2023-2024學(xué)年湖南省永州市高一上冊期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)模擬試題（附解析）

2023-2024學(xué)年湖南省永州市高一上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)模擬試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)全集，，則（

）A． B． C． D．2．命題：，的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，2），則f（2）＝（

）A． B．4 C． D．5．扇形的面積為4，周長為8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．已知，則（

）A．1 B． C．2 D．37．已知，，，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9．若，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．10．在下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的有（

）A． B． C． D．11．定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，且時(shí)，，則（

）A．B．C．的圖象關(guān)于直線對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增12．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則（

）A．在區(qū)間上有兩條對稱軸B．的取值范圍是C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．.14．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).15．已知，，則的最小值為.16．若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)使得，其中，則稱函數(shù)為定義域上的“階局部奇函數(shù)”，對于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒為上的“階局部奇函數(shù)”，則的取值集合是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知函數(shù)(1)若，求的值；(2)若，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明.18．已知集合，(1)求；(2)已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.20．為響應(yīng)“湘商回歸，返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)”的號召，某企業(yè)回永州投資特色農(nóng)業(yè)，為了實(shí)現(xiàn)既定銷售利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎勵(lì)方案：按銷售利潤進(jìn)行獎勵(lì)，總獎金額（單位：萬元）關(guān)于銷售利潤（單位：萬元）的函數(shù)的圖象接近如圖所示，現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供企業(yè)選擇：①②③(1)請你幫助該企業(yè)從中選擇一個(gè)最合適的函數(shù)模型，并說明理由；(2)根據(jù)你在（1）中選擇的函數(shù)模型，如果總獎金不少于6萬元，則至少應(yīng)完成銷售利潤多少萬元？21．在平面直角坐標(biāo)系中，角及銳角的終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn).(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值：(2)設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，，均與軸垂直，垂足分別為，，，請判斷以線段，，為邊能否構(gòu)成三角形，并說明理由.22．已知函數(shù)，.(1)若對，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).1．C【分析】由集合補(bǔ)運(yùn)算求集合.【詳解】由，，則.故選：C2．C【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定的方法即可求解.【詳解】命題：，的否定是：，.故選：C.3．A【分析】解一元二次不等式求參數(shù)范圍，結(jié)合充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系.【詳解】由，可得，故“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A4．D【解析】利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，再代入求值即可.【詳解】設(shè)f（x）＝xa，因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象過（4，2），則有2，∴a，即，∴f（2）故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，考查了求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.5．B【分析】利用扇形的面積、弧長公式列方程求半徑、弧長，即可求扇形的圓心角.【詳解】令扇形半徑為，弧長為，則，所以扇形的圓心角的弧度數(shù)為.故選：B6．D【分析】由題設(shè)得，化弦為切求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，又.故選：D7．C【分析】由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)有，進(jìn)而有，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求，即可得答案.【詳解】由，，則，所以，又，綜上，.故選：C8．B【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)大致圖象，令并討論判斷對應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)，再由有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，討論范圍，結(jié)合對應(yīng)的分布確定根的個(gè)數(shù)，即可得范圍.【詳解】由解析式得函數(shù)大致圖象如下，由，令，可得或，令，當(dāng)或時(shí)有1個(gè)解；當(dāng)或時(shí)有2個(gè)解；當(dāng)時(shí)有3個(gè)解；當(dāng)時(shí)無解；要使有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，若，則，此時(shí)方程有1解；若，則有2個(gè)解，有1解，此時(shí)方程共有3個(gè)解；若，則有1個(gè)解，有3解，有1解，此時(shí)方程共有5個(gè)解；若，則有1個(gè)解，有3解，有2解，此時(shí)方程共有6個(gè)解；若，則有1個(gè)解，有3解，有3解，此時(shí)方程共有7個(gè)解；若，則有3個(gè)解，有3個(gè)解，此時(shí)方程共有6個(gè)解；若，則有3個(gè)解，此時(shí)方程共有3個(gè)解；若，沒有對應(yīng)，此時(shí)方程無解；綜上，.