18.1.2 平行四邊形的判定 2023-2024學年人教版數(shù)學八年級下冊

第18章平行四邊形18.1平行四邊形18.1.2平行四邊形的判定（第一課時）人教版數(shù)學八年級下冊復習回顧，引入新知練習如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．（1）已知AB=5，求DC的長；（2）已知∠DAB=60°，求∠BCD的度數(shù)；（3）已知AC=8，BD=5，求CO和BO的長．DACBO解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴

AB=DC．

又AB=5，

∴

DC=5．DACBO解：（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BCD=∠DAB．

又∠DAB=60°，

∴∠BCD=60°．DACBO解：（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴

CO=AC，BO=

BD．

又AC=8，BD=5，

∴

CO=4，BO=2.5．DACBO平行四邊形的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1

平行四邊形的對邊相等．性質(zhì)定理2平行四邊形的對角相等．性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分．性質(zhì)定義判定平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．DABC∵

AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．性質(zhì)判定ABC等腰三角形

互逆命題如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．如果一個三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等．題設結(jié)論等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)．（簡寫成“等角對等邊”)等邊對等角等角對等邊互逆定理等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的判定定理互逆關(guān)系平行線的判定和性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)和判定勾股定理及其逆定理平行四邊形的性質(zhì)性質(zhì)定理1

平行四邊形的對邊相等．性質(zhì)定理2平行四邊形的對角相等．性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分．如果一個四邊形是平行四邊形，那么它的兩組對邊分別相等．如果一個四邊形是平行四邊形，那么它的兩組對角分別相等．如果一個四邊形是平行四邊形，那么它的對角線互相平分．題設結(jié)論平行四邊形兩組對邊分別相等平行四邊形兩組對角分別相等平行四邊形對角線互相平分平行四邊形的性質(zhì)題設結(jié)論兩組對邊分別相等平行四邊形兩組對角分別相等平行四邊形對角線互相平分平行四邊形獲得猜想，規(guī)范證明猜想1

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．猜想2

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．猜想3

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

猜想1

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．題設結(jié)論已知：如圖，在四邊形ABCD中，

AB=CD，AD=BC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．如果一個四邊形兩組對邊分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形．DABC分析：兩組對邊分別平行四邊形ABCD是平行四邊形DABC兩角相等（或互補）全等三角形邊等（已知）方法一：AB=CD，AD=BCDABC連接BD（公共邊）方法一：AB=CD，AD=BCDABC1234△ABD≌△CDB∠2=∠1，∠3=∠4AB∥DC，AD∥BC四邊形ABCD是平行四邊形證明：連接BD．∵

AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB．∴∠2=∠1，∠3=∠4．∴

AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．DABC1234證明：連接AC．∵

AB=CD，AD=BC，AC=CA，∴△ABC≌△CDA．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴

AD∥BC，AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．1234DABC方法二：AB=CD，AD=BC△ABD≌△CDB∠2=∠1，∠3=∠4AB∥DC，AD∥BC∠ABC+∠C=180°∠ADC+∠C=180°連接BD（公共邊）DABC1234四邊形ABCD是平行四邊形證明：連接BD．∵

AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB．∴∠2=∠1．DABC1234∵∠1+∠4+∠C=180°，∴

∠2+∠4+∠C=180°．即∠ABC+∠C=180°．∴

AB∥CD．同理AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．DABC1234判定定理1

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．∵

AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．DABC平行四邊形的對邊相等兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形互逆定理性質(zhì)定理判定定理兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等四邊形判定平行四邊形的方法平行四邊形已知：如圖，在四邊形ABCD中，

∠A=∠C，∠B=∠D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

猜想2

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．題設結(jié)論如果一個四邊形兩組對角分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形．DABC分析：兩組對邊分別平行四邊形ABCD是平行四邊形兩組對邊分別相等定義判定定理1DABC分析：AD∥BC，AB∥DC∠A=∠C∠B=∠D∠A+∠B=180°∠B+∠C=180°（已知）∠A+∠B+∠C+∠D=360°四邊形ABCD是平行四邊形DABC證明：∵多邊形ABCD是四邊形，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．又∠A=∠C，∠B=∠D，∴

2∠A+2∠B=360°．∴

∠A+∠B=180°

．同理∠B+∠C=180°．∴

AD∥BC，AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．DABC判定定理2

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．

∵

∠A=∠C，∠B=∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形．DABC平行四邊形的對角相等兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形互逆定理性質(zhì)定理判定定理平行四邊形兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等四邊形兩組對角分別相等判定平行四邊形的方法已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD

相交于點O，且OA=OC，OB=OD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．猜想3

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．題設結(jié)論如果一個四邊形的對角線互相平分，那么這個四邊形是平行四邊形．DACBOOA=OCOD=OBAD∥BC（同理AB∥DC）DACBO（已知）∠AOD=∠COB△AOD≌△COB∠OAD=∠OCB方法一：四邊形ABCD是平行四邊形證明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴

∠OAD=∠OCB．∴

AD∥BC．同理AB∥DC．∴

四邊形ABCD是平行四邊形．DACBOOA=OCOB=ODAD=CB（同理AB=CD）DACBO（已知）∠AOD=∠COB△AOD≌△COB方法二：四邊形ABCD是平行四邊形證明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴

AD=CB．同理AB=CD．∴

四邊形ABCD是平行四邊形．DACBO判定定理3

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．DACBO平行四邊形的對角線互相平分對角線互相平分的四邊形是平行四邊形互逆定理性質(zhì)定理判定定理兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．

平行四邊形的判定定理：平行四邊形兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等四邊形兩組對角分別相等判定平行四邊形的方法對角線互相平分

例

如圖，□ABCD的對角線AC，BD相交于點O

，

E，F(xiàn)是AC上的兩點，并且AE=CF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．運用知識，鞏固提升DABCOEF分析：BE∥DFDE∥BFBE=DFDE=BF∠EBF=∠EDF∠BED=∠BFDBO=DOEO=FODABCOEF四邊形BFDE是平行四邊形邊角對角線□ABCDBO=DO，AO=CO方法一：EO=FOAE=CF(已知)DABCOEF四邊形BFDE是平行四邊形證明：∵

四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AO=CO，BO=DO．∵

AE=CF，∴

AO?AE=CO?CF．∴EO=FO．又BO=DO，

∴

四邊形BFDE是平行四邊形．DABCOEF□ABCD（已知）AD∥BC方法二：AE=CF(已知)∠DAC=∠BCAAD=BC△AED≌△CFBED=FB(同理BE=DF)DABCOEF四邊形BFDE是平行四邊形證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AD=BC，AD∥BC

．∴∠DAC=∠BCA．∵

AE=CF，∴

△AED≌△CFB．∴

ED=FB．同理

BE=DF．∴四邊形BFDE是平行四邊形．DABCOEF平行四邊形的判定邊角對角線方法多能判斷會選擇兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等兩組對角分別相等對角線互相平分

練習

如圖，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．圖中有哪些互相平行的線段？AFE

DCB

練習

如圖，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．圖中有哪些互相平行的線段？AB=DC，AD=BC分析：AD∥BC，AB∥DCAFE

DCB四邊形ABCD是平行四邊形

練習

如圖，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．圖中有哪些互相平行的線段？AFE

DCB分析：DC=EF，DE=CFDE∥CF，DC∥EF四邊形DCFE是平行四邊形

練習

如圖，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．圖中有哪些互相平行的線段？解：∵AB=DC，AD=BC，∴

四邊形ABCD是平行四邊形．∴

AB∥DC，AD∥BC．∵

DC=EF，DE=CF，∴

四邊形DCFE是平行四邊形．∴

DE∥CF，DC∥EF．AFE

DCB

練習

如圖，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．圖中有哪些互相平行的線段？解：綜上所述，圖中互相平行的線段有AB∥DC∥EF，AD∥BC，DE∥CF

．AFE

DCB反思回顧，總結(jié)提升判定性質(zhì)定義邊角對角線兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等兩組對角分別相等對角線互相平分數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系互逆平行四邊形課后作業(yè)1．如圖，□ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分

別是OA，OC的中點．求證BE=DF．AEF

DCBO

課后作業(yè)2．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=70°，BE

平分∠ABC且交AD于點E，DF∥BE且交BC于點F．

求∠1的大?。瓵EF

DCB1

第18章平行四邊形18.1平行四邊形18.1.2平行四邊形的判定(第二課時）人教版數(shù)學八年級下冊邊角對角線數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系邊角對角線復習回顧，引入新知判定

性質(zhì)

數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．復習回顧，引入新知DACBOAB∥DCAD∥BC四邊形ABCD是平行四邊形邊AB=DCAD=BC角∠DAB=∠BCD∠ADC=∠CBA對角線BO=DOAO=CO兩組兩組兩組兩組獲得猜想，規(guī)范證明猜想：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

猜想：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

如果一個四邊形一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形．

題設結(jié)論已知：如圖，在四邊形ABCD中，

AB∥CD，AB=CD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．DABC分析兩組對邊分別平行一個四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等兩組對角分別相等對角線互相平分一組對邊平行且相等DABC方法一：AB∥CDBC=DAAB∥CDDABC12□ABCD方法一：AB=CD△ABC≌△CDA∠1=∠2

連接AC∠3=∠4AB∥CD□ABCD方法二：△ABC≌△CDA∠1=∠2

連接ACDABC1243BC∥ADAB=CD連接AC△ABC≌△CDA∠3=∠4，∠B=∠DAB∥CDDABC12∠1=∠2

□ABCD方法三：43∠BAD=∠DCBAB=CD連接AC，BD△AOB≌△CODAO=CO，BO=DOAB∥CD∠1=∠2（∠AOB=∠COD）□ABCD方法四：ODABC21AB=CD證明：連接AC．∵AB∥CD，∴∠1=∠2．又

AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA．∴BC=DA．∴四邊形ABCD是平行四邊形．DABC12方法一判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

