遼寧省部分高中2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1遼寧省部分高中2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每題5分，共40分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，即，所以，所以，由，即，解得，所以，所以.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，而推不出，例如滿足，但不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，即；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，即；因此.故選：C.4.袋子中有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的4個(gè)小球，分別寫有“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”四個(gè)字，若有放回地從袋子中任意摸出一個(gè)小球，直到寫有“紅”、“旗”的兩個(gè)球都摸到就停止摸球.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1，2，3，4分別代表“風(fēng)”、“展”、“紅”、“旗”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：411231324412112443213144331123114142111344312334223122113133由此可以估計(jì)，恰好在第三次就停止摸球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題得恰好在第三次就停止摸球的隨機(jī)數(shù)有：324，443，334，共有3個(gè)，由古典概型概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率為.故選：B.5.已知，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，且，所以，即，解?故選：B.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗對(duì)于函數(shù)，令，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋衷谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍是.故選：A.7.若關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（）．A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以的兩根是或2，由韋達(dá)定理可得：，所以可轉(zhuǎn)化為，解得或，所以原不等式的解集為.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則（）A. B.函數(shù)奇函數(shù)C. D.函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)〖答案〗C〖解析〗依題意，，，令得，所以，則，令，則，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以不是奇函?shù)，故B錯(cuò)誤；，故C正確；令可得，所以，所以為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每題5分，共20分．全對(duì)得5分，漏選得2分，錯(cuò)選不得分.）9.《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生二儀，二儀生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形如圖2中的正八邊形，其中O為正八邊形的中心，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.和不能構(gòu)成一組基底〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)檎诉呅沃?，，所以，但方向不同，所以不正確，故A錯(cuò)誤；由，所以正確，故B正確；由正八邊形知，，且，根據(jù)向量加法法則可知：為以為鄰邊的正方形中以為始點(diǎn)的一條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量，所以，又，與以為始點(diǎn)的一條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量共線，所以，故C正確；在正八邊形中，，和平行，所以和共線，故和不能構(gòu)成一組基底，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，有，則下列判斷中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由圖象可得，的定義域?yàn)椋钥赡苁堑慕?，也可能是的解，?dāng)是的解時(shí)，，此時(shí)的解為，跟題意不符；當(dāng)是的解時(shí)，，符合要求，故A正確；因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)椋?，故B正確；當(dāng)時(shí)，，而，所以的符號(hào)在時(shí)不變，則的符號(hào)也不變，所以只能大于零，即，故C正確；因?yàn)?，，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)7人”．過(guò)去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，一定符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染標(biāo)志的是（）A.甲地：中位數(shù)為2，極差為5B.乙地：總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2C.丙地：總體平均數(shù)為1，總體方差大于0D.丁地：總體平均數(shù)為2，總體方差為3〖答案〗AD〖解析〗對(duì)A，因?yàn)榧椎刂形粩?shù)為2，極差為5，故最大值不會(huì)大于，故A正確；對(duì)B，若乙地過(guò)去10日分別為，則滿足總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但不滿足每天新增疑似病例不超過(guò)7人，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若丙地過(guò)去10日分別為，則滿足總體平均數(shù)為1，總體方差大于0，但不滿足每天新增疑似病例不超過(guò)7人，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，利用反證法，若至少有一天疑似病例超過(guò)7人，則方差大于，與題設(shè)矛盾，故連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)7人，故D正確.故選：AD.12.如圖，對(duì)于任意正數(shù)，．記曲線與直線，，所圍成的曲邊梯形面積為，并約定和．已知，則以下命題正確的有（）A.B.C.對(duì)任意正數(shù)k和，有D.對(duì)任意正數(shù)k和，有〖答案〗ACD〖解析〗，故A正確；，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)任意正數(shù)k和，因?yàn)椋?，所以，故C正確；對(duì)任意正數(shù)k和，則，，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分．）13.函數(shù)（且）的反函數(shù)過(guò)定點(diǎn)_________．〖答案〗〖解析〗對(duì)于函數(shù)（且），令，即，所以，即函數(shù)（且）恒過(guò)點(diǎn)，所以函數(shù)（且）的反函數(shù)恒過(guò)點(diǎn).故〖答案〗為：.14.