難點(diǎn)沖刺05求數(shù)列的通項(xiàng)公式

難點(diǎn)沖刺05求數(shù)列的通項(xiàng)公式一、等差等比的證明（1）若滿足定值，則數(shù)列為等差數(shù)列，則求出對(duì)應(yīng)的首項(xiàng)即可求得通項(xiàng)公式；（2）若滿足定值，則數(shù)列為等比數(shù)列，則求出對(duì)應(yīng)的首項(xiàng)即可求得通項(xiàng)公式；二、累加累乘法:（1）累加法：適用于具體步驟:將上述個(gè)式子相加(左邊加左邊,右邊加右邊)整理得:（2）累乘法適用于具體步驟:，將上述個(gè)式子相乘(左邊乘左邊,右邊乘右邊)整理得:三、、“和”型與“積”型（1）已知與的關(guān)系或與的關(guān)系:用,得到（2）已知與的關(guān)系或與的關(guān)系:替換題目中的（3）“和”型：已知等式中左側(cè)含有:作差法（4）已知前積和的關(guān)系或和的關(guān)系:用,得到四、構(gòu)造法（1）形如為常數(shù),:可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為,由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列,先求出的通項(xiàng),從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）形如:可通過(guò)兩邊同除,將它轉(zhuǎn)化為,從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列,先求出的通項(xiàng),便可求得的通項(xiàng)公式（3）形如:可通過(guò)兩邊同除以,變形為的形式,從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列,先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.注：可轉(zhuǎn)換成分式為常數(shù))的數(shù)列,可通過(guò)兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解五、隔項(xiàng)數(shù)列（1）隔項(xiàng)等差數(shù)列:形如①，則②,③則②①其中為常數(shù))；①③得:，則為隔項(xiàng)等差數(shù)列;（2）隔項(xiàng)等比數(shù)列:形如①,則②，③,則(其中為常數(shù));或,則為隔項(xiàng)等比數(shù)列數(shù))題型一等差等比的證明【例1】在數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題目條件得到為等差數(shù)列，公差為1，并求出首項(xiàng)，從而得到通項(xiàng)公式，求出，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以為等差?shù)列，公差為1，首項(xiàng)為，故，所以，因?yàn)椋裕?故選：C【例2】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，.(1)在下列問(wèn)題①②中選擇一個(gè)求解；①求證：是等比數(shù)列，并求；②求證：是等差數(shù)列，并求.(2)設(shè)，，若是等比數(shù)列，求λ的值.注：如果選擇多個(gè)問(wèn)題分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）由得，選①：可證是等比數(shù)列得，可得，求得.選②：可得，且，所以是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，求得.（2）（法一）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，可設(shè)為非零常數(shù))，可解得；（法二）由，解得或，可驗(yàn)證是否滿足是等比數(shù)列即可.【詳解】（1）由，得，兩式相減，得，即.又，所以.選①:因?yàn)?，且，所以是首?xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，所以.兩邊同除以，得，即，所以又，所以是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，則，所以.選②:因?yàn)?，所以，且，所以是各?xiàng)均為0的常數(shù)列，也是等差數(shù)列，所以，即.又，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，（法一）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，可設(shè)為非零常數(shù)).則，即，即，即對(duì)恒成立.因?yàn)闉榉橇愠?shù)，所以，則，所以解得.（法二）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，又，所以，化簡(jiǎn)得，解得或.①當(dāng)時(shí)，，所以，所以是等比數(shù)列，符合題意.②當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以不是等比?shù)列，不合題意.綜上，.【變式11】已知數(shù)列滿足，(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，最大值是【分析】（1）計(jì)算，根據(jù)等差數(shù)列的概念即得結(jié)論；（2）由（1）可得，再研究其單調(diào)性，計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，即當(dāng)時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)知單調(diào)遞減，所以，又，，，所以數(shù)列的最大值是【變式12】已知數(shù)列滿足.(1)求證：是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求證，（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可求解.【詳解】（1）為常數(shù)，所以為公差為的等差數(shù)列，（2）由于為公差為的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，所以，所以【變式13】已知數(shù)列的首項(xiàng)為3，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，數(shù)列不是等比數(shù)列【分析】（1）化簡(jiǎn)變形為，結(jié)合定義即可證明；（2）由即可判斷.【詳解】（1）由，，得，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，所以所以數(shù)列不是等比數(shù)列.題型二累加累乘法【例3】已知數(shù)列滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用累乘法，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，所以有故選：D【例4】已知數(shù)列中，，，則，．【答案】11【分析】應(yīng)用累加法求通項(xiàng)公式，進(jìn)而求第5項(xiàng)即可.【詳解】依題意，，，，而，則，也滿足該式，所以，．故答案為：11；【變式21】在數(shù)列中，，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】根據(jù)已知，利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】由題設(shè)，所以且，顯然滿足上式，所以【變式22】已知數(shù)列滿足（），且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（）．【分析】利用累加法以及裂項(xiàng)相消法求解通項(xiàng)公式.【詳解】由題意得（），即，，，，所以個(gè)式子累加得，因?yàn)?，所以（），因?yàn)?，所以（），又?dāng)時(shí)，，所以（）．【變式23】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．(1)寫出數(shù)列的前4項(xiàng)；(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，，，(2)．【分析】（1）利用求得，也即求得，由此求得正確答案.（2）利用累乘法求得.【詳解】（1）因?yàn)棰?，所以②，②－①得，所以，所以，所以，，，．?）當(dāng)，由，得，，，…，，所以，即，又，所以．當(dāng)時(shí)，滿足上式，故．題型三利用消【例5】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用構(gòu)造法，結(jié)合與等差數(shù)列的定義即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，整理得，又，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，所以.