由m、n、r三個參數(shù)完全確定，其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).行最簡形矩陣標準形矩陣三者之間的包含關(guān)系任何矩陣行最簡形矩陣行階梯形矩陣標準形矩陣有限次初等行變換有限次初等列變換有限次初等變換結(jié)論有限次初等行變換定義2：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣.對調(diào)單位陣的兩行（列）；(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣的某一

行（列）；(3)以

k

乘單位陣單位陣的某一

行（列）加到另一

行（列）

．二、初等陣(1)對調(diào)單位陣的第

i,j行（列），記作

E5(3,5)記作

Em(i,j)．(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位陣第

i行（列），記作

E5(3(k))記作

Em(i(k))．(3)以

k

乘單位陣第

j行加到第

i行,記作

E5(35(k))記作

Em(ij(k))．

以

k

乘單位陣第

i列加到第

j列．?兩種理解！結(jié)論把矩陣A的第i行與第j行對調(diào)，即.把矩陣A的第i列與第j列對調(diào)，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i行，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i列，即.把矩陣A第j行的k倍加到第i行，即.把矩陣A第i列的k倍加到第j列，即.定理1設(shè)A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.口訣：左行右列.初等變換初等變換的逆變換初等矩陣?因為“對于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．因為“對于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．?因為“對于n階方陣A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，所以．一般地，．?初等變換初等變換的逆變換初等矩陣初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣是：?設(shè)A是一個m×n矩陣，

設(shè)P1,P2,…,Pk；Q1,Q2,…,Ql為一系列的初等陣，則有的初等陣，令則P和Q都是可逆的，于是

口訣：左行右列.定理2

設(shè)A是一個m×n矩陣，存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使得推論1設(shè)A是一n階可逆陣，則A等價于E。口訣：左行右列.這表明，可逆矩陣的標準形矩陣是單位陣.其實，可逆矩陣的行最簡形矩陣也是單位陣．定理3方陣A可逆的充要條件是A可以表示成有限個初等陣的乘積證明：必要性A可逆，則

Pk

Pk-1…PlAQ1

Q2…Ql=E則充分性若上式成立，則則A可逆推論2設(shè)m×n矩陣A與B等價的充要條件是存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使得口訣：左行右列.三、初等變換的應(yīng)用

解例2即初等行變換例3解列變換§5矩陣的秩一、矩陣的秩的概念定義1：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k

階行列式，稱為矩陣A的k階子式．顯然，m×n矩陣A的k

階子式共有個．概念辨析：

k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式與元素a12相對應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣A

的一個2階子塊矩陣A的一個2階子式定義2：設(shè)矩陣A中有一個不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．矩陣A的一個3階子式矩陣A的2階子式如果矩陣A中所有2階子式都等于零，那么這個3階子式也等于零．定義3：設(shè)矩陣A中有一個不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣A中任何一個r+2階子式（如果存在的話）都可以用r+1階子式來表示．如果矩陣A中所有r+1階子式都等于零，那么所有r+2階子式也都等于零．事實上，所有高于r+1階的子式（如果存在的話）也都等于零．

因此矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．顯然，若

A為n階矩陣，則A的n

階子式只有一個，即|A|． 當|A|≠0時，R(A)=n;

可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣．

當|A|=0時，R(A)<n;

不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣．若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．矩陣A的一個2階子式矩陣AT

的一個2階子式AT

的子式與A

的子式對應(yīng)相等，從而R(AT)=R(A)．例1：求矩陣A

和B

的秩，其中解：在

A中，2階子式．A的3階子式只有一個，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．例1：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B是一個行階梯形矩陣，其非零行有3行，因此其4階子式全為零．以非零行的第一個非零元為對角元的3階子式，因此R(B)=3．還存在其它3階非零子式嗎？例1：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B

還有其它

3

階非零子式，例如結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)．二、矩陣的秩的計算例2：求矩陣A

的秩，其中．分析：在

A中，2階子式．A的3階子式共有(個)，要從40個子式中找出一個非零子式是比較麻煩的．一般的矩陣，當行數(shù)和列數(shù)較高時，按定義求秩是很麻煩的.行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).一個自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣.兩個等價的矩陣的秩是否相等？定理1：若A~B，則R(A)=R(B)

．應(yīng)用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩．例3：求矩陣的秩，并求A

的一個最高階非零子式．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個非零行，故R(A)=3

．第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個非零元所在的列，與之對應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列．R(A0)=3，計算

A0的前

3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個最高階非零子式．矩陣的秩的性質(zhì)若

A為m×n

矩陣，則0≤R(A)≤min(m,n)．

R(AT)=R(A)．若A~B，則R(A)=R(B)

．若P、Q

可逆，則R(PAQ)=R(A)

