數(shù)學(xué)人教A版必修2課時(shí)作業(yè)2-3-34直線與平面垂直的性質(zhì)平面與平面垂直的性質(zhì)

課時(shí)作業(yè)17直線與平面垂直的性質(zhì)平面與平面垂直的性質(zhì)——基礎(chǔ)鞏固類——1．下列命題：①垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；③一條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線互相垂直．其中正確的個(gè)數(shù)是(D)A．0B．1C．2D．3解析：①②③均正確．2．下列命題中錯(cuò)誤的是(D)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β解析：由平面與平面垂直的有關(guān)性質(zhì)可以判斷出D項(xiàng)錯(cuò)誤．3.如圖所示，三棱錐P-ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，則(B)A．PD?平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC解析：∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.4．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則(C)A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直C．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，必存在直線與m垂直D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直解析：因?yàn)槠矫姒僚c平面β相交，直線m⊥α，所以m垂直于兩平面的交線，所以β內(nèi)不一定存在直線與m平行，必存在直線與m垂直．5．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(D)A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l解析：若α∥β，則由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，這與m，n是異面直線矛盾，故α與β相交．設(shè)α∩β＝直線a，過空間內(nèi)一點(diǎn)P，作m′∥m，n′∥n，則m′與n′相交，m′與n′確定的平面為γ.因?yàn)閘⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.因?yàn)閙⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.又因?yàn)閘?α，l?β，所以l與a不重合．所以l∥a.綜上知，故選D.6.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在(A)A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部解析：連接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB為交線．因此，點(diǎn)C1在平面ABC上的射影必在直線AB上，故選A.7．長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1內(nèi)，且MN⊥BC于點(diǎn)M，則MN與AA1的位置關(guān)系是平行．解析：如圖．易知AB⊥平面BCC1B1.又∵M(jìn)N?平面BCC1B1，∴AB⊥MN.又∵M(jìn)N⊥BC，AB∩BC＝B，∴MN⊥平面ABCD，易知AA1⊥平面ABCD.故AA1∥MN.8．已知直二面角α-l-β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD的長(zhǎng)為eq\r(2).解析：如圖，連接BC，∵二面角α-l-β為直二面角，AC?α，且AC⊥l，∴AC⊥β，又BC?β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(2).9．如圖，若邊長(zhǎng)為4和3與邊長(zhǎng)為4和2的兩個(gè)矩形所在的平面互相垂直，則cosαcosβ＝eq\r(5)2.解析：由題意，兩個(gè)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為5,2eq\r(5)，所以cosα＝eq\f(5,\r(25＋4))＝eq\f(5,\r(29))，cosβ＝eq\f(2\r(5),\r(29))，所以cosαcosβ＝eq\r(5)2.10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求證：PC⊥BC；(2)求多面體A-PBC的體積．解：(1)證明：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD.又PC?平面PCD，∴PC⊥BC.(2)∵PD⊥平面ABCD，∴VA-PBC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PD.∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴△ABC為直角三角形且∠ABC為直角．∵PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，∴VA-PBC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AB·BC·PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×2×2＝eq\f(8,3).11.如圖，在三棱錐P-ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求證：平面PEF⊥平面PBC.證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB.又EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E為AC的中點(diǎn)，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F為BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.——能力提升類——12.如圖所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直線l過點(diǎn)A且垂直于平面ABC，動(dòng)點(diǎn)P∈l，當(dāng)點(diǎn)P逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)A時(shí)，∠PCB的大小(C)A．變大B．變小C．不變D．有時(shí)變大有時(shí)變小解析：∵BC⊥CA，l⊥平面ABC，∴BC⊥l，∴BC⊥平面ACP，∴BC⊥CP，∴∠PCB＝90°，故選C.13．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是(B)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′-BCD的體積為eq\f(1,3)解析：取BD的中點(diǎn)O，連接A′O，OC，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假設(shè)A′C⊥BD，又A′C∩A′O＝A′，∴BD⊥平面A′OC，∴BD⊥OC與OC不垂直于BD矛盾，∴A′C不垂直于BD，A錯(cuò)誤．∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′D，∴A′C＝eq\r(2)，∵A′B＝1，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(3)，∴A′B2＋A′C2＝BC2，A′B⊥A′C，B正確．∠CA′D為直線CA′與平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C錯(cuò)誤．VA′-BCD＝eq\f(1,3)S△A′BD·CD＝eq\f(1,6)，D錯(cuò)誤，故選B.14.如圖所示，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的正投影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確命題的序號(hào)是①②③.解析：對(duì)于①，因?yàn)镻A⊥平面ABC，故PA⊥BC.又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，從而BC⊥AF.又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，故①正確．對(duì)于②，由①知AF⊥PB，而AE⊥PB，從而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB，故②正確．對(duì)于③，由AF⊥平面PBC，得AF⊥BC，故③正確．對(duì)于④，AE與平面PBC不垂直，故④不正確．15．如圖，在斜三棱柱(側(cè)棱不垂直于底面)A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD⊥CC1；(2)過側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線BC1的平面交側(cè)棱AA1于M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.證明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，且平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴AD⊥側(cè)面BB1C1C.又∵CC1?平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.