2022屆安徽師范大學高三（最后沖刺）數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設集合A={1,2,3},B={x|x2-2x+m=0},若AcB={3},貝!JB=（）

A.{-1,3}B.{-2,3}c.{-1,-2,3}D.{3}

2.設。隨機變量。的分布列是

4-101

21

P-P

33

23

則當P在（§，W）內增大時，（）

A.EC）減小，。修）減小B.EC）減小，。片）增大

C.EC）增大，。修）減小D.EC）增大，。（。）增大

3.中國古典樂器一般按“八音”分類.這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法，最先見于《周禮?春

官?大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（pao）,竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”

為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為（）

31112

A.—B.—C.—D.一

1414147

4.中國古建筑借助柳卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫樟頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是

禪頭.若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是

5.已知變量間存在線性相關關系，其數(shù)據(jù)如下表，回歸直線方程為9=2.lx+0.85,則表中數(shù)據(jù)，”的值為（

變量X0123

變量ym35.57

A.0.9B.0.85C.0.75D.0.5

6.設尸={y小=-3+1,xeR},Q={y\y=2x,xWR},貝U

A.PQQB.QQP

C.CRPQQD.QfP

7.在AABC中，角A,8,C的對邊分別為a/,c,C=y,若加=（c一遍,a-匕），n-=（a-仇c+#），且力/：,

則AABC的面積為（）

Aan9G?苧D.3+

A.3B.----C.

2

8.已知點A（2,0）、B（0,-2）.若點尸在函數(shù)y=?的圖象上，則使得△PA8的面積為2的點尸的個數(shù)為（

A.1B.2C.3D.4

9.函數(shù)〃x）=2x—|3x+l］在上的最大值和最小值分別為（）

22

A.—9-2B.——，-9C.-2,-9D.2,-2

33

x-y<0,

'_x+3...........

10-若"一滿足約束條件產”2,則,q的取值范圍為（）

x+l>0,

24242

A.B.[y,3]C.[-,2]D.[-,2]

53

11.已知f（x）=ax?+bx是定義在［a-1,2a］上的偶函數(shù),那么a+b的值是

11

A.——B.-

33

11

C.——D.-

22

12.在AA；?。中，內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,。是48的中點，若8=1,且

jsin

A=（c+3（sinC-sinB）,則AAZ?。面積的最大值是（）

2）

rV152^/15

5105

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知平面向量”、坂的夾角為充，且|2+可=1,貝！13/+27B的最大值是.

91

14.若x>l,則2工+=二+；?的最小值是.

X+lX-1

2e'i,x<2

15.f(x)={,則的值為

2

log3(x-1),x>2

16.在AABC中，已知AB=3,AC=2,P是邊8c的垂直平分線上的一點，則0.麗=

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設X,y,ZGR,z(x+2y)=〃?.

(1)若f+2/+3z2的最小值為4,求加的值;

(2)若/+4)2+；z?21,證明：1.

18.(12分)已知數(shù)列｛%｝滿足q=],且%=短■+F(〃N2,〃eN*).

(1)求證：數(shù)列｛2%“｝是等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛4｝的前〃項和S“.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x—a)2—2xlnx,其導函數(shù)為/'(x),

(1)若。=0,求不等式/(x)>l的解集；

(2)證明：對任意的0<s</<2,恒有/“)_/a).<1.

s-t

"ccqA

20.(12分)已知a*,c分別是AAHC的內角的對邊，且丁=--一.

b2-cosB

(I)求色.

c

(n)若b=4,cosC=-,求AABC的面積.

4

(HI)在(II)的條件下，求cos(2C+q]的值.

22￡7

21.(12分)已知橢圓C:?+%=1(。>人>0)的離心率為券，橢圓C的長軸長為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線/:y=履-6與橢圓C交于AB兩點，是否存在實數(shù)及使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點

0?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

22.(10分)如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCD為正方形，PA±AB,PA=6,AB=S,PD=IO,

N為PC的中點，E為棱BC上的一點.

(1)證明：PAFA.^ABCD；

(2)當尸為8c中點時，求二面角A—NP—C余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)交集的結果可得3是集合B的元素，代入方程后可求機的值，從而可求3.

【詳解】

依題意可知3是集合3的元素，即32-2x3+/n=O,解得機=-3,由一2%-3=0,解得x=T,3.

【點睛】

本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎題.

2.C

【解析】

E8=(T)xg(1-p)+gp=|p-g,O?=E(e)-爐⑹，判斷其在(谷)內的單調性即可.

【詳解】

1121,23、

解：根據(jù)題意EC)=(—1*2(1_〃)+2P=彳,_:在PwR］內遞增，

E(^)=(-l)2xl(l-^)+lp=1

D(^)=￡(^2)-E2(^)=1(1-p)+1p-(|p-1)2=+前+：=-1(夕-；)+g，

是以p=g為對稱軸，開口向下的拋物線，所以在||，￡|上單調遞減，

故選：C.

