陜西省渭南市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題(理)(解析版)_第1頁
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PAGEPAGE1陜西省渭南市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題(理)第Ⅰ卷(選擇題)一、選擇題1.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題設(shè),故.故選:B.2.已知集合,,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵,∴.故選:D.3.在正三棱柱中,,是的中點,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取是的中點,連接,如下圖所示:設(shè)三棱柱底面邊長為,可得,由正三棱柱性質(zhì)可知平面,所以即為直線與平面所成角的平面角,易知,由勾股定理可得,所以;即直線與平面所成角的正弦值為.故選:B.4.“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上,某同學(xué)用拋物線和構(gòu)造了一個類似“米”字型的圖案,如圖所示,若拋物線,的焦點分別為,,點在拋物線上,過點作軸的平行線交拋物線于點,若,則()A.2 B.3 C.4 D.6〖答案〗D〖解析〗因為,即,由拋物線的對稱性知,由拋物線定義可知,,即,解得,故選:D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的,則輸出的()A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗閱讀流程圖,初始化數(shù)值.循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下:第一次:;第二次:;第三次:;第四次:;第五次:;第六次:,結(jié)束循環(huán),輸出.故選B.6.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時,,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得.又為偶函數(shù),所以.故選:A.7.甲乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有()A.30種 B.60種 C.90種 D.120種〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可知,首先選取1種相同課外讀物的選法有種,再選取另外兩種課外讀物需不同,則共有種,所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種;故選:B8.已知圓的方程為,直線過點且與圓交于兩點,當(dāng)弦長最短時,()A. B. C.4 D.8〖答案〗B〖解析〗當(dāng)最短時,直線,,.故選:B.9.如圖,一個直四棱柱型容器中盛有水,底面為梯形,,側(cè)棱長.當(dāng)側(cè)面ABCD水平放置時,液面與棱的交點恰為的中點.當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r,液面高為()A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗取底面梯形兩腰的中點為,如下圖所示:由可得,所以四邊形與四邊形的面積之比為,即可知容器中水的體積占整個容器體積的;當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r,可知液面高為直四棱柱側(cè)棱長的,即可得液面高為.故選:C.10.我國人臉識別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識別,就是利用計算機(jī)檢測樣本之間的相似度,余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個點,,為坐標(biāo)原點,余弦相似度為向量,夾角的余弦值,記作,余弦距離為.已知,,,若P,Q的余弦距離為,,則Q,R的余弦距離為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得,,,則,又,所以,可得;所以Q,R的余弦距離.故選:A.11.在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線的左、右焦點分別為,為雙曲線右支上一點,連接交軸于點.若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè),為等邊三角形,,,又,,,,,,,解得:(舍)或,雙曲線的離心率為.故選:C.12.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個極值點,給出下列四個結(jié)論:①在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點;②的最小正周期可能是;③的取值范圍是;④在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中正期結(jié)論的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由函數(shù),令,可得,,因為在區(qū)間上有且僅有4個極值點,即可得有且僅有4個整數(shù)符合題意,解得,即,可得,即,解得,即③錯誤;對于①,當(dāng)時,,即可得,顯然當(dāng)時,在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點;當(dāng)時,在區(qū)間上有且僅有4個不同的零點;即①錯誤;對于②,的最小正周期為,易知,所以的最小正周期可能是,即②正確;對于④,當(dāng)時,;由可知,由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增,即④正確;即可得②④正確.故選:B.第Ⅱ卷(非選擇題)二、填空題13.已知一組數(shù)據(jù)點,用最小二乘法得到其線性回歸方程為,若,則_______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可知該組數(shù)據(jù)點,所以,所以,故〖答案〗為:14.