26.2 實際問題與反比例函數(shù) 課件 2023-2024學年人教版數(shù)學九年級下冊

人教版數(shù)學九年級下冊第二十六章反比例函數(shù)26.2實際問題與反比例函數(shù)（第1課時）學習新知知識回顧1.我們學習了反比例函數(shù)的哪些內容?完成下列填空:(1)反比例函數(shù)的定義是

.

(2)反比例函數(shù)的圖象是

，當k>0時，

;當k<0時，

.

(3)待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的步驟:

.

2.前面學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)，類比前面的學習過程，我們將繼續(xù)探究什么?基本方法有哪些?3.在實際問題中建立函數(shù)模型，求解函數(shù)解析式的關鍵是什么?

市煤氣公司要在地下修建一個容積為104

m3的圓柱形煤氣儲存室.

(1)儲存室的底面積S(單位:m2)與其深度d(單位:m)有怎樣的函數(shù)關系?

(2)公司決定把儲存室的底面積S定為500

m2，施工隊施工時應該向地下掘進多深?

(3)當施工隊按(2)中的計劃，掘進到地下15

m時，公司臨時改變計劃，把儲存室的深度改為15

m，相應地，儲存室的底面積應該改為多少(結果保留小數(shù)點后兩位)?例1（1）圓柱的體積公式是什么?(2)問題中有哪些量?哪些量是常量?哪些量是變量?(3)常量和變量之間存在著什么等量關系?(4)當圓柱體的體積不變時，底面積和高有怎樣的函數(shù)關系?(5)已知函數(shù)S的值，怎樣求自變量d的值?(6)已知自變量d的值，如何求函數(shù)S的值?

(1)儲存室的底面積S(單位:m2)與其深度d(單位:m)有怎樣的函數(shù)關系?解:(1)根據(jù)圓柱的體積公式，得Sd=104，∴S關于d的函數(shù)解析式為

(2)公司決定把儲存室的底面積S定為500

m2，施工隊施工時應該向地下掘進多深?解：把S=500代入

，得

500=，解得d=20，

∴把儲存室的底面積定為500

m2，施工隊施工時應該向地下掘進20

m深.(3)當施工隊按(2)中的計劃，掘進到地下15m時，公司臨時改變計劃，把儲存室的深度改為15m，相應地，儲存室的底面積應該改為多少(結果保留小數(shù)點后兩位)?

解：根據(jù)題意，把d=15代入S=，得S=，解得S≈666.67(m2)，

∴當儲存室的深度改為15

m時，底面積應約改

為666.67

m2.【追問】(1)在實際問題中求函數(shù)解析式的關鍵是什么?

(2)已知自變量的值求函數(shù)值，已知函數(shù)值求自變量的值的基本思想是什么?(代入函數(shù)解析式，用方程思想求解)

例2

碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時間.

(1)輪船到達目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v(單位:噸/天)與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關系?

(2)由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸?思考下列問題.

(1)題中的等量關系是什么?貨物的總量=

×

.

平均卸貨速度=

÷

.

(2)如果要求貨物5天卸載完畢，那么平均每天要卸載多少噸?

(3)如果要求貨物卸載的天數(shù)不超過5天的含義是什么?

(4)自變量t越小，對應的函數(shù)值v怎樣變化?你有幾種解決這個問題的方法?(1)輪船到達目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v(單位:噸/天)與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關系?解：(1)設輪船上的貨物總量為k噸，則根據(jù)已知條件有k=30×8=240，所以v與t的函數(shù)解析式為

.(2)由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸?解法1:(2)把t=5代入v=

，得v=

=48.