故選：D.【例6】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求得.（2）根據(jù)分組求和法求得正確答案.【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，也符合.所以.（2）由（1）得，所以.【變式31】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列及等比數(shù)列定義寫出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，討論、求前n項(xiàng)和．【詳解】（1）當(dāng)，則；當(dāng)，則，所以，而，則是首項(xiàng)、公比為2的等比數(shù)列，所以，且也滿足，綜上，.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以.【變式32】在數(shù)列，中，若，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件得到時(shí)的遞推關(guān)系式，然后兩式作差，最后利用累乘法求解出的通項(xiàng)公式；（2）先將的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，然后采用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.【詳解】（1）由題設(shè)可得，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，即，所以，所以，顯然符合的情況，所以數(shù)列的通項(xiàng)為；（2）因?yàn)?，所以?shù)列的前項(xiàng)和.【變式33】已知數(shù)列和，其中的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)若的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將與的關(guān)系轉(zhuǎn)化為與的關(guān)系，即可求出的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，利用，可求得的通項(xiàng)公式，繼而求得的通項(xiàng)公式.（2）驗(yàn)證時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，利用放縮法和裂項(xiàng)對(duì)進(jìn)行變形，，求和即可得證.【詳解】（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，∵，∴，∴．當(dāng)時(shí)，，得，則是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，故．，當(dāng)時(shí)，，，∴．當(dāng)時(shí)，，∴．則．∵，∴．（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,.故成立.題型四利用消【例7】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造為常數(shù)列，求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】，且，，即，，故數(shù)列為常數(shù)列，且，，則，故數(shù)列的前項(xiàng)和.故選：D.【例8】已知數(shù)列滿足，，其中為的前項(xiàng)和，求.【答案】.【分析】結(jié)合變形給定等式，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列中，，又當(dāng)時(shí)，，由，得，整理得，顯然由，得，同理可得，，以此類推，對(duì)任意的，，因此，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，因此，所以.【變式41】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；（2）由（1）可得，進(jìn)而可得是常數(shù)列以及，代入利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由于，解得；當(dāng)時(shí)，，整理得；所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知：，因?yàn)椋淼?，可知?shù)列是常數(shù)列.所以，即，可得，所以.【變式42】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入及計(jì)算即可得；（2）借助與的關(guān)系，消去計(jì)算出的通項(xiàng)，再由計(jì)算出即可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又，故，當(dāng)時(shí)，，即，解得或，又，故；（2）對(duì)任意的，，則，當(dāng)時(shí)，，即，又，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以，，則，故當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的，.【變式43】設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則，數(shù)列的前5項(xiàng)和為．【答案】【分析】代入，再證明為等差數(shù)列，可求得的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】原式為，即整理為：，即，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差的數(shù)列，所以，即；，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為.故答案為：；題型五“和”型與“積”型【例9】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由方程組法得，然后再根據(jù)求通項(xiàng)公式即可；（2）先根據(jù)（1）求出，然后利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，由，得，則，因?yàn)闈M足，所以.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)闈M足，所以.（2）由（1）可知，，則是以7為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.【例10】已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式．(2)記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)m，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，.【分析】（1）根據(jù)求出通項(xiàng)公式；（2），裂項(xiàng)相消法求和得到，變形得到，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得數(shù)列為等差數(shù)列，從而根據(jù)等差數(shù)列的定義得到.【詳解】（1）①中，令得，，解得，當(dāng)時(shí)，②，①②得，，故，當(dāng)時(shí)，，滿足要求，綜上，的通項(xiàng)公式為（2），，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得數(shù)列為等差數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，只有當(dāng)，即時(shí)，為常數(shù)，其他值均不合要求，故當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列.【變式51】已知數(shù)列滿足．?dāng)?shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，而，所以有，也適合所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即，由，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以有；（2），，兩式相減，得：，代入中，得：，設(shè)，因?yàn)椋?，因此要想不等式?duì)任意恒成立，只需，即實(shí)數(shù)取值范圍為.【變式52】設(shè)數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系可解，注意驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否滿足上式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)棰伲?dāng)時(shí)，②，