【點睛】

本題考查了利用隨機變量的分布列求隨機變量的期望與方差，屬于中檔題.

3.B

【解析】

分別求得所有基本事件個數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結果.

【詳解】

從“八音,，中任取不同的“兩音,，共有C2=28種取法；

“兩音”中含有打擊樂器的取法共有C；-C：=22種取法；

2211

.?所求概率p=—-=~?

2814

故選：B.

【點睛】

本題考查古典概型概率問題的求解，關鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù).

4.A

【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是樟頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進去的，即俯視圖中應有

一不可見的長方形，

且俯視圖應為對稱圖形

故俯視圖為

故選A.

點睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題。

5.A

【解析】

計算x,y,代入回歸方程可得.

【詳解】

m+3+5.5+7相+15.5

777+155

---------=2.1x1.5+0.85,解得〃2=0.9.

故選：A.

【點睛】

本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是掌握性質：線性回歸直線一定過中心點&J).

6.C

【解析】

解：因為P={y|y=-x2+l,xGR)={y|y<1),Q={y|y=2x,xCR}={y|y>0},因此選C

7.C

【解析】

由力4,可得(a-4=(c-^)(c+#),化簡利用余弦定理可得85生="一+"：一.=1,解得他.即可得出三角形

32ab2

面積.

【詳解】

解：m=(c—#,。一耳，n=(a-b,c+咐,且

.1.(a-h)2=(C-A/6)(C+\/6),化為：a2+b2-c2-2ab-6.

c_1,.「_1公G_36

??SMBC=-6f^sinC=-x6x—=.

故選：C.

【點睛】

本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

8.C

【解析】

設出點P的坐標，以A3為底結合的面積計算出點P到直線的距離，利用點到直線的距離公式可得出關于

”的方程，求出方程的解，即可得出結論.

【詳解】

設點P的坐標為直線43的方程為=即x—y—2=0,

設點P到直線AB的距離為“，則S""=g|A即d=gx2夜xd=2,解得d=血，

另一方面，由點到直線的距離公式得［=匕"3=正，

V2

整理得=0或。-&-4=0,,/a>0>解得a=0或a=］或a=9.

2

綜上，滿足條件的點P共有三個.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角形面積的計算，涉及點到直線的距離公式的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.

【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對值，所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象，結合圖象即可求得在上的最大值和最小值.

【詳解】

uIC1

5x+1,-2Wx<—

3

依題意,/(x)=2x-|3x+l|=<

-x—1,——<x<1

3

作出函數(shù)“X）的圖象如下所示;

Io

由函數(shù)圖像可知，當x=—§時，有最大值-

當x=—2時，“X）有最小值—9.

故選：B.

【點睛】

本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法，由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值，屬于基礎題.

10.D

【解析】

x+3

由題意作出可行域，轉化目標函數(shù)z=7互為連接點0（-3,-2）和可行域內的點（x,y）的直線斜率的倒數(shù)，數(shù)形結合

即可得解.

【詳解】

由題意作出可行域，如圖，

x+3/、

目標函數(shù)z=不可表示連接點D（-3,-2）和可行域內的點（x,y）的直線斜率的倒數(shù),

由圖可知，直線D4的斜率最小，直線OB的斜率最大,

x-y=0/、\x+y=2

由x+l=0可得A(-l)，由x+「0可得B（-l,3）,

rr-rr7-]+213+252

所以=1?2=不'卜口8所以mWz<2.

-1+Jz-1+3

【點睛】

本題考查了非線性規(guī)劃的應用，屬于基礎題.

11.B

【解析】

依照偶函數(shù)的定義，對定義域內的任意實數(shù)，f（-x）=f（x）,且定義域關于原點對稱，a-1=-2a,即可得解.

【詳解】

根據(jù)偶函數(shù)的定義域關于原點對稱，且f(x)是定義在［a-1,2a］上的偶函數(shù)，

得a-l=-2a,解得a=,，又f(-x)=f(x),

3

/.b=0,a+b=—.故選B.

3

【點睛】

本題考查偶函數(shù)的定義，對定義域內的任意實數(shù)，f(-x)=f(x)；奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關于原點對稱，定

義域區(qū)間兩個端點互為相反數(shù).

12.A

【解析】

根據(jù)正弦定理可得，-；“a=(c+b)(c-b),求出cos。，根據(jù)平方關系求出sinC.由2麗=5+而兩端平方，

求a〃的最大值，根據(jù)三角形面積公式S=LaAinC,求出△A3c面積的最大值.

