山西省呂梁市孝義市部分學校2024屆高三上學期12月月考數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1山西省呂梁市孝義市部分學校2024屆高三上學期12月月考數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以．故選:A．2.設復數(shù)，則（）A. B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗，．故選:D．3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選：B4.設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，因為，所以，又因為，所以，所以．故選：B.5.已知數(shù)列中，，，，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗由題知，所以，所以數(shù)列具有周期性，且周期，因為，則．故選：A．6.已知a，b均為正實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗因為，均為正實數(shù)，若，則；若，則，即或，所以“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：D．7.如圖，在四面體中，，，，，，，M為的重心，N為的外心，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗連接并延長交于F，因為M為的重心，所以F為的中點，根據(jù)重心的性質(zhì)：,取、的中點，，連接，，因為N為的外心，所以,，設，因，，，則，又，所以，因為，又，所以，解得，，所以，所以．故選：C．8.若關于x的不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，即，當時，，不等式在上顯然成立；當時，令，則在上恒成立，由，在上，所以在上單調(diào)遞增，又時，，，所以只需在上恒成立，即恒成立．令，則，即在上單調(diào)遞增，其中，故，所以此時有．綜上，．故選：C．二、選擇題9.已知三邊長分別是，，，則（）A.以所在直線為旋轉軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為B.以所在直線為旋轉軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為C.以所在直線為旋轉軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的表面積為D.以所在直線為旋轉軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為〖答案〗AD〖解析〗以所在直線為軸旋轉時，所得旋轉體是底面半徑為3，母線長為5，高為4的圓錐，其側面積為，體積為，故A正確，B錯誤；以所在直線為軸旋轉時，所得旋轉體是底面半徑為，母線長分別為3和4的兩個圓錐組合體，表面積為，體積為，故C錯誤，D正確．故選：AD．10.計算下列各式值，其結果為2的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于選項A，，故A項正確；對于選項B，，故B項正確；對于選項C，，故C項正確；對于選項D，，故D項錯誤．故選：ABC．11.已知函數(shù)的定義域為，則（）A.的圖象關于原點對稱 B.在上單調(diào)遞增C.恰有2個極大值點 D.恰有1個極小值點〖答案〗ABC〖解析〗因為的定義域為，，所以為奇函數(shù)，A正確；因為，當時，，所以，則在上單調(diào)遞增，B正確；顯然，令，得，分別作出，在區(qū)間上的圖象，由圖可知，這兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間上共有4個公共點，且兩圖象在這些公共點上都不相切，故在區(qū)間上有2個極大值點和2個極小值點，C正確，D錯誤．故選：ABC．12.兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學問題．他們在沙灘上畫出點或用小石子表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如下圖中實心點的個數(shù)依次為5，9，14，20，…，這樣的一組數(shù)被稱為梯形數(shù)，記此數(shù)列為，則（）A.存在，使得，，為等差數(shù)列BC.存在且，使得D.數(shù)列的前n項和小于〖答案〗BCD〖解析〗根據(jù)題意有，，所以，，所以，，所以，故A錯誤；因為當時，，當時也成立，所以，，，故B正確；因為，所以，所以且，所以或或或或，解得或，故C正確；因為，數(shù)列前項和，故D正確．故選：BCD．三、填空題13.已知，，則在上的投影向量的坐標為______．〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量為．故〖答案〗為：14.已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗因為，，，則，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值是．故〖答案〗為：15.已知為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則實數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因為為偶函數(shù)，所以，函數(shù)的圖象關于對稱，又在上單調(diào)遞增，，所以，解得．故〖答案〗為：.16.已知正四棱柱的體積為16，是棱的中點，是側棱上的動點，直線交平面于點，則動點的軌跡長度的最小值為______．〖答案〗〖解析〗如圖取的中點，連接交于點，連接、交于點，連接、，因為是棱的中點，所以，則為的四等分點且，由正四棱柱的性質(zhì)可知且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以、、、四點共面，所以平面平面，連接交于點，因為是側棱上的動點，直線交平面于點，所以線段即為點的軌跡，如圖在平面中，過點作，交于點，因為，所以，所以，所以，設、，，依題意，，所以，要求動點的軌跡長度的最小值，即求的最小值，即求的最小值，因為，所以，所以，當且僅當，即、時取等號，所以，所以，即動點的軌跡長度的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知函數(shù)，將圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的，再將所得圖象向上平移1個單位長度得到函數(shù)的圖象．（1）求圖象的對稱中心；（2）若函數(shù)在上沒有最小值，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意，，由，得，，所以函數(shù)圖象的對稱中心為，．（2）由（1）知：，因為，所以，要使在上沒有最小值，則，解得，即實數(shù)的取值范圍為．18.已知正項數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．解：（1）因為，所以．又因為，所以，即，所以數(shù)列是公比為2等比數(shù)列，又因為，所以．（2）不等式恒成立，只需恒成立，設，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，即的最大值為，因為對任意正整數(shù)，不等式恒成立，所以，所以實數(shù)的取值范圍為．19.從①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足：______．（1）求角C的大小；（2）若，的內(nèi)心為I，求周長的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．解：（1）選擇條件①，，在中，由正弦定理得，整理得，則由余弦定理，，又，所以．選擇條件②，，于是，在中，由正弦定理得，，因為，則，即，因為，因此，即，又，所以．（2）如圖，由（1）知，，有，因為的內(nèi)心為，所以，于是．設，則，且，在中，由正弦定理得，，所以，所以的周長為，由，得，所以，所以周長的取值范圍為．20.如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，與交于點O，點E在線段上，且平面，二面角，二面角均為直二面角．（1）求證：；（2）若，且平面與平面夾角的余弦值為，求的長度．（1）證明：因為平面，平面，平面平面，所以．又因為四邊形為矩形，所以，則．（2）解：因為四邊形為矩形，所以．又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．因為平面，所以．同理，．設，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，，．設為平面的法向量，因為所以令，則，所以；設為平面的法向量，因為所以令，則，所以，所以，解得．故．21.設函數(shù)，．（1）若函數(shù)在點處的切線方程為，求a，b；（2）若方程有兩個不同的實數(shù)根，求b的取值范圍．解：（1），則切線的斜率為，又，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即，所以，解得；（2）方程即為，即，設，則“方程有兩個不同的實數(shù)根”等價于“函數(shù)有兩個零點”，，當時，恒成立，所以在上是增函數(shù)，至多有一個零點，不合題意；當時，由得，此時：若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增，所以，由函數(shù)有兩個零點得，解得，當時，有，因為，所以在內(nèi)有一個零點．令，則，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故．所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在內(nèi)也有一個零點，即當時，函數(shù)有兩個零點，所以實數(shù)的取值范圍為．22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，求當a為何值時，取得最大值．解：（1）由，得．令，則，，當，即時，恒成立，則，所以在上是減函數(shù)．當，即或．（i）當時，恒成