若全部貨物恰好用5天卸載完，那么平均每天卸載48噸.對于函數(shù)v=

，當t＞0時，t越小，v越大.這樣若貨物不超過5天卸載完，則平均每天至少要卸載48噸.解法2:(2)由v=

，得t=

，因為t≤5，

所以

≤5，又v＞0，所以240≤5v，解得v≥48.解法3:(2)畫出函數(shù)v=(t＞0)的圖象，當t=5時，v=48.根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質，在第一象限內，v隨t的增大而減小，所以當0＜t≤5時，v≥48.[知識拓展]

(1)在利用反比例函數(shù)解決實際問題時，要根據(jù)題目的實際意義找到基本的函數(shù)關系，再根據(jù)需要進行變形或計算.(2)本節(jié)知識用到了轉化思想和數(shù)學建模思想，如將實際問題中的數(shù)量關系轉化為數(shù)學問題中的函數(shù)關系.(3)數(shù)形結合思想在本節(jié)中得到了廣泛的應用.1.從實際問題中獲取信息，轉化為數(shù)學問題，建立反比例函數(shù)模型，利用反比例函數(shù)知識解決問題.

2.在解決實際問題中，根據(jù)題意寫出函數(shù)解析式是解題的關鍵.

3.綜合運用函數(shù)、方程、不等式及數(shù)形結合思想解復雜的實際問題.[課堂小結]檢測反饋1.某村的糧食總產量為a(a為常數(shù))噸，設該村的人均糧食產量為y噸，人口數(shù)為x，則y與x之間的函數(shù)關系的大致圖象應為(

)解析:題中等量關系為:人均糧食產量y×人口數(shù)x=糧食總產量a，所以y與x之間的函數(shù)關系式為(x>0)，所以該函數(shù)的圖象為雙曲線在第一象限內的一支.故選C.C2.一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“E”圖案，如圖所示，設小矩形的長、寬分別為x，y，剪去部分的面積為20，若2≤x≤10，記y=f(x)，則y=f(x)的圖象是(

)解析:由題意知2xy=20，所以(2≤x≤10)，反比例函數(shù)圖象在第一象限內，并且y隨x的增大而減小，當x=2時，y有最大值為5，當x=10時，y有最小值為1.故選A.A3.矩形的面積是2

cm2，設長為y

cm，寬為x

cm，則y與x之間的函數(shù)解析式為

.

解析:根據(jù)等量關系:長×寬=矩形面積，得xy=2，所以y與x之間的函數(shù)解析式為

，根據(jù)x的實際意義知x應大于0.故填(x>0).(x>0)4.一輛汽車勻速通過某段公路，所需時間t(h)與行駛速度v(km/h)滿足函數(shù)關系式:

，其圖象為如圖所示的一段曲線且端點為A(40，1)和B(m，0.5).

(1)求k和m的值;

(2)若行駛速度不得超過60

km/h，則汽車通過該路段最少需要多長時間?解:(1)將(40，1)代入

，得1=

，解得k=40，所以函數(shù)解析式為t=

，當t=0.5時，0.5=

，解得m=80，所以k=40，m=80.(2)令v=60，得t=

=

，結合函數(shù)圖象可知，汽車通過該路段最少需要

h.人教版數(shù)學九年級下冊第二十六章反比例函數(shù)26.2實際問題與反比例函數(shù)（第2課時）學習新知有一個可以改變體積的密閉容器內裝有一定質量的二氧化碳，當改變容器的體積時，氣體的密度也會隨之改變，密度ρ(單位:kg/m3)是體積V(單位:m3)的反比例函數(shù)，它的圖象如圖所示，當V=2

m3時，氣體的密度是多少千克/米3?問題思考(教材例3)小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1200

N和0.5

m.

(1)動力F與動力臂l有怎樣的函數(shù)關系?當動力臂為1.5

m時，撬動石頭至少需要多大的力?