2

【詳解】

△ABC中,a——hsinA=(c+/?)(sinC-sin,

由正弦定理可得=整理得。2=a2+/72

2

=

由余弦定理/=〃2+〃2-2"cos。，得cos。=Ce(0,^),sinC~~~9

??.O是A3的中點，且CD=1,

2CD=CA+CB,.-.(2①丫=(瓦+函『，即4麗2=CA+CB+2CA.CB，

22

即4=〃+〃2+2/76ZCOSC=a+b+—ab>lab+—ah=—ab9

222

Q

:.ab<-,當且僅當a=b時，等號成立.

.1△ABC的面積S=—abs'mC<—x—

22545

所以△A6C面積的最大值為'叵.

5

故選：A.

【點睛】

本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.3+2百

【解析】

建立平面直角坐標系，設NAOC=e,可得|玩1=1,進而可得出|麗|=2sine,

3了+2￡石轉化為以。為自變量的三角函數(shù)，利用三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可得出結果.

【詳解】

根據(jù)題意建立平面直角坐標系如圖所示,設［礪，3=麗，以。4、OB為鄰邊作平行四邊形OACB,mOC=a+b>

ZOAC=ZOBC=-,且|oc|=i,

6

在AOBC中，由正弦定理=2sin6,即忖=2sin(9,

Fl54-8),即忖=2sin葛-e).

在AOAC中，由正弦定理7i,得10d=2sin

sin一夕~6

6

二問~,a?B=HLcos=2sin6?2sin(-8卜os=-2>/3sin0sinf葛-0

則

3a+2a-b=3x2sin葛一。_4^sin^sin=12sin2-0^-45/3sin^sin-0

1-cos=61--cos2^+^-sin20-Gsin?6-Gsin2e

12x--------sinO+'cos。122J

2

7

=6-3cos20+36sin26—6x-―一百sin2。=3+2百sin20,

2

當sin26=l時，37+2￡石取最大值3+2技

故答案為：3+273.

【點睛】

本題考查了向量的數(shù)量積最值的計算，將問題轉化為角的三角函數(shù)的最值問題是解答的關鍵，考查計算能力，屬于難

題.

14.8

【解析】

9191

根據(jù)2x+——+——=x+l+——+X-1+——(%>1),利用基本不等式可求得函數(shù)最值.

x+ix-1x+1x-1

【詳解】

n1g1gi

Qx>l,:.2x+——+——=x+\+——+x-l+——>6+2=8,當且僅當x+l=——且x-l=——，即x=2

x+1x-\x+1%-1尤+lx—1

91

時，等號成立.，刀二？時，2x+上+」一取得最小值8.

x+lX-1

故答案為：8

【點睛】

本題考查基本不等式，構造基本不等式的形式是解題關鍵.

15.1

【解析】

先求/(I),再根據(jù)/(D值所在區(qū)間求/(7(D).

【詳解】

由題意，f(1)=10g3=1,故/(/(D)=f(1)=lxe|-'=l,故答案為：1.

【點睛】

本題考查分段函數(shù)求值，考查對應性以及基本求解能力.

16.——

2

【解析】

作出圖形，設點E為線段BC的中點，可得出通=g(AQ+/)且麗=荏+而，進而可計算出Q.前的值.

【詳解】

設點E為線段8C的中點，則￡P_L6C,.?.喬.豆亍=0，

.1.APBC=（A￡+EP）BC=AEBC+EPBC=^（AC+AB）（AC-AB）

《阿一利f(27)5

2

故答案為：—-.

2

【點睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的計算，涉及平面向量數(shù)量積運算律的應用，解答的關鍵就是選擇合適的基底表示向量，考

查計算能力，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)2；(2)見解析

【解析】

(1)將V+2y2+3z2化簡為(/+z2)+2(y2+z2),再利用基本不等式即可求出最小值為4,便可得出加的值；

(2)根據(jù)/+0222M即2(/+從”僅+32,得出x2+4y2+gz2zg(x+2?+；z2,利用基本不等式求

出最值，便可得出“7的取值范圍.

【詳解】

解：(1)由題可知，X,y,zeR,z(x+2y)=m

x2+2y2+3z2=(x2+z2)+2(y2+z2)>2xz+4yz=2m-4,

??ITl=2?

(2)Vcr+b2>2pZ>|,

：.2(a2+b2)>(a+bf,

x2+4/+；z?>g(x+2y)2+^z2>^--2|(x+2j)z|>1,

\lT^>1,即：1或加之/.

【點睛】

本題考查基本不等式的應用，利用基本不等式和放縮法求最值，考查化簡計算能力.

,、、-5—2〃+1,、c-2〃+5

18.(1)證明見解析，a,,=2“：(2)S”=5-?>.

