26.2 實(shí)際問題與反比例函數(shù) 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十六章反比例函數(shù)26.2實(shí)際問題與反比例函數(shù)（第1課時(shí)）學(xué)習(xí)新知知識(shí)回顧1.我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的哪些內(nèi)容?完成下列填空:(1)反比例函數(shù)的定義是

.

(2)反比例函數(shù)的圖象是

，當(dāng)k>0時(shí)，

;當(dāng)k<0時(shí)，

.

(3)待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的步驟:

.

2.前面學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)，類比前面的學(xué)習(xí)過程，我們將繼續(xù)探究什么?基本方法有哪些?3.在實(shí)際問題中建立函數(shù)模型，求解函數(shù)解析式的關(guān)鍵是什么?

市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為104

m3的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室.

(1)儲(chǔ)存室的底面積S(單位:m2)與其深度d(單位:m)有怎樣的函數(shù)關(guān)系?

(2)公司決定把儲(chǔ)存室的底面積S定為500

m2，施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向地下掘進(jìn)多深?

(3)當(dāng)施工隊(duì)按(2)中的計(jì)劃，掘進(jìn)到地下15

m時(shí)，公司臨時(shí)改變計(jì)劃，把儲(chǔ)存室的深度改為15

m，相應(yīng)地，儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)該改為多少(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)?例1（1）圓柱的體積公式是什么?(2)問題中有哪些量?哪些量是常量?哪些量是變量?(3)常量和變量之間存在著什么等量關(guān)系?(4)當(dāng)圓柱體的體積不變時(shí)，底面積和高有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(5)已知函數(shù)S的值，怎樣求自變量d的值?(6)已知自變量d的值，如何求函數(shù)S的值?

(1)儲(chǔ)存室的底面積S(單位:m2)與其深度d(單位:m)有怎樣的函數(shù)關(guān)系?解:(1)根據(jù)圓柱的體積公式，得Sd=104，∴S關(guān)于d的函數(shù)解析式為

(2)公司決定把儲(chǔ)存室的底面積S定為500

m2，施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向地下掘進(jìn)多深?解：把S=500代入

，得

500=，解得d=20，

∴把儲(chǔ)存室的底面積定為500

m2，施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向地下掘進(jìn)20

m深.(3)當(dāng)施工隊(duì)按(2)中的計(jì)劃，掘進(jìn)到地下15m時(shí)，公司臨時(shí)改變計(jì)劃，把儲(chǔ)存室的深度改為15m，相應(yīng)地，儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)該改為多少(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)?

解：根據(jù)題意，把d=15代入S=，得S=，解得S≈666.67(m2)，

∴當(dāng)儲(chǔ)存室的深度改為15

m時(shí)，底面積應(yīng)約改

為666.67

m2.【追問】(1)在實(shí)際問題中求函數(shù)解析式的關(guān)鍵是什么?

(2)已知自變量的值求函數(shù)值，已知函數(shù)值求自變量的值的基本思想是什么?(代入函數(shù)解析式，用方程思想求解)

例2

碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時(shí)間.

(1)輪船到達(dá)目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v(單位:噸/天)與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?

(2)由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸?思考下列問題.

(1)題中的等量關(guān)系是什么?貨物的總量=

×

.

平均卸貨速度=

÷

.

(2)如果要求貨物5天卸載完畢，那么平均每天要卸載多少噸?

(3)如果要求貨物卸載的天數(shù)不超過5天的含義是什么?

(4)自變量t越小，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值v怎樣變化?你有幾種解決這個(gè)問題的方法?(1)輪船到達(dá)目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v(單位:噸/天)與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?解：(1)設(shè)輪船上的貨物總量為k噸，則根據(jù)已知條件有k=30×8=240，所以v與t的函數(shù)解析式為

.(2)由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸?解法1:(2)把t=5代入v=

，得v=

=48.

