5.3 命題、定理、證明 人教版七年級(jí)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)講與練

專題5.15命題、定理、證明（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握命題的定義，知道一個(gè)命題是由“題設(shè)”和“結(jié)論”兩部分組成，對(duì)于給定的命題，能找出它的題設(shè)和結(jié)論；掌握定理的定義，理解定理與真命題的關(guān)系，能寫出一個(gè)定理的逆命題，并判斷是否為真命題；理解并掌握證明的基本推理過程?！疽c(diǎn)梳理】1.命題：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．

特別說明：（1）命題的結(jié)構(gòu)：每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).（2）命題的表達(dá)形式：“如果……，那么…….”，也可寫成：“若……，則…….”（3）真命題與假命題：真命題：題設(shè)成立結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題.假命題：題設(shè)成立而不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題.2.定理：定理是從真命題（公理或其他已被證明的定理）出發(fā)，經(jīng)過推理證實(shí)得到的另一個(gè)真命題，定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).3.證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫做證明.特別說明：（1）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)可以是已知條件，學(xué)過的定義、基本事實(shí)、定理等.（2）判斷一個(gè)命題是正確的，必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需列舉一個(gè)反例即可．【典型例題】類型一、命題、定理、證明??命題的判斷??真（假）命題1．下列句子中，哪些是命題？哪些不是命題？將27開立方．任意三角形的三條中線相交于一點(diǎn)嗎？銳角小于直角．（a為實(shí)數(shù)）．【答案】(1)不是命題；(2)不是命題；(3)是命題；(4)是命題【分析】根據(jù)命題的定義進(jìn)行逐一判斷即可．（1）解：將27開立方不是命題；（2）任意三角形的三條中線相交于一點(diǎn)嗎？不是命題；（3）銳角小于直角是命題；（4）（a為實(shí)數(shù)）是命題．【點(diǎn)撥】本題主要考查了命題的定義，一般地，在數(shù)學(xué)中把用語(yǔ)言，符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．舉一反三：【變式1】寫出下列命題的逆命題，并判斷真假．三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【答案】(1)內(nèi)角和等于的多邊形是三角形；真命題；(2)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；真命題【分析】（1）將命題“如果，那么”中條件與結(jié)論互換，即得一個(gè)新命題“如果，那么”，我們稱這樣的兩個(gè)命題互為逆命題，其中一個(gè)叫做原命題，另一個(gè)就叫做原命題的逆命題．據(jù)此寫出命題的逆命題，然后判斷真假即可；（2）根據(jù)逆命題的概念，寫出命題的逆命題，然后判斷其真假即可．（1）解：命題“三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于”的逆命題為：“內(nèi)角和等于的多邊形是三角形”，逆命題是真命題；（2）解：命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的逆命題是：“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，逆命題是真命題．【點(diǎn)撥】此題考查了命題與判斷命題的真假，熟練掌握逆命題的概念、正確找出一個(gè)命題中的題設(shè)與結(jié)論是解答此題的關(guān)鍵．類型二、命題、定理、證明??命題的題設(shè)、結(jié)論??逆命題??互逆命題2．命題：一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角一定互為補(bǔ)角寫出這個(gè)命題的逆命題；判斷這個(gè)逆命題是真命題還是假命題？如果是假命題，請(qǐng)舉一個(gè)反例．【答案】(1)逆命題是：“互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角”假命題，反例：兩個(gè)角都是直角【分析】（1）根據(jù)逆命題的定義，把原命題的條件與結(jié)論互換即可．（2）舉出反例，即可證明命題為假命題．解答：（1）原命題中，條件為“一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角”，結(jié)論為“這兩個(gè)角一定互為補(bǔ)角”，將條件與結(jié)論互換，得到逆命題，即“互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角”．（2）∵互補(bǔ)的兩個(gè)角可以都為直角，∴“互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角”是假命題．反例是“兩個(gè)角都是直角”．【點(diǎn)撥】本題考查了逆命題，以及真假命題，熟練掌握相關(guān)定義即可得到結(jié)論．舉一反三：【變式1】已知命題“如果，那么．”寫出此命題的條件和結(jié)論；寫出此命題的逆命題；判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請(qǐng)舉出一個(gè)反例進(jìn)行說明．【答案】(1)條件為：；結(jié)論為：；(2)如果，那么；(3)假命題，反例不唯一【分析】（1）“如果”后面的部分為條件，“那么”后面的部分為結(jié)論；（2）交換題目中命題的結(jié)論和題設(shè)的位置即可；（3）舉出反例即可．解：（1）此命題的條件為：，結(jié)論為：；（2）此命題的逆命題為：如果，那么；（3）此命題的逆命題是假命題，當(dāng)為相反數(shù)時(shí)，它們的絕對(duì)值相等，但本身不相等，如時(shí)，，而．【點(diǎn)撥】本題考查的是命題與定理，用到的知識(shí)點(diǎn)是真假命題的定義，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題，交換命題的中題設(shè)和結(jié)論即為原命題的逆命題．