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)圖象研究對應(yīng)根的個(gè)數(shù)，再數(shù)形結(jié)合討論范圍研究根的個(gè)數(shù).9．ACD【分析】由不等式性質(zhì)判斷A、B、C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】由，則，，A、C對；若，此時(shí)，B錯(cuò)；由單調(diào)遞增，故，D對.故選：ACD10．BCD【分析】根據(jù)指數(shù)、冪函數(shù)及三角函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)奇偶性、區(qū)間單調(diào)性，即可得答案.【詳解】由為奇函數(shù)，A不符；由定義域?yàn)镽，且，為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，B符合；由定義域?yàn)?，且，為偶函?shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，C符合；由定義域?yàn)镽，且，為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，D符合；故選：BCD11．ABD【分析】由題設(shè)關(guān)系得，結(jié)合區(qū)間解析式求值判斷A；根據(jù)已知有，即，利用遞推關(guān)系即可判斷B；由已知可得即可判斷C；根據(jù)周期性，區(qū)間與區(qū)間的單調(diào)性相同，結(jié)合已知區(qū)間單調(diào)性及偶函數(shù)判斷D.【詳解】由，A對；由題設(shè)，即，B對；由，則，綜上，即關(guān)于對稱，C錯(cuò)；根據(jù)周期性，區(qū)間上單調(diào)性與區(qū)間上單調(diào)性相同，又時(shí)，，即在上上遞減，又是偶函數(shù)，所以在區(qū)間上遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，D對.故選：ABD12．BC【分析】由題設(shè)有在有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得，再由各項(xiàng)描述逐項(xiàng)判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】區(qū)間上且，故在有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，可得，B對；當(dāng)時(shí)，此時(shí)只有一條對稱軸，即在上可能只有一條對稱軸，A錯(cuò)；區(qū)間上，而，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對；由，即，又，所以或，可得或，D錯(cuò).故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用換元法，將問題化為在有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)求參數(shù)范圍為關(guān)鍵.13．【分析】利用換底公式計(jì)算不同底數(shù)的對數(shù)運(yùn)算，再與－8的立方求和即得．【詳解】故答案為：－511．14．（1,3）【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】令，可得，所以，即圖象恒過定點(diǎn)（1,3）.故答案為：（1,3）15．【分析】兩次應(yīng)用基本不等式求目標(biāo)式最小值，注意取值條件.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)第一個(gè)等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)第二個(gè)等號成立，綜上，時(shí)目標(biāo)式有最小值為.故答案為：16．【分析】由題意，建立方程，利用分類討論思想，結(jié)合一元二次方程有解問題，可得答案.【詳解】由題意得，函數(shù)恒為上的“階局部奇函數(shù)”，即在上有解，則有，即有解，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，對于任意的實(shí)數(shù)，，變形可得，解可得：，由，故.故答案為：.17．(1)；(2)在區(qū)間上遞增，證明見解析.【分析】（1）由，將自變量代入求值即可；（2）設(shè)，應(yīng)用作差法比較證明單調(diào)性.【詳解】（1）由題設(shè)，則，故；（2）在區(qū)間上遞增，證明如下：令，則，又，則，且，所以，即在區(qū)間上遞增.18．(1)；(2).【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，解對數(shù)不等式求集合B，再應(yīng)用集合交運(yùn)算求結(jié)果；（2）由包含關(guān)系，討論、列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，，所以；（2）由，若，則滿足題設(shè)；若，則，即；綜上，.19．(1)；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和.【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)式得，即可求最小正周期；（2）根據(jù)圖象平移得，由正弦函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用整體法求遞增區(qū)間.【詳解】（1）由題設(shè)，所以的最小正周期；（2）圖象向右平移個(gè)單位長度，得，把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得，在上，顯然或，所以或，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和.20．(1)③,理由見解析(2)72萬元【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)所過的點(diǎn)，以及函數(shù)的增長速度，即可求解．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，將對應(yīng)的點(diǎn)代入，即可求解函數(shù)表達(dá)式，列不等式求解即可.【詳解】（1）對于模型①，，圖象為直線，故①錯(cuò)誤，由圖可知，該函數(shù)的增長速度較慢，對于模型②，指數(shù)型的函數(shù)是爆炸型增長，故②錯(cuò)誤，對于模型③，對數(shù)型的函數(shù)增長速度較慢，符合題意，故選項(xiàng)模型③，（2）由（1）可知，選項(xiàng)模型③，所求函數(shù)過點(diǎn)，，則，解得，，故所求函數(shù)為，，即，，，至少應(yīng)完成銷售利潤72萬元．21．(1)(2)利用見解析【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡計(jì)算即可；（2）由，范圍，得，，由此可得證符合三角形兩邊之和大于第三邊．【詳解】（1）已知是銳角，則,根據(jù)三角函數(shù)的定義，得，，，．（2）能構(gòu)成三角形，理由如下：由三角函數(shù)的定義得，，，，因?yàn)?，所以，于是有，①?又因?yàn)?，所以，，②故同理，，③，由①，②，③可得，以，，的長為三邊長能構(gòu)成三角形．22．(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）將問題化為，令，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求最值得在上恒成立，進(jìn)而化為求參數(shù)范圍；（2）令轉(zhuǎn)化為研究在上解的個(gè)數(shù)，求出右側(cè)范圍，再討論參數(shù)a，確定對應(yīng)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）對，都有，只需，由在