①②得，，所以，

當(dāng)時(shí)，，滿足上式，

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，，記的前項(xiàng)和為，則，所以④③得，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為．【變式53】數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？若存在，求出相應(yīng)的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，最大項(xiàng)為第四項(xiàng)，最小項(xiàng)為第三項(xiàng)【分析】（1）由題意得，與原式相除可得，利用累加法，即可得通項(xiàng).（2）設(shè)，分析可得數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列，所有奇數(shù)項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，所有偶數(shù)項(xiàng)均為正數(shù)，分別討論數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，分析求解，綜合即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以兩式相除得，又?dāng)時(shí)，滿足上式，所以從而，所以，，，累加可得時(shí)，則，又當(dāng)時(shí)，亦符合該通項(xiàng)，所以的通項(xiàng)公式為，．（2）設(shè)，則數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列，所有奇數(shù)項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，所有偶數(shù)項(xiàng)均為正數(shù)．所以若出現(xiàn)最大項(xiàng)，一定在偶數(shù)項(xiàng)出現(xiàn)；若出現(xiàn)最小項(xiàng)，一定在奇數(shù)項(xiàng)出現(xiàn)．（i）考查奇數(shù)項(xiàng)，令，解得，此時(shí)，又，且，所以,所以有，這表明數(shù)列的最小項(xiàng)為．（ii）考查偶數(shù)項(xiàng)，令，解得，此時(shí)，又，即，所以有，這表明數(shù)列的最大項(xiàng)為．綜上所述，存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，最大項(xiàng)為第四項(xiàng)，最小項(xiàng)為第三項(xiàng)．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握由遞推與通項(xiàng)、累加法等求通項(xiàng)的方法，難點(diǎn)在于分析得為擺動(dòng)數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，分奇偶討論最大和最小，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.題型六構(gòu)造法【例11】（多選）設(shè)數(shù)列滿足，（），則（

）A．為等比數(shù)列 B．的通項(xiàng)公式為C．為遞減數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和【答案】ABD【分析】對(duì)于A、B：根據(jù)題意利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列的定義運(yùn)算求解；對(duì)于C：檢驗(yàn)前兩項(xiàng)即可判斷；對(duì)于D：利用等比數(shù)列求和結(jié)合分組求和運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，整理得，且，所以是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，故A正確；可得，解得，故B正確；因?yàn)?，即，所以不是遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的前n項(xiàng)和，故D正確；故選：ABD.【例12】已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)．【答案】5【分析】根據(jù)題意先求得，，從而求得，再構(gòu)造等比數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)的單調(diào)性即可求解．【詳解】由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以，易知是遞增數(shù)列，又，，所以滿足的最小正整數(shù)．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列．【變式61】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則【答案】【分析】?jī)蛇呁?，則有且，則有，即可得；【詳解】，令，則，∴又，，∴；故答案為：；【變式62】已知，求的通項(xiàng)公式．【答案】．【分析】將已知式子變形為，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義求得答案．【詳解】，，則，則，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．于是，．【變式63】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，，．(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）推導(dǎo)出，計(jì)算得出，即可得出當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可求得，計(jì)算可得，利用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，即，所以，，所以，，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，.（2）解：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，.故，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，，①則，②①②可得，因此，.題型七隔項(xiàng)數(shù)列【例13】（多選）對(duì)于數(shù)列，若，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．【答案】ACD【分析】由，得，兩式相減得，結(jié)合可知數(shù)列所有奇數(shù)項(xiàng)和所有偶數(shù)項(xiàng)各自構(gòu)成等差數(shù)列，從而即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.【詳解】由，，得，，，所以A選項(xiàng)正確；又，，兩式相減得，令，可得，所以不是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C正確；同理，令，則，所以是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以，故D正確.故選：ACD【例14】（多選）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．為等比數(shù)列C． D．【答案】AD【分析】利用遞推公式求出可判斷A；由可判斷B；由，利用等比數(shù)列的求和公式可判斷C；由遞推公式可得，再由由累加法可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，則，，則，，則，故A正確；對(duì)于B，，所以，，所以，，故不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可得，由，兩式相減可得：，所以，，，……，，上式相加可得：，，又因?yàn)?，所以，故D正確.故選：AD.【變式71】（多選）已知數(shù)列中，，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列 C． D．【答案】ABD【分析】先由分析出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等比數(shù)列，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：數(shù)列中，，，所以，即因?yàn)?，所以所以所以?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，均為以為公比的等比數(shù)列所以對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，由分析知，是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)已知數(shù)列的遞推公式進(jìn)行變形整理，得到新的遞推公式，從而得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等比數(shù)列.【變式72】（多選）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，，則（