【變式2】寫出下列各命題的逆命題，并判斷其逆命題是真命題還是假命題，若是假命題，請(qǐng)舉出一個(gè)反例說明：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；垂直于同一條直線的兩直線平行；相等的角是內(nèi)錯(cuò)角；有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形．【答案】(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，真命題（2）如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線（在同一平面內(nèi)），真命題（3）內(nèi)錯(cuò)角相等，假命題；例如：∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，但不相等（4）等邊三角形有一個(gè)角是60°真命題【分析】寫出各個(gè)命題的逆命題，作出判斷即可．解答：（1）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，真命題；（2）如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線（在同一平面內(nèi)），真命題；（3）內(nèi)錯(cuò)角相等，假命題；例如：∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，但不相等；（4）等邊三角形有一個(gè)角是60°真命題．【點(diǎn)撥】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．類型三、命題、定理、證明??命題的已知、求證、證明過程3．（1）已知：如圖，直線AB、CD、EF被直線BF所截，，．求證：；（2）你在（1）的證明過程中應(yīng)用了哪兩個(gè)互逆的真命題．【答案】（1）見解析；（2）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【分析】（1）利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行和內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行判斷AB∥CD，CD∥EF，則利用平行線的傳遞性得到AB∥EF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）利用了平行線的判定與性質(zhì)定理求解．（1）證明：∵∠B＋∠1＝180°，∴AB∥CD，∵∠2＝∠3，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∴∠B＋∠F＝180°；（2）解：在（1）的證明過程中應(yīng)用的兩個(gè)互逆的真命題為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【點(diǎn)撥】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個(gè)命題非真即假．要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．舉一反三：【變式1】如圖，有如下四個(gè)論斷：①；②；③平分；④平分，請(qǐng)你選擇四個(gè)論斷中的三個(gè)作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)正確的數(shù)學(xué)命題并證明它．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可得到結(jié)論．解答：已知：，，平分，求證：平分．證明：如圖所示，∵，∴，即，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴平分．【點(diǎn)撥】本題考查了命題與定理，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】求證:對(duì)頂角相等(請(qǐng)畫出圖形，寫出已知、求證、證明.)試題分析：根據(jù)題設(shè)與結(jié)論畫出符合條件的圖形，根據(jù)圖形寫出已知、求證，然后進(jìn)行證明即可.試題解析：已知：如圖，直線AB與CD交于點(diǎn)O．求證：∠1＝∠2．已知:如圖，證明：∵AB、CD相交于O(已知)，∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(鄰補(bǔ)角的定義)，∴∠1＝∠2(同角的補(bǔ)角相等).中考真題專練1．（2022·上海·中考真題）下列說法正確的是（

）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題【答案】A【分析】根據(jù)命題的定義和定理及其逆定理之間的關(guān)系，分別舉出反例，再進(jìn)行判斷，即可得出答案．【詳解】解：A、命題一定有逆命題，故此選項(xiàng)符合題意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對(duì)應(yīng)角相等沒有逆定理，故此選項(xiàng)不符合題意；C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對(duì)頂角相等的逆命題是：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角，它是假命題而不是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角的逆命題是：對(duì)頂角相等，它是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了命題與定理，掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關(guān)鍵．把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，所有的命題都有逆命題；正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題．2．（2022·江蘇無錫·中考真題）請(qǐng)寫出命題“如果，那么”的逆命題：________．【答案】如果，那么【分析】根據(jù)逆命題的概念解答即可．解：命題“如果，那么”的逆命題是“如果，那么”，故答案為：如果，那么．【點(diǎn)撥】此題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又