(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半，則動力臂l至少要加長多少?回答下列問題.(1)杠桿原理中的等量關系是什么?(2)阻力和阻力臂一定時，其乘積是常數(shù)，動力F與動力臂l有怎樣的函數(shù)關系?(3)如何求動力F與動力臂l之間的函數(shù)解析式?(4)當自變量l=1.5時，你能否求出對應的函數(shù)值F?(5)在動力F與動力臂l的函數(shù)關系中，函數(shù)值隨自變量的增大怎樣變化?(6)“動力F不超過題(1)中所用力的一半”的含義是什么意思?(7)你能結合函數(shù)圖象，用方程思想求解(2)嗎?(8)你還能用不等式等其他方法求解(2)嗎?(1)動力F與動力臂l有怎樣的函數(shù)關系?當動力臂為1.5

m時，撬動石頭至少需要多大的力?解:(1)根據(jù)“杠桿原理”，得

Fl=1200×0.5，

當l=1.5

m時，F(xiàn)=

=400(N).

所以F關于l的函數(shù)解析式為

F=

.對于函數(shù)F=

，當l=1.5

m時，F(xiàn)=400

N，此時杠桿平衡.因此，撬動石頭至少需要400

N的力.(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半，則動力臂l至少要加長多少?解：(2)對于函數(shù)F=

，F(xiàn)隨l的增大而減小.因此，只要求出F=200

N時對應的l的值，就能確定動力臂l至少應加長的量.當F=400×

=200時，由200=

得:

l=

=3，3-1.5=1.5(m).對于函數(shù)F=，當l>0時，l越大，F(xiàn)越小.因此，若想用力不超過400

N的一半，則動力臂至少要加長1.5

m.另解:由F=

得l=

，因為F≤200，所以l≥3，3-1.5=1.5(m).所以若想用力不超過400

N的一半，則動力臂至少要加長1.5

m.【追加思考】

此題利用反比例函數(shù)知識解釋:為什么使用撬棍時，動力臂越長越省力?(教材例4)一個用電器的電阻是可調節(jié)的，其范圍為110～220

Ω，已知電壓為220

V，這個用電器的電路圖如圖所示.

(1)功率P與電阻R有怎樣的函數(shù)關系?

(2)這個用電器的功率的范圍是多少?分析:

(1)電學知識中，用電器的功率P(W)、電阻R(Ω)、兩端的電壓U(V)之間的等量關系式是PR=

，也可以寫成P=

，或R=

.

(2)由(1)得功率P與電阻R之間的關系為

.

(3)由反比例函數(shù)性質可得功率P隨著電阻R的增大而

.

(4)當電阻最小R=110

Ω時，功率有最

值，P=

，當電阻最大R=220

Ω時，功率有最

值，P=

，所以用電器功率的范圍是

.

(1)功率P與電阻R有怎樣的函數(shù)關系?解:(1)根據(jù)電學知識，當U=220時，得P=.①

(2)這個用電器的功率的范圍是多少?解：(2)根據(jù)反比例函數(shù)性質可知，電阻越大，功率越小.把電阻的最小值R=110代入①式，得到功率的最大值（W）;把電阻的最大值R=220代入P=①式，得到功率的最小值（W）.因此用電器功率的范圍為220～440

W.[知識拓展]

(1)在利用反比例函數(shù)解決跨學科問題時，要根據(jù)物理、化學等學科中的公式建立函數(shù)關系式，再根據(jù)需要進行變形或計算.

(2)本節(jié)知識用到了轉化思想及數(shù)學建模思想，如將實際問題中的數(shù)量關系轉化為數(shù)學問題中的函數(shù)關系.檢測反饋1.一定質量的干松木，當它的體積V=2

m3時，它的密度ρ=0.5×103

kg/m3，則ρ與V的函數(shù)關系式是(

)

A.ρ=1000V

B.ρ=V+1000

C.ρ=

D.ρ=解析:根據(jù)物理知識得ρ=，∵體積V=2m3時，它的密度ρ=0.5×103

kg/m3，∴m=2×0.5×103=1000，∴ρ=.故選D.D2.如果變阻器兩端電壓不變，那么通過變阻器的電流y(A)與電阻x(Ω)之間的函數(shù)關系圖象大致是(

)解析:依題意，得電壓(U