重慶市南開中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

重慶南開中學(xué)高2025級高二（上）期末考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.1.拋物線的焦點坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由標(biāo)準(zhǔn)方程可確定焦點位置和焦點橫坐標(biāo)，從而得到結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知其焦點在軸上且，其焦點坐標(biāo)為.故選：C.2.若等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】由等比中項可知的值.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以是和等比中項，所以，又因為各項均為正數(shù)，所以.故選：D.3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式求出，可計算，由此確定解析式，進而求值.【詳解】由得，所以，所以，所以，故.故選：A4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】因為的定義域為，所以，由得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故選：C5.已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，則（）A.12 B.15 C.18 D.24【答案】B【解析】【分析】由題意解方程組，求得數(shù)列的首項和公差，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，得，解得，故，故選：B6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的圖象變化，判斷函數(shù)的圖象的變化情況，結(jié)合選項，即可得答案.【詳解】由的圖象可知時，，且的值逐漸減小，此時的圖象應(yīng)是上升的，且上升趨勢越來越平緩，當(dāng)時，，且的值逐漸增大，此時的圖象應(yīng)是上升的，且上升趨勢越來越陡峭，結(jié)合選項，符合的圖象特征的為選項D中圖象，故選：D7.若橢圓C：的離心率為，左頂點為A，點P，Q為C上任意兩點且關(guān)于y軸對稱，則直線AP和直線AQ的斜率之積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓離心率求得，設(shè)，表示出的表達式，結(jié)合橢圓方程化簡，即可得答案.【詳解】由題意知橢圓C：的離心率為，即，設(shè)，則，又，故，又，故，故選：C8.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求解不等式即得.【詳解】令函數(shù)，而，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由，得，不等式，解得，所以不等式的解集是.故選：A【點睛】思路點睛：對于含有導(dǎo)函數(shù)的不等式的問題，在求解過程中一般要通過構(gòu)造函數(shù)來解決，構(gòu)造時要結(jié)合題中的條件，再判斷出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性求解.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.9.下列函數(shù)在定義域上為增函數(shù)的是（）A. B.C D.【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合選項中的函數(shù)，求得相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號，即可判定函數(shù)的單調(diào)，得到答案．【詳解】對于A中，函數(shù)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以A不符合題意對于B,函數(shù)（），可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故B符合，對于C中，,則，故單調(diào)遞增；故C符合，對于D，函數(shù)，可得，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以D不符合題意；故選：BC．10.設(shè)等差數(shù)列的前n項和是，已知，，則下列選項正確的有（）A.， B.C.與均為的最大值 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，，利用等差數(shù)列前n項和公式得到，，再逐項判斷.【詳解】因為，，所以，即，因為，所以，所以，所以等差數(shù)列的前7項為正數(shù)，從第8項開始為負數(shù)，則，，為的最大值．故選：ABD．11.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線C的一個交點為P，下列說法正確的是（）A.圓的方程為 B.雙曲線C的漸近線方程為C.到C的漸近線的距離為2 D.的面積為4【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圓的半徑和圓心即可求解A，根據(jù)漸近線方程的求解即可判斷B，根據(jù)點到直線的距離公式即可求解C，根據(jù)雙曲線定義，結(jié)合垂直關(guān)系即可求解D.【詳解】由可得，對于A，由于圓心為坐標(biāo)原點，直徑為，所以圓的方程為，A正確，對于B，漸近線方程為，故B錯誤，對于C,到一條漸近線為的距離，所以C正確；對于D，由題意可得，，又，，故的面積為，故D正確；故選：ACD12.若函數(shù)有極值點，且，，則下列說法正確的是（）A.，有 B.，使得C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)極值和零點分析可知，，，，對于AB：結(jié)合函數(shù)解析式分析判斷；對于C：根據(jù)，有，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于D：構(gòu)建分析可得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】有題意可得：，因為函數(shù)有極值點，則，可得，，令，解得或；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知在取到極小值，所以符合題意，則的極大值為，極小值為，若，且，則，解得，且，，所以，，，對于選項AB：因為,若，則，故，所以A正確；B錯誤；對于選項C：，有，則，即，因為，且在上單調(diào)遞減，可得，即，故C錯誤；對于選項D：令，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，可得，則，且，在上單調(diào)遞增，可得，即，故D正確；故選：AD.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可求出公比的平方，結(jié)合，即可求得答案.【詳解】由題意知數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，，設(shè)數(shù)列的公比為q，則，則，故答案：14.若是函數(shù)，的極值點，則______.【答案】1【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點的含義可得，經(jīng)驗證即可確定答案.【詳解】由于，故，由于是函數(shù)的極值點，故，即，此時，由于，則，故是的變號零點，即是函數(shù)，的極值點，符合題意，故，故答案為：1.15.已知，是橢圓C：的左、右焦點，P為C上異于頂點的一點，的平分線PQ交x軸于點Q.