如圖所示的莖葉圖記錄著甲、乙兩支籃球是各6名球員某份比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：分）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則______.〖答案〗〖解析〗由題意，甲的中位數(shù)為：，故乙的中位數(shù)①，，，因?yàn)槠骄鶖?shù)相同，所以②，由①②可得，，所以.故〖答案〗為：.15.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)镽，不等式，對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)為，不恒成立，此時(shí)不滿足題意．當(dāng)，要使不等式恒成立，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)則函數(shù)有_________個(gè)零點(diǎn)．〖答案〗4〖解析〗令，由可得，，作與的圖象，如圖，由圖象知有兩個(gè)交點(diǎn)，分別設(shè)橫坐標(biāo)為，則，由可知或，有兩個(gè)根，由，顯然有兩個(gè)根，綜上，有4個(gè)根，即有4個(gè)零點(diǎn).故〖答案〗為：4.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知冪函數(shù).（1）求的值；（2）若_________寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不需證明單調(diào)性），并利用的單調(diào)性解不等式．①函數(shù)為奇函數(shù)；②函數(shù)為偶函數(shù)，從這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線．解：（1）因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得或.（2）選①，若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即函數(shù)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，解得，即不等式的解集為．選②，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即函數(shù)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，由偶函數(shù)性質(zhì)可知，由單調(diào)性可知，即，解得，即不等式的解集為．18.碳14是碳的一種具有放射性的同位素，它常用于確定生物體的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物體內(nèi)碳14的含量與自然界中碳14的含量一樣且保持穩(wěn)定，一旦生物死亡，碳14攝入停止，生物體內(nèi)的碳14會(huì)按指數(shù)函數(shù)的規(guī)律衰減，大約經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，通過(guò)測(cè)定生物遺體內(nèi)碳14的含量就可以測(cè)定該生物的死亡年代．設(shè)生物體內(nèi)的碳14的含量為，死亡年數(shù)為．（1）試將表示為的函數(shù)；（2）不久前，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)一塊生物化石上的碳14的含量為自然界中碳14的含量的20%，請(qǐng)推算該生物死亡的年代距今多少年？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）已知碳14含量與死亡年數(shù)成指數(shù)函數(shù)關(guān)系，設(shè)，由經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，可得，所以，故碳14的含量P與死亡年數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為.（2）由已知，所以，即，所以推算該生物死亡的年代距今13370年．19.遼寧省數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽結(jié)束后，為了解競(jìng)賽成績(jī)情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，得到他們的成績(jī)，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，若只有的人能進(jìn)決賽，入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為多少分（保留兩位小數(shù)）；（2）采用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)?yōu)榈膶W(xué)生中抽取容量為6的樣本，再?gòu)脑摌颖局须S機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求至少有1名學(xué)生成績(jī)不低于90的概率；（3）進(jìn)入決賽的同學(xué)需要再經(jīng)過(guò)考試才能參加冬令營(yíng)活動(dòng)．考試分為兩輪，第一輪為筆試，需要考2門學(xué)科，每科筆試成績(jī)從高到低依次有，A，B，C，D五個(gè)等級(jí)．若兩科筆試成績(jī)均為，則直接參加；若一科筆試成績(jī)?yōu)椋硪豢乒P試成績(jī)不低于，則要參加第二輪面試，面試通過(guò)也將參加，否則均不能參加．現(xiàn)有甲、乙二人報(bào)名參加，二人互不影響．甲在每科筆試中取得，A，B，C，D的概率分別為，，，，；乙在每科筆試中取得，A，B，C，D的概率分別為，，，，；甲、乙在面試中通過(guò)的概率分別為，．求甲、乙能同時(shí)參加冬令營(yíng)的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可知的頻率為：，所以組的縱軸為，所以頻率分布直方圖如下所示：又，，所以第分位數(shù)位于，且，所以入圍分?jǐn)?shù)應(yīng)設(shè)為76.25分.（2）依題意從抽取人，標(biāo)記為1，2，3，4；從抽取，標(biāo)記為，；從6人中隨機(jī)選2人其樣本空間可記為：，共包含15個(gè)樣本點(diǎn)，即有15種選法，設(shè)事件A=“至少有1名學(xué)生成績(jī)不低于90”，則其中2人都是的樣本空間可記為：，共包含6個(gè)樣本點(diǎn)，即有6種選法，則；所以至少有1名學(xué)生成績(jī)不低于90的概率為.（3）依題意甲能參加冬令營(yíng)的概率，乙能參加冬令營(yíng)的概率，二人互不影響，所以甲、乙、丙能同時(shí)參加冬令營(yíng)的概率．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式：；（2）當(dāng)時(shí)，記，若對(duì)任意，函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像的下方，求正數(shù)的取值范圍．解：（1）由，，得，即，所以，解得，即不等式的解集為．（2）因，對(duì)任意的，函數(shù)的圖像總在函數(shù)圖像的下方，則在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即，在上恒成立，整理得在上恒成立，設(shè)，，則只需要即可，可得，又因?yàn)?，所以，所以正?shù)的范圍為．21.如圖，在中，點(diǎn)滿足，是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)．（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，設(shè)，則有，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，即，所以．（2）因?yàn)?，，由?）可知，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．22.已知是定義在上的奇函數(shù)．（1）求的值，指出的單調(diào)性（單調(diào)性無(wú)