【解析】

(1)將等式。,=號+擊變形為2"4=2一%,“+2,進而可證明出｛2"%｝是等差數(shù)列，確定數(shù)列｛2"a“｝的首項

和公差，可求得2"4的表達式，進而可得出數(shù)列｛《,｝的通項公式；

(2)利用錯位相減法可求得數(shù)列｛4｝的前"項和S,,,

【詳解】

(1)因為4=等+擊(〃22,〃€1^*),所以2%“=2"-%,T+2,即2"a"—2"”,I=2,

所以數(shù)列｛2"%｝是等差數(shù)列，且公差d=2,其首項2%=3

所以2"a“=3+(〃—l)x2=2〃+l,解得4=^1；

,、。3572n-l2n+l〃

(2)S=1—rH-rH--1-:—I---;—>①

"222232"-1T

S,,3572n-12〃+1

=++++----+---r-②

TFFF2〃

①-②，^^=-+2xf4+4+-+—I52〃+5

22U2232")22"+'

2n+5

所以5“=5-

2"

【點睛】

本題考查利用遞推公式證明等差數(shù)列，同時也考查了錯位相減法求和，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.

19.(1)｛x|x>l｝(2)證明見解析

【解析】

(1)求出/(X)的導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的性質判斷函數(shù)/(x)的單調性，再利用函數(shù)單調性解函數(shù)型不等式；

(2)構造函數(shù)R(X)=/'(X)-X,利用導數(shù)判斷。(x)在區(qū)間(0,2)上單調遞減，結合0<s<t<2可得結果.

【詳解】

(1)若a=0,則/(x)=x?-2xlnxJ'(x)=2x-2(l+lnx).

2

設〃(x)=2x-2(l+lnx),則"(x)=2-一，

x

所以〃(X)在(0,1)上單調遞減，在(L”)上單調遞增.

又當x-0時，〃(x)f+oo；當x=l時，h(x)=0；當xf+oo時，〃(x)->+8,

所以〃(x)NO

所以/(%)在(0,+8)上單調遞增，

又/(1)=1,所以不等式/。)>1的解集為{x|x>l}.

(2)設g(x)=7'(x),再令9(x)=g(x)-x=x-2-21nx-2a,

奴x)在(0,2)上單調遞減，

X*/0<5<Z<2?

<p(s)<(p(t),

:.g(s)-s>g(t)-t,

g(s)_gQ)>sT,

s—t<0,

.g(s)-g(r)<[

s-t

即/'(sf⑴<1

s-t

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來判斷函數(shù)的單調性，再利用函數(shù)的單調性來解決不等式問題，屬于較難題.

20.(I)-；(II)岳：(ni)士典.

216

【解析】

(I)由已知結合正弦定理先進行代換，然后結合和差角公式及正弦定理可求；(II)由余弦定理可求。，然后結合三

角形的面積公式可求；(ni)結合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.

【詳解】

(I)因為公/4=當，

b2-cosBsmB

所以2sinA—sinAcosB=sinBcosA,

所以2sinA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,

asinA1

由正弦定理可得，—二二二二不；

csinC2

(H)由余弦定理可得，1/+16-4”,

48a

整理可得，3a2+2々-16=0,

解可得，。=2,

因為sinC=巫，

4

所以S^BC=；absinC=；x2x4x^^~=V15;

(III)由于sin2c=2sinCcosC=2x二^x[=—,cos2C=2cos2C-l=.

4488

所以cos(2C+匹)=^cos2c—避sin2C=」x(-Z)-^x^=^^.

322282816

【點睛】

本題主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面積公式的綜合應用，意在考查學生對

這些知識的理解掌握水平.

21.(1)—+/=1；(2)存在，當&=±?時，以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點0.

42

【解析】

(1)設橢圓的焦半距為c,利用離心率為無，橢圓。的長軸長為1.列出方程組求解。，推出〃，即可得到橢圓的

2

方程.

(2)存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點。.設點以占，y),B(X2,%)，將直線/的方程

2

曠=匕-6代入工+V=i,化簡，利用韋達定理，結合向量的數(shù)量積為0,轉化為：玉々+乂%=0.求解即可.

【詳解】

a=2

a=2

解：（1）設橢圓的焦半距為C,則由題設，得￡=也，解得＜

C=5

a2

2

所以6=/一o2=4-3=1,故所求橢圓C的方程為土+9=1

4'

（2）存在實數(shù)A使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點0.理由如下:

2

設點A（%，x）,B（x2,y2）,將直線/的方程＞=依一g代入二+y=i,

4

并整理，得(1+4/一8Gx+8=0.(*)

1ml86k_8

則x+x--------T9

x12~1+4421+422

因為以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O,所以）.礪=0,即玉光2+乂%=0?

又XK=k2x.x^-5/3^(%,+w)+3,于是一當f?一"——7=