∵

AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．DABC例

如圖，在□ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．求證：四邊形EBFD是平行四邊形．運用知識，鞏固提升DABCEF

分析DABCEF

AB=CD，AB∥CD□ABCDE是AB中點F是CD中點EB∥FDEB=AB，F(xiàn)D=CD□EBFDEB=FD證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AB=CD，EB∥FD．又

EB=AB，F(xiàn)D=CD，∴

EB=FD．

∴

四邊形EBFD是平行四邊形．DABCEF

平行四邊形一組對邊位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系平行相等判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．四邊形四邊形邊角對角線兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等一組對邊平行且相等兩組對角分別相等對角線互相平分平行四邊形平行四邊形的判定方法練習如圖，AD為△ABC的角平分線，DE∥AB，在AB上截取BF=AE，試猜想EF與BD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．ABEFCDABEFCDAD為△ABC的角平分線分析DE∥AB∠BAD=∠DAC∠BAD=∠ADE∠DAC=∠ADEAE=DE（已知）（已知）ABEFCD分析BF=AEAE=DEBF=DE，DE∥AB（已知）BF∥DE□BDEFEF=BD，

EF∥BD（已證）ABEFCD猜想：EF=BD，EF∥BD．證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE．∴

∠DAC=∠ADE．∴

AE=DE．ABEFCD∵BF=AE，∴BF=DE．又

BF∥DE，∴四邊形BDEF是平行四邊形．∴

EF=BD，EF∥BD．四邊形邊角對角線兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等一組對邊平行且相等兩組對角分別相等對角線互相平分平行四邊形位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系練習如圖，在□ABCD中，BD是它的一條對角線，過A，C兩點分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F(xiàn)為垂足．求證：四邊形AFCE是平行四邊形．AFDCBEAE∥CF思路一一組對邊平行且相等對角線BDAE⊥BD，CF⊥BD思路二對角線互相平分點E，F(xiàn)在BD上方法一：AFDCBE□AFCEAE∥CFAE=CF（已知）AE⊥BDCF⊥BD∠AEF=∠CFE=90°∠AED=∠CFB=90°□ABCD（已知）AD∥BC∠ADB=∠CBDAD=BC△AED≌△CFB證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AD∥BC，AD=BC．∴∠ADB=∠CBD．∵

AE⊥BD，CF⊥BD，∴

∠AEF=∠CFE=90°，∠AED=∠CFB=90°．AFDCBE∴

△AED≌△CFB．∴AE=CF．又∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF．∴

四邊形AFCE是平行四邊形．AFDCBE□ABCDAFDCBE（已知）方法二：□ABCDAO=CO(∠AOE=∠COF)EO=FO△AEO≌△CFOAFDCBEO

□AFCE（已知）AE⊥BDCF⊥BD（已知）連接AC方法二：∠AEO=∠CFO證明：連接AC交BD于點O．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AO=CO．∵

AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO=∠CFO=90°．AFDCBEO

∵

∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO．∴EO=FO．∴四邊形AFCE是平行四邊形．AFDCBEO

方法一：AFDCBE□AFCEAE∥CFAE=CF（已知）AE⊥BDCF⊥BD∠AEF=∠CFE=90°∠AED=∠CFB=90°□ABCD（已知）AD∥BC∠ADB=∠CBDAD=BC△AED≌△CFB方法三：□AFCEAE∥CFAE=CF（已知）AE⊥BDCF⊥BD∠AEF=∠CFE=90°∠AED=∠CFB=90°□ABCD（已知）AFDCBEAB∥CD∠ABD=∠CDBAB=CD△AEB≌△CFD練習如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC．（1）已知∠A=∠B，求證AD=BC；（2）已知AD=BC，求證∠A=∠B．ADCB練習如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC．

（1）已知∠A=∠B，求證AD=BC；ADCB思路一：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．思路二：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．ADCBE過點D作DE∥CB，交AB于點E．ADCBE在AB上截取線段EB，使EB=DC，連接DE．方法一：ADCB

AD=ED∠A=∠B（已知）AB∥DC（已知）DE∥CBAD=BC□DEBCADCB1

EED=BC∠1=∠B∠A=∠1方法一：證明：過點D作DE∥CB，交AB于點E．∴∠1=∠B．∵∠A=∠B，∴∠A=∠1．∴

AD=ED．ADCB1

EADCB1

E∵DE∥CB，EB∥DC，∴四邊形DEBC是平行四邊形．∴

ED=BC．∴AD=BC．ADCB方法二：∠A=∠1ADCB1

EED∥BC∠A=∠B（已知）∠B=∠1ED=BCAB∥DC(已知)□DEBCAD=BC方法二：EB=DCAD=ED證明：在AB上截取線段EB，使