北師大版七年級數學下冊 專題1.1 冪的運算-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題1.1冪的運算-重難點題型【北師大版】【知識點1冪的運算】①同底數冪的乘法：am·an=am+n。同底數冪相乘，底數不變，指數相加。②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數不變，指數相乘。③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。④同底數冪的除法：am÷an=am-n。同底數冪相除，底數不變，指數相減。任何不等于0的數的0次冪都等于1。【題型1冪的基本運算】【例1】（2023?高新區(qū)校級三模）下列計算正確的是（）A．x8÷x4＝x2 B．x3?x4＝x12 C．（x3）2＝x6 D．（﹣x2y3）2＝﹣x4y6【變式1-1】（2020秋?南寧期末）下列運算正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C．a6÷a2＝a3 D．a﹣1=1a（【變式1-2】（2023?椒江區(qū)一模）下列運算正確的是（）A．a2?a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．a5÷a3＝a2【變式1-3】（2023?元陽縣模擬）下面計算正確的是（）A．3a+2b＝5ab B．（π?3）0＝1C．（﹣2a2）3＝﹣6a6 D．x3÷x?x﹣1＝x3【題型2冪的運算法則逆用（比較大?。俊纠?】（2023春?蚌埠期末）若a＝（?34）﹣2，b＝（?12）0，A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【變式2-1】（2023春?江都區(qū)校級期中）若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三數的大小為（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【變式2-2】（2023?沙坪壩區(qū)校級開學）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【變式2-3】（2023?彭州市校級開學）已知a＝266，b＝355，c＝444，d＝533，則a、b、c、d的大小關系（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．a＜d＜b＜c【題型3冪的運算法則逆用（求代數式的值）】【例3】（2023春?萊陽市期末）已知10a＝5，10b＝2，則103a+2b﹣1的值為．【變式3-1】（2023春?青川縣期末）已知am＝2，an＝3，則（a3m﹣n）2＝．【變式3-2】（2023春?儀征市期中）（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．【變式3-3】（2023春?寶應縣月考）（1）若（9m+1）2＝316，求正整數m的值．（2）已知n為正整數，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【題型4冪的運算法則逆用（整體代入）】【例4】（2023春?海陵區(qū)校級期末）若3x+2y﹣3＝0，則8x?4y等于．【變式4-1】（2023春?嵊州市期末）若4x﹣3y﹣3＝0，則104x÷103y＝．【變式4-2】（2023春?鄞州區(qū)校級期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x?27y÷81z的值．【變式4-3】（2023春?高新區(qū)月考）先化簡，再求值（1）已知2x+y＝1，求代數式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．（2）已知n為正整數，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．（3）若x、y滿足x2+y①（x+y）2；②x4+y4．【題型5冪的運算法則（混合運算）】【例5】（2023春?渠縣期末）計算．（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2．（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（?12）【變式5-1】（2023春?徐州期末）計算：（1）﹣22+20210+|﹣3|；（2）（a2）3+a2?a4﹣a7÷a．【變式5-2】（2023春?江都區(qū)校級期中）計算：（1）(1（2）（﹣2x2）3+x2?x4+（﹣3x3）2．【變式5-3】（2023春?臨淄區(qū)期末）計算：（1）（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）；（2）﹣（3×2﹣2）0+（?12）﹣3﹣4﹣2×（?1【題型6冪的運算法則（新定義問題）】【例6】（2020春?龍口市期末）規(guī)定兩個非零數a，b之間的一種新運算，如果am＝b，那么a※b＝m．例如：因為52＝25，所以5※25＝2；因為50＝1，所以5※1＝0．（1）根據上述規(guī)定填空：2※16＝；3※127=（2）在運算時，按以上規(guī)定請說明等式8※9+8※10＝8※90成立．【變式6-1】（2023春?