若全部貨物恰好用5天卸載完，那么平均每天卸載48噸.對(duì)于函數(shù)v=

，當(dāng)t＞0時(shí)，t越小，v越大.這樣若貨物不超過5天卸載完，則平均每天至少要卸載48噸.解法2:(2)由v=

，得t=

，因?yàn)閠≤5，

所以

≤5，又v＞0，所以240≤5v，解得v≥48.解法3:(2)畫出函數(shù)v=(t＞0)的圖象，當(dāng)t=5時(shí)，v=48.根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，v隨t的增大而減小，所以當(dāng)0＜t≤5時(shí)，v≥48.[知識(shí)拓展]

(1)在利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)題目的實(shí)際意義找到基本的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)需要進(jìn)行變形或計(jì)算.(2)本節(jié)知識(shí)用到了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)建模思想，如將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的函數(shù)關(guān)系.(3)數(shù)形結(jié)合思想在本節(jié)中得到了廣泛的應(yīng)用.1.從實(shí)際問題中獲取信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)模型，利用反比例函數(shù)知識(shí)解決問題.

2.在解決實(shí)際問題中，根據(jù)題意寫出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

3.綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式及數(shù)形結(jié)合思想解復(fù)雜的實(shí)際問題.[課堂小結(jié)]檢測(cè)反饋1.某村的糧食總產(chǎn)量為a(a為常數(shù))噸，設(shè)該村的人均糧食產(chǎn)量為y噸，人口數(shù)為x，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象應(yīng)為(

)解析:題中等量關(guān)系為:人均糧食產(chǎn)量y×人口數(shù)x=糧食總產(chǎn)量a，所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為(x>0)，所以該函數(shù)的圖象為雙曲線在第一象限內(nèi)的一支.故選C.C2.一張正方形的紙片，剪去兩個(gè)一樣的小矩形得到一個(gè)“E”圖案，如圖所示，設(shè)小矩形的長(zhǎng)、寬分別為x，y，剪去部分的面積為20，若2≤x≤10，記y=f(x)，則y=f(x)的圖象是(

)解析:由題意知2xy=20，所以(2≤x≤10)，反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)，并且y隨x的增大而減小，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為5，當(dāng)x=10時(shí)，y有最小值為1.故選A.A3.矩形的面積是2

cm2，設(shè)長(zhǎng)為y

cm，寬為x

cm，則y與x之間的函數(shù)解析式為

.

解析:根據(jù)等量關(guān)系:長(zhǎng)×寬=矩形面積，得xy=2，所以y與x之間的函數(shù)解析式為

，根據(jù)x的實(shí)際意義知x應(yīng)大于0.故填(x>0).(x>0)4.一輛汽車勻速通過某段公路，所需時(shí)間t(h)與行駛速度v(km/h)滿足函數(shù)關(guān)系式:

，其圖象為如圖所示的一段曲線且端點(diǎn)為A(40，1)和B(m，0.5).

(1)求k和m的值;

(2)若行駛速度不得超過60

km/h，則汽車通過該路段最少需要多長(zhǎng)時(shí)間?解:(1)將(40，1)代入

，得1=

，解得k=40，所以函數(shù)解析式為t=

，當(dāng)t=0.5時(shí)，0.5=

，解得m=80，所以k=40，m=80.(2)令v=60，得t=

=

，結(jié)合函數(shù)圖象可知，汽車通過該路段最少需要

h.人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十六章反比例函數(shù)26.2實(shí)際問題與反比例函數(shù)（第2課時(shí)）學(xué)習(xí)新知有一個(gè)可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時(shí)，氣體的密度也會(huì)隨之改變，密度ρ(單位:kg/m3)是體積V(單位:m3)的反比例函數(shù)，它的圖象如圖所示，當(dāng)V=2

m3時(shí)，氣體的密度是多少千克/米3?問題思考(教材例3)小偉欲用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1200

N和0.5

m.

(1)動(dòng)力F與動(dòng)力臂l有怎樣的函數(shù)關(guān)系?當(dāng)動(dòng)力臂為1.5

m時(shí)，撬動(dòng)石頭至少需要多大的力?

(2)若想使動(dòng)力F不超過題(1)中所用力的一半，則動(dòng)力臂l至少要加長(zhǎng)多少?回答下列問題.(1)杠桿原理中的等量關(guān)系是什么?(2)阻力和阻力臂一定時(shí)，其乘積是常數(shù)，動(dòng)力F與動(dòng)力臂l有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(3)如何求動(dòng)力F與動(dòng)力臂l之間的函數(shù)解析式?(4)當(dāng)自變量l=1.5時(shí)，你能否求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值F?(5)在動(dòng)力F與動(dòng)力臂l的函數(shù)關(guān)系中，函數(shù)值隨自變量的增大怎樣變化?(6)“動(dòng)力F不超過題(1)中所用力的一半”的含義是什么意思?(7)你能結(jié)合函數(shù)圖象，用方程思想求解(2)嗎?(8)你還能用不等式等其他方法求解(2)嗎?(1)動(dòng)力F與動(dòng)力臂l有怎樣的函數(shù)關(guān)系?當(dāng)動(dòng)力臂為1.5

m時(shí)，撬動(dòng)石頭至少需要多大的力?解:(1)根據(jù)“杠桿原理”，得

Fl=1200×0.5，

當(dāng)l=1.5

m時(shí)，F(xiàn)=

=400(N).