若，則橢圓C的離心率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)定理結(jié)合橢圓定義即可得到關(guān)于的方程，則得到離心率的值.【詳解】設(shè)，則，則，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得，即，解得，則根據(jù)橢圓定義得，，故答案為：.16.若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實數(shù)t的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出曲線與公切線的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩切點坐標(biāo)之間的關(guān)系式，進而求出t的表達式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可求得答案.【詳解】由題意得，，設(shè)公切線與曲線切于點，與曲線切于點，則，則，，當(dāng)時，，函數(shù)與的圖象存在公切線，符合題意；當(dāng)時，，即，故，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，故，故，綜合得實數(shù)t的取值范圍為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解答時要設(shè)出曲線與公切線的切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切點坐標(biāo)之間關(guān)系，關(guān)鍵在于由此結(jié)合該關(guān)系求得參數(shù)t的表達式，進而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決問題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上.17.已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求；（2）若，求數(shù)列的前20項的和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，從而求出與的值即可得到；（2）根據(jù)的通項公式可知利用裂項相消求和法即可求出．【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以，所以，【小問2詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，由（1）可知，所以．18.已知橢圓C：（）的離心率為，焦距為.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線與C交點P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，且，求實數(shù)k的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由焦距及離心率求出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，，由得，求得k的值.【小問1詳解】由題，，所以，，橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立方程組，得，則，即，，，因為，所以，即，得，滿足，合題意.所以.19.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求的極值；（2）若在上為減函數(shù)，求a的取值范圍.【答案】（1）極小值為，的極大值為；（2）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進而求得極值；（2）先將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為在恒成立，求出函數(shù)最大值即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)或時，；所以在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故的極小值為，的極大值為.【小問2詳解】由已知得在恒成立，即在恒成立，分離參數(shù)得在恒成立，令，則，且，所以在單調(diào)遞減，故，所以，故a的取值范圍為.20.已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出；（2）記，是數(shù)列的前n項和.若對任意的都有，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)列遞推式推出，結(jié)合等比數(shù)列定義，即可證明結(jié)論，繼而求得；（2）由（1）可得的表達式，利用錯位相減法求得，由此分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【小問1詳解】證明：由題意知數(shù)列滿足，，故，由于，故，故數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則；【小問2詳解】由（1）得，故，則，故，故，則對任意的都有，即，即恒成立；由于，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故，當(dāng)時取等號，故.21.已知點，動點到直線l：的距離為d，且，記S的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若，分別為曲線C的左、右頂點，M，N兩點在直線上，且.連接，分別與C交于點P，Q，求證：直線PQ過定點，并求出定點坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見解析，定點【解析】【分析】（1）根據(jù)，分別表示出，，化簡即得曲線C的方程；（2）根據(jù)題意，表示出，的直線方程，與曲線聯(lián)立，表示出，兩點坐標(biāo)，求出直線方程，進而得到直線恒過定點.【小問1詳解】因為點，動點到直線l：的距離為d，所以，又因為，所以，兩邊同時平方得，整理得，所以曲線C的方程.【小問2詳解】由（1）可得，,設(shè)，因為，則，，，將與聯(lián)立，消去整理得，所以，即，，所以，所以，，故，將與聯(lián)立，消去整理得，所以，即，，所以，所以，，所以，當(dāng)時，直線方程為，所以直線PQ過定點，定點坐標(biāo)，當(dāng)時，兩點分別為或，所以直線PQ過定點坐標(biāo)，所以直線PQ過定點，定點坐標(biāo)為【點睛】方法點睛：求動點軌跡的方法，一般有直接法，轉(zhuǎn)移法以及交軌法．其中轉(zhuǎn)移法適用于兩個動點的情形，一個是已知曲線上的動點，另一個是所求動點，先通過條件用所求動點坐標(biāo)表示已知動點坐標(biāo)，再代入已知動點所在曲線方程，化簡可得所求動點軌跡方程.22.已知函數(shù)有兩個極值點，，其中.（1）求a的取值范圍；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點，利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解，（2）根據(jù)極值點可得，進而利用換元可得，進而將問題轉(zhuǎn)化為，故對任意的恒成立，求導(dǎo)，結(jié)合分類討論即可求解最值求解.【小問1詳解】,由于有兩個極值點，，所以方程在有兩個不同根，即方程有兩個不同的正數(shù)根；轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點，令，令，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，，故作出的圖象如下：由圖象可得：，即；【小問2詳解】由（1）知：，是的兩個根，故，，則，不妨設(shè)，則，則，故可得，，化簡得，由于，所以對任意的恒成立，令，故對任意的恒成立，則，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