．R(AB)≤min{R(A),R(B)}．第三章線性方程組知識點回顧：克拉默法則結(jié)論

1如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.（P.24定理4）結(jié)論1′如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.（P.24定理4'）設(shè)用克拉默法則解線性方程組的兩個條件：(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù)；(2)系數(shù)行列式不等于零.線性方程組的解受哪些因素的影響？設(shè)有n

個未知數(shù)m

個方程的線性方程組問題1：方程組是否有解？問題2：若方程組有解，則解是否唯一？問題3：若方程組有解且不唯一，則如何表示所有解？

m、n

不一定相等！§1高斯消元法則方程組（1）可寫為矩陣方程

A和B稱為方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣當時，線性方程組（1）稱為非齊次線性方程組當時，線性方程組（1）稱為齊次線性方程組記引例：求解線性方程組①②③④①②③④①②③÷2①②③④②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④④－2×③③④①②③④①②③④取x3

為自由變量，則令x3=c

，則①②③④以上求解過程對線性方程組作了以下應(yīng)三種變換：交換方程的位置，記作；以非零常數(shù)k乘某個方程，記作；用非零數(shù)k乘以一個方程后加上另一個方程上去，記.

其逆變換是：結(jié)論：由于對原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過程中，實際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知數(shù)并未參與運算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj增廣矩陣結(jié)論：對原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對增廣矩陣的變換.定理1初等變換把一個方程組變?yōu)橐粋€與它同解的線性方程組。B5

對應(yīng)方程組為令x3=c

，則可見，把線性方程組的增廣矩陣用初等行變換化為行最簡形矩陣，對應(yīng)可得到方程組的解，這種求解方法稱為高斯消元法。例1求解線性方程組對應(yīng)方程組為矛盾方程組，則此方程組無解。定理2：n

元線性方程組Ax=b無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n；有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n．n元非齊次線性方程組解的存在性證明：設(shè)

R(A)=r，為敘述方便，不妨設(shè)B=(A,b)的行最簡形矩陣為第一步：往證R(A)<R(A,b)無解．若R(A)<R(A,b)，即R(A,b)=R(A)＋1，則dr+1=1．于是第r+1行對應(yīng)矛盾方程0=1，故原線性方程組無解．前r

列后n-r

列前n

列前r

列(2)往證R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原線性方程組有唯一解．后n-r

列則dr+1=0且r=n，對應(yīng)的線性方程組為

從而bij

都不出現(xiàn).前r

列n

列第二步：往證R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原線性方程組有唯一解．

則dr+1=0且bij

都不出現(xiàn).

即r=n，前

r

行后

m－r

行后n-r

列n

行對應(yīng)的線性方程組為后

m－n

行第三步：往證R(A)=R(A,b)<n無窮多解．若R(A)=R(A,b)<n，對應(yīng)的線性方程組為前r

列

則dr+1=0.后n-r

列

即r<n，令xr+1,…,xn

作自由變量，則再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則線性方程組通解，例：求解非齊次線性方程組解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原線性方程組有無窮多解．備注：有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=r<n，這時

還能根據(jù)R(A)=R(A,b)=r<n判斷該線性方程組有無限多解嗎？x1x2x3x4x1x2x4x3同解返回解（續(xù)）：即得與原方程組同解的方程組令x3

做自由變量，則方程組的通解可表示為．例：求解非齊次線性方程組解：R(A)=R(A,b)=3，故原線性方程組有唯一解．例：求解非齊次線性方程組解：R(A)=2，R(A,b)=3，故原線性方程組無解．n

元齊次線性方程組Ax=0因為齊次線性方程組AX=0的常數(shù)項都等于零，于是必有R(A,0)=

R(A)，所以可從R(A)判斷齊次線性方程組的解的情況．r=n時，矩陣有m-r個零行（m≥n）,則方程組中有m-r個多余方程。由克拉默法則，只有零解x=0.n元齊次線性方程組r<n時，取xr+1,xr+2,…xn為自由未知量，得

此時，方程組有無窮多非零解.n元齊次線性方程組推論2：若齊次線性方程組中方程的個數(shù)m等于未知量的個數(shù)n，且系數(shù)行列式定理3：n

元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是R(A)<n．推論1：若齊次線性方程組中方程的個數(shù)m少于未知量的個數(shù)n，則該方程組必有非零解．則該方程組必有非零解．例：求解齊次線性方程組解：系數(shù)矩陣R(A)=3<4,原方程組有無窮多非零解，取x4為自由未知量，則所求的解為例：設(shè)有線性方程組問l

取何值時，此方程組有(1)唯一解；(2)無解；(3)有無限多個解？并在有無限多解時求其通解．解法1：對增廣矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣．分析：討論方程組的解的情況，就是討論參數(shù)l