金水區(qū)期中）如果ac＝b，那么我們規(guī)定（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據上述規(guī)定填空：（4，16）＝，（3，1）＝，（2，0.25）＝；（2）若（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c．判斷a，b，c之間的數量關系，并說明理由．【變式6-2】（2023春?邗江區(qū)月考）規(guī)定兩數a，b之間的一種運算，記作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據上述規(guī)定，填空：①（5，125）＝，（﹣2，﹣32）＝；②若(x，116)=?4，則x（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，試說明下列等式成立的理由：a+b＝c．【變式6-3】（2023春?安慶期末）規(guī)定兩數a，b之間的種運算，記作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據上述規(guī)定，填空：（5，125）＝；（5，1）＝；（2，14）＝（2）小明在研究這種運算時發(fā)現一個特例：對任意的正整數n，（3n，4n）＝（3，4）．小明給了如下的證明：設（3n，4n）＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）請根據以上規(guī)律：計算：（16，10000）﹣（64，1000000）．（3）證明下面這個等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）．專題1.1冪的運算-重難點題型【北師大版】【知識點1冪的運算】①同底數冪的乘法：am·an=am+n。同底數冪相乘，底數不變，指數相加。②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數不變，指數相乘。③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。④同底數冪的除法：am÷an=am-n。同底數冪相除，底數不變，指數相減。任何不等于0的數的0次冪都等于1?！绢}型1冪的基本運算】【例1】（2023?高新區(qū)校級三模）下列計算正確的是（）A．x8÷x4＝x2 B．x3?x4＝x12 C．（x3）2＝x6 D．（﹣x2y3）2＝﹣x4y6【分析】A，符合同底數冪相除法則；B，同底數冪相乘底數不變指數相加；C，符合冪的乘方運算法則；D，指數是偶次冪結果為正．【解答】A：x8÷x4＝x4，∴A不符合要求；B：原式＝x7，∴B不符合要求；C：符合冪的乘方運算法則，∴C符合要求；D：原式＝x4y6，∴D不符合要求．故選：C．【變式1-1】（2020秋?南寧期末）下列運算正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）3＝﹣6a3 C．a6÷a2＝a3 D．a﹣1=1a（【分析】利用冪的乘方的法則，積的乘方的法則，同底數冪的除法的法則，負整數指數對各項進行運算即可得出結果．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合題意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故B不符合題意；C、a6÷a2＝a4，故C不符合題意；D、a﹣1=1a（a≠0），故故選：D．【變式1-2】（2023?椒江區(qū)一模）下列運算正確的是（）A．a2?a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．a5÷a3＝a2【分析】根據同底數冪的乘法運算法則進行計算判斷A，根據冪的乘方運算法則進行計算判斷B，根據積的乘方運算法則進行計算判斷C，根據同底數冪的除法運算法則進行計算判斷D．【解答】解：A、a2?a4＝a6，故此選項不符合題意；B、（a2）3＝a6，故此選項不符合題意；C、（ab）2＝a2b2，故此選項不符合題意；D、a5÷a3＝a2，正確，故此選項符合題意；故選：D．【變式1-3】（2023?元陽縣模擬）下面計算正確的是（）A．3a+2b＝5ab B．（π?3）0＝1C．（﹣2a2）3＝﹣6a6 D．x3÷x?x﹣1＝x3【分析】A．由3a和2b不是同類項，不能合并可得結果；B．任何非零數的零指數冪等于1，可得結果；C．根據積的乘方等于乘方的積，可計算結果；D．先計算同底數冪的除法計算，再利用同底數冪的乘法進行計算即可．【解答】解：A．3a和2b不是同類項，不能合并，計算錯誤，不符合題意；B．（π?3）0C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，計算錯誤，不符合題意；D．x3÷x?x﹣1＝x，計算錯誤，不符合題意；故選：B．【題型2冪的運算法則逆用（比較大?。俊纠?】（2023春?蚌埠期末）若a＝（?34）﹣2，b＝（?12）0，A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【分析】直接利用負整數指數冪的性質以及零指數冪的性質分別化簡得出答案．【解答】解：a＝（?34）﹣2=169，b＝（?12）0故a＞c＞b．故選：D．【變式2-1】（2023春?江都區(qū)校級期中）若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三數的大小為（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【分析】直接利用負整數指數冪的性質以及零指數冪的性質分別化簡得出答案．