山東省濟(jì)寧市2024屆高三上學(xué)期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1山東省濟(jì)寧市2024屆高三上學(xué)期質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由，得，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.故選：C.2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，，所以.故選：A.3.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為直線：與直線：垂直，所以，解得或，所以“”是“直線：與直線：垂直”的充分不必要條件.故選：A.4.已知橢圓的左、右焦點分別為、，點為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，若，（為坐標(biāo)原點），則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，由，，可得為直角三角形，，且，解得，，再由勾股定理可得：得，．故選：D．5.如圖，已知圓錐的母線長為，是底面圓的直徑，且，點是弧的中點，是的中點，則異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是底面圓的直徑，且，點是弧的中點，則，平面，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，平面，平面，則，所以，，所以，、、，則，，則，因為，則.故異面直線與所成角為.故選：B.6.定義在上的函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對稱，且函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，令，可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，又因為與的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)圖象的對稱中心為.故選：C.7.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，解得，所以，.故選：C.8.已知正三棱錐的底面邊長為，為棱的中點，若，則三棱錐的外接球的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取線段的中點，連接、，如下圖所示：因為三棱錐為正三棱錐，則，為等邊三角形，因為為的中點，則，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，，、平面，則平面，因為、平面，則，，因為三棱錐為正三棱錐，則，所以，、、兩兩相互垂直，將三棱錐補(bǔ)成長方體，則三棱錐的外接球直徑即為長方體的外接球直徑，故三棱錐的外接球直徑為，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故選：B.二、多項選擇題9.下列命題中正確的是（）A.若，則B.若且，則C.若，，且，則的最小值為D.若，則的最小值為4〖答案〗AC〖解析〗對于選項A：若，可知，可得，故A正確；對于選項B：例如，則，故B錯誤；對于選項C：若，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為，故C正確；對于選項D：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，顯然不成立，所以的最小值不為4，故D錯誤；故選：AC.10.已知函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有恰有兩個零點D.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖象〖答案〗ABD〖解析〗函數(shù)的最小正周期為，則，得，則，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，則，即，又，則，故，A，當(dāng)時，，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，A正確；B，，則，函數(shù)在單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，B正確；C，由，則，即，又，，則有1個零點，C錯誤；D，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則，D正確；故選：ABD11.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，，數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為數(shù)列的前項和為，且滿足，，當(dāng)時，則，對任意的，由可得，上述兩個等式相除可得，所以，數(shù)列成以為首項，公比為的等比數(shù)列，則，數(shù)列成以為首項，公比為的等比數(shù)列，則，A對B錯；，則，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且其首項為，公比為，所以，，C對；，所以，，所以，，D對.故選：ACD.12.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過左焦點的直線與雙曲線的左支相交于兩點（在第二象限），點與關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，點的坐標(biāo)為），則下列結(jié)論正確的是（）A.記直線、的斜率分別為、，則B.若，則C.的最小值為6D.的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗若直線與漸近線平行時，根據(jù)對稱性不妨取直線方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，，由于兩點均在雙曲線的左支上，所以，，，對于A：設(shè)，，，則，，均在雙曲線上，，所以，所以，，A錯誤.對于B：由知，，由對稱性得，，則四邊形為矩形，則，設(shè)，，則在中，由余弦定理得，即，即，，則，則，B正確；對于，當(dāng)，，三點共線時，，，則直線，聯(lián)立，解得，與矛盾，故C錯誤；對于，又，所以，結(jié)合，得，的取值范圍是，故D正確.故選：BD三、填空題13.已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則__________.〖答案〗4〖解析〗由題意設(shè)，且，圖象經(jīng)過點，則，解得，所以，.故〖答案〗為：4.14.已知平面向量滿足，，，則向量夾角的余弦值為__________.〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，所以.故〖答案〗為：15.已知圓，過點作兩條與圓相切的直線，切點分別為，則__________.〖答案〗〖解析〗如下圖，，又，由，，所以.故〖答案〗為：16.若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗或〖解析〗令，則或記，則，令，則，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減最大值為，且當(dāng)時，，而當(dāng)時，，故的大致圖象如下：當(dāng)時，只有一個零點，，顯然不合題意要使恰好有兩個零點，則方程只有一個實根，另一個零點為.所以或，故或，故的取值范圍為：四、解答題17.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求的最小值.解：（1）由正弦定理得：，又，，，；（2），，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，即的最小值為.18.已知數(shù)列為公差大于0的等差數(shù)列，其前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前100項和.（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，可得，解得或（舍去），所以，即數(shù)列的通項公式為.（2）解：由（1）得，當(dāng)，時，，所以；當(dāng)，時，，所以；當(dāng)，時，，所以；當(dāng)，時，，所以；所以.19.如圖，已知三棱柱各棱長均為2，分別是線段，的中點，平面.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的大小.（1）證明：因為平面，平面，所以，又因為，且為中點，所以，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以，在平行四邊形中，，可得四邊形為菱形，所以因為分別為，的中點，可得，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知，，，兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由三棱柱的所有棱長均為2得，，，可得，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則則，取，可得，所以平面的一個法向量為，又由（1）知平面，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，因為，所以，即平面與平面的夾角為.20.如圖，點是圓心角為，半徑為1的扇形圓弧上的一動點（與不重合），在線段上且，記，線段，及圓弧的長度之和為.（1）求函數(shù)關(guān)于的〖解析〗式；（2）求何值時，函數(shù)取得最大值.（1）解：在中，因為，，，由正弦定理得，所以，，在扇形中，記弧的長度為，則，所以，即，.（2）解：由（1）知，，可得，，令，即，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，取最大值，且最大值為.21.已知拋物線的焦點到的準(zhǔn)線的距離為1.（1）求拋物線的方程；（2）若經(jīng)過定點的直線與拋物線交于兩點，為弦的中點，過作與軸垂直的直線與拋物線交于點，當(dāng)時，求直線的方程.解：（1）因為拋物線C的焦點到C的準(zhǔn)線的距離為1，所以，，所以，拋物線的方程為.（2）由題意可得，直線存在斜率，又直線過，故設(shè)直線的方程為，由，消去并整理得，，所以直線與拋物線恒有兩個交點.設(shè)，，則，，所以，，.因為，為弦的中點，過作軸垂直的直線與拋物線交于點，所以，，，所以，的坐標(biāo)為，所以，，，因為，所以，，即，，整理得，解得，所以，直線的方程為或.22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若實數(shù)滿足，證明：；（3）證明：當(dāng)時，.（1）解