）A．B．C．當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，D．【答案】ABC【分析】通過(guò)已知條件及賦值法可判斷選項(xiàng)A，通過(guò)遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列從而推出的通項(xiàng)公式，即可判斷選項(xiàng)B，由選項(xiàng)B得出的通項(xiàng)公式利用放縮法即可判斷選項(xiàng)C，由選項(xiàng)C的結(jié)論結(jié)合放縮法可判斷選項(xiàng)D．【詳解】數(shù)列的遞推關(guān)系，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式當(dāng)時(shí)，有，由于，則，故選項(xiàng)A正確；由于，，則，即，令，則，，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，，所以，故選項(xiàng)B正確；（另解：因?yàn)?，，所以，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以．綜上，，故選項(xiàng)B正確）當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；由選項(xiàng)C知，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，則，即，又，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選:ABC．【變式73】數(shù)列滿足.（Ⅰ）若是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若滿足，為的前n項(xiàng)和，求.【答案】（I）；（Ⅱ）.【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量運(yùn)算即得；（2）由題可得奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列，公差均為4，然后分組求和法即得．【詳解】（1）∵，∴，∴，又是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴d=2，∵，∴，∴．（2）∵，，∴．又∵，∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差均為4，∴.1．（2022上·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高校考期末）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】將遞推式兩邊同時(shí)倒下，然后構(gòu)造等差數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】解：∵，∴，∴．∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，∴，∴．∴，∴數(shù)列的前10項(xiàng)和．故選:C．2．（2022上·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)數(shù)列滿足，則（

）A．7 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意令，，兩式作差即可得結(jié)果.【詳解】令，可得，令，可得，兩式相減可得，所以.故選：C.3．（2023下·湖北孝感·高二校聯(lián)考期末）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)積，則“”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由求出的表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列的定義可判斷充分條件；舉特例可判斷必要條件，綜合可得結(jié)論.【詳解】若，則；當(dāng)時(shí)，.所以，對(duì)任意的，，則，此時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，故“”能得出“是等差數(shù)列”；若“是等差數(shù)列”，不妨設(shè)，則，即“是等差數(shù)列”不能得出“”.所以“”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.4．（2024上·河北邢臺(tái)·高二河北省博野中學(xué)校聯(lián)考期末）（多選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．B．為等比數(shù)列C．D．【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A，代入遞推關(guān)系可得；選項(xiàng)B，遞推關(guān)系變形可得，從而可得為等差數(shù)列；選項(xiàng)C，由錯(cuò)位相減法數(shù)列求和得，可得；選項(xiàng)D，將代入可得，令可求.【詳解】選項(xiàng)A，由題意得，A正確；選項(xiàng)B，將兩邊同時(shí)除以，得，即，則是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由，得，所以①，則②，①②得，，，即，則，C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，D正確.故選：ACD.5．（2022上·陜西銅川·高二?？计谀┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)家沈括，楊輝，朱世杰等研究過(guò)二階等差數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題．如果，且數(shù)列為等差數(shù)列，那么數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)依次為1，3，6，10，則該數(shù)列的第10項(xiàng)為．【答案】55【分析】根據(jù)二階等差的定義可得，進(jìn)而利用累加法即可求解.【詳解】由題意可得故為等差數(shù)列，且公差為，首項(xiàng)為2，所以，故，因此累加可得所以故答案為：556．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知在數(shù)列中，．(1)令，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義由利用遞推關(guān)系式化簡(jiǎn)可得，即可得證明；（2）解法一：由（1）可得，代入表達(dá)式可得；解法二：由的關(guān)系式可得，化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【詳解】（1）證明：易知，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）證明：解法一：由（1）知，所以，所以，即，又，所以，所以時(shí)，，又，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.解法二：由，，相減得，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.7．（2024上·江蘇·高二期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)一切都成立.若是公差為2的等差數(shù)列，.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用的關(guān)系結(jié)合條件及等比數(shù)列的定義可得，再根據(jù)等差數(shù)列的概念計(jì)算求；（2）利用分組求和及等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由，且對(duì)一切都成立，可得，又，所以，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則.又是公差為2的等差數(shù)列，，所以，則.綜上.（2）由上可知，故.8．（2023上·河北唐山·高二校考期末）已知數(shù)列中，，，前項(xiàng)和為，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由，結(jié)合題意可得，再由可得數(shù)列通項(xiàng)；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，即可得，后結(jié)合在上是遞增的可得相關(guān)結(jié)論【詳解】（1）若，由，可得，則數(shù)列是