【解答】解：∵a＝0.52＝0.25，b＝﹣5﹣2=?125，c＝（﹣5）∴c＞a＞b．故選：B．【變式2-2】（2023?沙坪壩區(qū)校級開學）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【分析】將a、b、c轉化為同底數形式，即可比較大小．【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；∴3124＞3123＞3122，即a＞b＞c．故選：A．【變式2-3】（2023?彭州市校級開學）已知a＝266，b＝355，c＝444，d＝533，則a、b、c、d的大小關系（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．a＜d＜b＜c【分析】根據冪的乘方法則計算，比較大小即可．【解答】解：∵a＝266＝（26）11＝6411；b＝355＝（35）11＝24311；c＝444＝（44）11＝25611；d＝533＝（53）11＝12511；∴6411＜12511＜24311＜25611，即a＜d＜b＜c．故選：D．【題型3冪的運算法則逆用（求代數式的值）】【例3】（2023春?萊陽市期末）已知10a＝5，10b＝2，則103a+2b﹣1的值為50．【分析】把同底數冪的乘除運算法則及冪的乘方運算法則逆用，變形103a+2b﹣1代入計算，即可求出結果．【解答】解：∵10a＝5，10b＝2，∴103a+2b﹣1＝103a×102b÷10＝（10a）3×（10b）2÷10＝53×22÷10＝50，故答案為：50．【變式3-1】（2023春?青川縣期末）已知am＝2，an＝3，則（a3m﹣n）2＝649【分析】逆向運用同底數冪的除法法則以及冪的乘方運算法則計算即可．【解答】解：∵am＝2，an＝3，∴a3m＝（am）3＝23＝8，∴（a3m﹣n）2＝（a3n÷an）2＝（8÷3）2=64故答案為：649【變式3-2】（2023春?儀征市期中）（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．【分析】（1）逆向運用同底數冪的乘法法則以及冪的乘方運算法則計算即可；（2）逆向運用同底數冪的除法法則以及冪的乘方運算法則計算即可．【解答】解：（1）∵10m＝5，10n＝2，∴103m+2n＝（10m）3?（10n）2＝53×22＝125×4＝500；（2）∵8m÷4n＝23m÷22n＝23m﹣2n＝16＝24，∴3m﹣2n＝4，∴2n﹣3m＝﹣4，∴（﹣3）2n﹣3m=(?3)【變式3-3】（2023春?寶應縣月考）（1）若（9m+1）2＝316，求正整數m的值．（2）已知n為正整數，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【分析】（1）根據冪的乘方運算法則計算即可；（2）根據冪的乘方與積的乘方運算法則計算即可．【解答】解：（1）∵（9m+1）2＝（32m+2）2＝34m+4＝316，∴4m+4＝16，解得m＝3；（2）∵n為正整數，且x2n＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4（x2n）2＝9（x2n）3﹣4（x2n）2＝9×23﹣4×22＝9×8﹣4×4＝72﹣16＝56．【題型4冪的運算法則逆用（整體代入）】【例4】（2023春?海陵區(qū)校級期末）若3x+2y﹣3＝0，則8x?4y等于8．【分析】把8x?4y都改為底數為2的乘方，再利用同底數冪的乘法計算，由3x+2y﹣3＝0得出3x+2y＝3整體代入即可．【解答】解：∵3x+2y﹣3＝0，∴3x+2y＝3，∴8x?4y＝23x?22y＝23x+2y＝23＝8．故答案為：8．【變式4-1】（2023春?嵊州市期末）若4x﹣3y﹣3＝0，則104x÷103y＝1000．【分析】先把已知等式4x﹣3y﹣3＝0，變形為4x﹣3y＝3，再根據同底數冪除法法則整體代入計算即可．【解答】解：∵4x﹣3y﹣3＝0，∴4x﹣3y＝3，∴104x÷103y＝104x﹣3y＝103＝1000．故答案為：1000．【變式4-2】（2023春?鄞州區(qū)校級期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x?27y÷81z的值．【分析】由2x+3y﹣4z+1＝0可得2x+3y﹣4z＝﹣1，再根據同底數冪的乘除法以及冪的乘方運算法則求解即可．【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，∴2x+3y﹣4z＝﹣1，∴9x?27y÷81z＝32x×33y÷34z＝32x+3y﹣4z＝3﹣1=1【變式4-3】（2023春?高新區(qū)月考）先化簡，再求值（1）已知2x+y＝1，求代數式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．（2）已知n為正整數，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．（3）若x、y滿足x2+y①（x+y）2；②x4+y4．【分析】（1）根據完全平方公式化簡后，再把2x+y＝1代入計算即可；（2）根據冪的乘方的運算法則化簡后，把x2n＝4代入計算即可；（3）根據完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）∵2x+y＝1，∴（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）＝y2+2y+1﹣y2+4x﹣4＝4x+2y﹣3＝2（2x+y）﹣3＝2﹣3＝﹣1；（2）∵x2n＝4，∴（x3n）2﹣2（x2）2n＝（x2n）3﹣2（22n）2＝43﹣2×42＝64﹣2×16＝32；（3）①∵x2+y∴（x+y）2＝x2+y2+2xy=5②∵x2+y∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2=(5【題型5冪的運算法則（混合運算）】【例5】（2023春?