取何值時，r2、r3

是非零行．在r2、r3

中，有5處地方出現(xiàn)了l

，要使這5個元素等于零，l=0，3，－3，1．實際上沒有必要對這4個可能取值逐一進行討論，先從方程組有唯一解入手．于是當l

≠0且l

≠－3時，R(A)=R(B)=3，有唯一解．當l=0時，R(A)=1，R(B)=2，無解．當l=－3時，R(A)=R(B)=2，有無限多解．解法2：因為系數(shù)矩陣A

是方陣，所以方程組有唯一解的充分必要條件是|A|≠0．于是當l

≠0且l

≠－3時，方程組有唯一解．當l=0時，R(A)=1，R(B)=2，方程組無解．當l=－3時，R(A)=R(B)=2，方程組有無限多個解，其通解為定理：矩陣方程AX=B

有解的充分必要條件是

R(A)=R(A,B)．證明：設(shè)A

是m×n

矩陣，B

是m×l

矩陣，X

是n×l

矩陣.把X

和B

按列分塊，記作X=(x1,x2,…,xl

)，B=(b1,b2,…,bl

)則即矩陣方程AX=B

有解線性方程組Axi=bi

有解充分性:

設(shè)R(A)=R(A,B

),由于R(A)≤R(A,bi)≤R(A,B

),故有R(A)=R(A,bi),從而l個矩陣方程Axi=bi

都有解，則矩陣方程AX=B

有解。必要性:

設(shè)矩陣方程AX=B

有解，從而從而l個矩陣方程Axi=bi

都有解，設(shè)解記A=(a1,a2,…,an

),即有則即對矩陣作初等列變換，便將（A，B）的第n+1,n+2,…,n+l

都變成0列，因此，

R(A)=R(A,B)．非齊次線性方程組無解否是無限多個解否是唯一解包含n-R(A)個自由變量的通解§2

向量組及其線性組合定義1：n個有次序的數(shù)a1,a2,…,an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量，第i個數(shù)ai稱為第i個分量．分量全為實數(shù)的向量稱為實向量．分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量．備注：本書一般只討論實向量（特別說明的除外）．行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量．所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時，都當作列向量．本書中，列向量用黑色小寫字母a,b,a,b等表示，行向量則用aT,bT,aT,bT

表示．定義2：若干個同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為向量組．結(jié)論：含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)．有限向量組定義3：給定向量組A：a1,a2,…,am，對于任何一組實數(shù)

k1,k2,…,km

，表達式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A

的一個線性組合．k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數(shù)．定義4：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實數(shù)l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組

A

的線性表示．回顧：線性方程組的表達式一般形式向量方程的形式增廣矩陣的形式向量組線性組合的形式方程組有解？向量是否能用線性表示？向量b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解P.83定理1的結(jié)論：例1：設(shè)那么線性組合的系數(shù)e1,e2,e3的線性組合一般地，對于任意的n維向量b

，必有n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維單位坐標向量．例2：設(shè)證明向量b能由向量組a1,a2,a3

線性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

線性表示當且僅當R(A)=R(A,b)．因為R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

線性表示．行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為通解為所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．定義5：設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

中的每個向量都能由向量組

A

線性表示，則稱向量組

B

能由向量組

A

線性表示．若向量組A

與向量組B

能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價．記為A~B.

設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即線性表示的系數(shù)矩陣設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即對于b1，存在一組實數(shù)k11,k21,…,km1

，使得b1=

k11a1+k21

a2+…+km1

am；對于b2，存在一組實數(shù)k12,k22,…,km2

，使得b2=

k12a1+k22

a2+…+km2

am；……對于bl，存在一組實數(shù)k1l,k2l,…,kml

，使得bl=

k1la1+k2la2+…+kmlam相應(yīng)的，若向量組

A能由向量組

B線性表示，即等價向量組性質(zhì)1.反身性:向量組自身等價.2.對稱性:向量組A~B等價,則向量組B~A.3.傳遞性:若A~B,B~C,則A~C.若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則定理:向量組C由向量組A線性表示的充要條件是R(A)=R(A,C).向量組的線性相關(guān)性定義6：給定向量組A：a1,a2,…,am，如果存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的．向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)m元齊次線性方程組Ax=0有非零解R(A)<

m備注：給定向量組A，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)，兩者必居其一．向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，通常是指m≥2的情形.若向量組只包含一個向量：當

a

是零向量時，線性相關(guān)；當

a不是零向量時，線性無關(guān)．向量組A：a1,a2,…,am(m≥2)線性相關(guān)，也就是向量組A

中，至少有一個向量能由其余m－1個向量線性表示． 特別地，a1,a2線性相關(guān)當且僅當a1,a2的分量對應(yīng)成比例，其幾何意義是兩向量共線．a(chǎn)1,a2,a3