在中,,,,則的面積為______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理可知,即,解得;所以的面積為.故〖答案〗為:15.已知函數(shù)滿足,,,則滿足條件的函數(shù)可以是______.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗結(jié)合常數(shù)函數(shù)的性質(zhì),即滿足,,故〖答案〗為:(〖答案〗不唯一).16.已知函數(shù),方程有7個不同實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是______.〖答案〗或〖解析〗因,令,得到,解得或,又當(dāng)時,,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,即在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,又時,,時,,時,,其圖像如圖,所以,當(dāng)時,有2上解,有2個解,又因為方程有7個不同的實數(shù)解,所以當(dāng)時,有3個實數(shù)解,又時,,則,所以時,,時,,即當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,又當(dāng)時,,當(dāng)時,,又當(dāng)時,有3個實數(shù)解,所以或,解得或,故〖答案〗為:或.三、解答題(一)必考題.17.已知等差數(shù)列滿足:,,其前項和為.(1)求及;(2)若數(shù)列是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列的前項和.解:(1)是等差數(shù)列,,數(shù)列的公差,首項,,.,為所求.(2)令,由題意有;數(shù)列是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列其前n項和,,數(shù)列的前n項和故為所求.18.如圖,在等腰梯形ABCD中,,,將沿著AC折到的位置,使.(1)求證:平面平面ABC;(2)求二面角的正弦值.(1)證明:由等腰梯形ABCD中,,過C做,交AB于E,連接AC,如圖所示,根據(jù)對稱性可得,,所以,可得,又由,所以,即,所以,即,又因為,且,所以平面APC,又由平面ABC,所以平面平面ABC.(2)解:取AC的中點E,AB的中點F,以E為坐標(biāo)原點,EA為x軸,EF為y軸,EP為z軸正方向建立空間坐標(biāo)系,則,,,,所以,,,設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,則,得一個法向量,,得一個法向量,所以,設(shè)二面角的平面角為,,所以二面角的平面角的正弦值為.19.杭州第19屆亞運會于2023年9月23日至2023年10月8日舉行,國球再創(chuàng)輝煌,某校掀起乒乓球運動熱潮,組織乒乓球運動會.現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,比賽采取7局4勝制,每局為11分制,每贏一球得一分.(1)己知某局比賽中雙方比分為,此時甲先連續(xù)發(fā)球2次,然后乙連續(xù)發(fā)球2次,甲發(fā)球時甲得分的概率為0.4.乙發(fā)球時乙得分的概率為0.5,各球的結(jié)果相互獨立,求該局比賽甲以獲勝的概率;(2)已知在本場比賽中,前兩局甲獲勝,在后續(xù)比賽中每局比賽甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,且每局比賽的結(jié)果相互獨立,兩人又進(jìn)行了X局后比賽結(jié)束,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解:(1)在比分為后甲先發(fā)球的情況下,甲以獲勝的情況分三種:第一種:后四球勝方依次為甲乙甲甲,概率為,第二種:后四球勝方依次為乙甲甲甲,概率為,第三種:后四球勝方依次為甲甲乙甲,概率為,所以所求事件的概率為:.(2)隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4,5,,,,,所以X的分布列為X2345P數(shù)學(xué)期望.20.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若,求證:.(1)解:因為,所以,易知,恒成立,當(dāng)時,恒成立,所以在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,由,得到,當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,綜上,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,函數(shù)減區(qū)間為,增區(qū)間為.(2)證明:由(1)知,當(dāng)時,函數(shù)的最小值為,所以要證,即證明在區(qū)間上恒成立,整理得,令,則,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故的最小值為,即時,恒成立,所以時,.21.已知橢圓的離心率為,長軸長為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓的上、下焦點分別為、,過點作斜率為的直線交橢圓于A,B兩點,直線,分別交橢圓于M,N兩點,設(shè)直線MN的斜率為.求證:為定值.(1)解:由橢圓的離心率為,長軸長為4.可得,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解:由(1)知,可得,設(shè)直線的方程為,設(shè),則,由,所以直線的方程為,聯(lián)立方程組,整理得,則且,所以,可得,即,同理可得,所以,即,所以為定值.(二)選考題[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)P為l上一點,過P作曲線C的兩條切線,切點分別為A,B,若,求點P橫坐標(biāo)的取值范圍.解:(1)由曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),可得由,得,即,曲線的普通方程為,直線的直角坐標(biāo)方程為

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