渠縣期末）計算．（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2．（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（?12）【分析】（1）把4轉化成底數為2，再根據同底數冪的乘法的法則與同底數冪的除法的法則進行運算即可；（2）根據冪的乘方，零指數冪，負整數指數冪等運算法則對式子進行運算即可．【解答】解：（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2＝22×22n÷22n﹣2＝22+2n﹣2n+2＝24＝16；（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（?12）＝1×1﹣5﹣（﹣8）＝1﹣5+8＝4．【變式5-1】（2023春?徐州期末）計算：（1）﹣22+20210+|﹣3|；（2）（a2）3+a2?a4﹣a7÷a．【分析】（1）分別根據有理數的乘方的定義，任何非零數的零次冪等于1以及絕對值的性質計算即可；（2）分別根據冪的乘方，同底數冪的乘法法則以及同底數冪的除法法則計算即可．【解答】（1）原式＝﹣4+1+3＝0；（2）原式＝a6+a6﹣a6＝a6．【變式5-2】（2023春?江都區(qū)校級期中）計算：（1）(1（2）（﹣2x2）3+x2?x4+（﹣3x3）2．【分析】（1）分別根據負整數指數冪的定義，任何非零數的零次冪等于1以及絕對值的性質計算即可；（2）分別根據積的乘方運算法則，同底數冪的乘法法則化簡即可；積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣3+2＝0；（2）原式＝﹣8x6+x6+9x6＝2x6．【變式5-3】（2023春?臨淄區(qū)期末）計算：（1）（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）；（2）﹣（3×2﹣2）0+（?12）﹣3﹣4﹣2×（?1【分析】（1）直接將原式化為同底數，再利用同底數冪的除法運算法則計算得出答案；（2）直接利用零指數冪的性質以及負整數指數冪的性質分別化簡得出答案．【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）6÷[﹣（x﹣y）3]÷（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2；（2）原式＝﹣1﹣8?1＝﹣1﹣8+4＝﹣5．【題型6冪的運算法則（新定義問題）】【例6】（2020春?龍口市期末）規(guī)定兩個非零數a，b之間的一種新運算，如果am＝b，那么a※b＝m．例如：因為52＝25，所以5※25＝2；因為50＝1，所以5※1＝0．（1）根據上述規(guī)定填空：2※16＝4；3※127=（2）在運算時，按以上規(guī)定請說明等式8※9+8※10＝8※90成立．【分析】（1）根據規(guī)定的兩數之間的運算法則解答；（2）根據積的乘方法則，結合定義計算．【解答】解：（1）∵24＝16，∴2※16＝4；∵3?3∴3※127故答案為：4；﹣3；（2）設8※9＝x，8※10＝y，則8x＝9，8y＝10，8x×8y＝8x+y＝90，∴8※90＝x+y，∵8※9+8※10＝x+y，∴8※9+8※10＝8※90．【變式6-1】（2023春?金水區(qū)期中）如果ac＝b，那么我們規(guī)定（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據上述規(guī)定填空：（4，16）＝2，（3，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2；（2）若（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c．判斷a，b，c之間的數量關系，并說明理由．【分析】（1）直接利用冪的乘方運算法則計算得出答案；（2）直接利用冪的乘方運算法則以及同底數冪的乘法運算法則計算得出答案．【解答】解：（1）∵42＝16，∴（4，16）＝2，∵30＝1，∴（3，1）＝0，∵2﹣2=1∴（2，0.25）＝﹣2．故答案為：2，0，﹣2；（2）2a+b＝c．理由：∵（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c，∴3a＝4，3b＝6，3c＝96，∴（3a）2×3b＝3c，∴2a+b＝c．【變式6-2】（2023春?邗江區(qū)月考）規(guī)定兩數a，b之間的一種運算，記作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因為23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根據上述規(guī)定，填空：①（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5；②若(x，116)=?4，則x（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，試說明下列等式成立的理由：a+b＝c．【分析】根據