所以F關(guān)于l的函數(shù)解析式為

F=

.對(duì)于函數(shù)F=

，當(dāng)l=1.5

m時(shí)，F(xiàn)=400

N，此時(shí)杠桿平衡.因此，撬動(dòng)石頭至少需要400

N的力.(2)若想使動(dòng)力F不超過題(1)中所用力的一半，則動(dòng)力臂l至少要加長(zhǎng)多少?解：(2)對(duì)于函數(shù)F=

，F(xiàn)隨l的增大而減小.因此，只要求出F=200

N時(shí)對(duì)應(yīng)的l的值，就能確定動(dòng)力臂l至少應(yīng)加長(zhǎng)的量.當(dāng)F=400×

=200時(shí)，由200=

得:

l=

=3，3-1.5=1.5(m).對(duì)于函數(shù)F=，當(dāng)l>0時(shí)，l越大，F(xiàn)越小.因此，若想用力不超過400

N的一半，則動(dòng)力臂至少要加長(zhǎng)1.5

m.另解:由F=

得l=

，因?yàn)镕≤200，所以l≥3，3-1.5=1.5(m).所以若想用力不超過400

N的一半，則動(dòng)力臂至少要加長(zhǎng)1.5

m.【追加思考】

此題利用反比例函數(shù)知識(shí)解釋:為什么使用撬棍時(shí)，動(dòng)力臂越長(zhǎng)越省力?(教材例4)一個(gè)用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的，其范圍為110～220

Ω，已知電壓為220

V，這個(gè)用電器的電路圖如圖所示.

(1)功率P與電阻R有怎樣的函數(shù)關(guān)系?

(2)這個(gè)用電器的功率的范圍是多少?分析:

(1)電學(xué)知識(shí)中，用電器的功率P(W)、電阻R(Ω)、兩端的電壓U(V)之間的等量關(guān)系式是PR=

，也可以寫成P=

，或R=

.

(2)由(1)得功率P與電阻R之間的關(guān)系為

.

(3)由反比例函數(shù)性質(zhì)可得功率P隨著電阻R的增大而

.

(4)當(dāng)電阻最小R=110

Ω時(shí)，功率有最

值，P=

，當(dāng)電阻最大R=220

Ω時(shí)，功率有最

值，P=

，所以用電器功率的范圍是

.

(1)功率P與電阻R有怎樣的函數(shù)關(guān)系?解:(1)根據(jù)電學(xué)知識(shí)，當(dāng)U=220時(shí)，得P=.①

(2)這個(gè)用電器的功率的范圍是多少?解：(2)根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可知，電阻越大，功率越小.把電阻的最小值R=110代入①式，得到功率的最大值（W）;把電阻的最大值R=220代入P=①式，得到功率的最小值（W）.因此用電器功率的范圍為220～440

W.[知識(shí)拓展]

(1)在利用反比例函數(shù)解決跨學(xué)科問題時(shí)，要根據(jù)物理、化學(xué)等學(xué)科中的公式建立函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)需要進(jìn)行變形或計(jì)算.

(2)本節(jié)知識(shí)用到了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)學(xué)建模思想，如將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的函數(shù)關(guān)系.檢測(cè)反饋1.一定質(zhì)量的干松木，當(dāng)它的體積V=2

m3時(shí)，它的密度ρ=0.5×103

kg/m3，則ρ與V的函數(shù)關(guān)系式是(

)

A.ρ=1000V

B.ρ=V+1000

C.ρ=

D.ρ=解析:根據(jù)物理知識(shí)得ρ=，∵體積V=2m3時(shí)，它的密度ρ=0.5×103

kg/m3，∴m=2×0.5×103=1000，∴ρ=.故選D.D2.如果變阻器兩端電壓不變，那么通過變阻器的電流y(A)與電阻x(Ω)之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是(

)解析:依題意，得電壓(U