線性相關(guān)的幾何意義是三個向量共面．向量組線性相關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．向量組線性無關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān) 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m． 向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．向量組線性相關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．向量組線性無關(guān)性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān) 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m． 向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．例3：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．解：可見R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)；同時，R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關(guān)．例4：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解題思路：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題；轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題．例4：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解法1：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題．設(shè)即因a1,a2,a3

線性無關(guān),則此系數(shù)行列式可知方程組只有零解,即則b1,b2,b3線性無關(guān)例4：已知向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題．已知，記作B=AK．因為|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量組a1,a2,a3

線性無關(guān)，R(A)=3，從而R(B)=3，向量組b1,b2,b3線性無關(guān)．定理(1)若向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，則向量組B：a1,a2,…,am,am+1

也線性相關(guān)． 其逆否命題也成立，即若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān)．證明:設(shè)A=(a1,a2,…,am),B=(a1,a2,…,am,am+1),有R(B)≤R(A)+1,若A線性相關(guān),則R(A)

<m=>R(B)≤R(A)+1<m+1=>B線性相關(guān)。定理(2)設(shè)若向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)，則向量組B:b1,b2,…,bm也線性無關(guān)。證明：記A=(a1,a2,…,am),B=(b1,b2,…,bm),有R(A)≤R(B),若A線性無關(guān)，則R(A)

=m,知m≤R(B),又R(B)≤m(B只有m列)=>R(B)

=m=>向量組B線性無關(guān)。(3)

m

個n

維向量組成的向量組，當維數(shù)n

小于向量個數(shù)m

時，一定線性相關(guān)．特別地，n+1個n

維向量一定線性相關(guān)．證明：m

個n

維向量a1,a2,…,am構(gòu)成A=(a1,a2,…,am),

有R(A)≤n,若n<m,則R(A)<m,則m

個n

維向量a1,a2,…,am線性相關(guān)。(4)設(shè)向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)，而向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關(guān)，則向量b

必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的．證明：記A=(a1,a2,…,am),B=(a1,a2,…,am,b),有R(A)≤R(B)由向量組A：a1,a2,…,am線性無關(guān)=>R(A)=m由向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關(guān)=>R(B)<m+1所以，m≤R(B)<m+1=>R(B)=m即R(A)=R(B)=m=>向量b

必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的§3

極大線性無關(guān)組定義1：設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關(guān)；向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關(guān)；那么稱向量組A0是向量組A

的一個極

大線性無關(guān)向量組，簡稱極大無關(guān)組．極大無關(guān)組所含向量個數(shù)r

稱為向量組A

的秩，記作R(A)

．極大無關(guān)組的意義結(jié)論：向量組A

和它自己的極大無關(guān)組A0是等價的．用A0來代表A，掌握了極大無關(guān)組，就掌握了向量組的全體． 特別，當向量組A為無限向量組，就能用有限向量組來代表．凡是對有限向量組成立的結(jié)論，用極大無關(guān)組作過渡，立即可推廣到無限向量組的情形中去．一般地，零向量構(gòu)成的向量組沒有極大無關(guān)組，規(guī)定其秩為0．矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．（

定理）若Dr

是矩陣A

的一個最高階非零子式，則Dr所在的

r

列是A

的列向量組的一個極大無關(guān)組，Dr所在的

r行是A

的行向量組的一個極大無關(guān)組．向量組的極大無關(guān)組一般是不唯一的．例1：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．解：可見R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關(guān)，同時，R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)，從而a1,a2

是向量組a1,a2,a3的一個極大無關(guān)組．事實上，a1,a3

和a2,a3也是極大無關(guān)組．例2：求矩陣的列向量組的秩，并求A

的一個極大無關(guān)組,并把不屬于極大無關(guān)組的列向量用極大無關(guān)組線性表示．選取行階梯形矩陣中非零行，與之對應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列的第一個非零元所在的列為極大無關(guān)組解：用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個非零行，故R(A)=3

．可以看出：

a3=?

a1?

a2 a5=4a1+3a2?3a4為把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合，把矩陣A

再變成行最簡形矩陣定理1

若向量組A可由向量組B線性表示，則向量組A的秩不大于向量組B的秩證明：設(shè)向量組A的一個最大無關(guān)組為向量組B的一個最大無關(guān)組為證r≤s.因A~A0，B~B0，

A可由B線性表示，則A0

可由B0線性表示。則存在系數(shù)矩陣Ks×r=(kij)

s×r,使得有非零解，從而方程組若r>s,則方程組有非零解，即有非零解，這與向量組線性無關(guān)矛盾.因此，r>s不成立，故r≤s.推論1

等價向量組的秩相等推論2

向量組A和它自己的極大無關(guān)組A0是等價的推論3

設(shè)向量組B是A的部分組，若B向量組線性無關(guān)，且向量組A能由向量組B線性表示，則B是A