2022一模函數(shù)探究

1.（順義一模）某公園內(nèi)的人工湖里有一組小型噴泉，水柱從位于湖面上方的水槍噴出，水柱

落于湖面的路徑形狀是拋物線.現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù)，在距離水槍水平距離為d米的地點，水柱

距離湖面高度為8米.

d侏）00.52.03.55

人（米）1.672.253.002.250

請解決以下問題：

⑴在下面網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担鶕?jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線

連接;

⑵請結(jié)合所畫圖象，水柱最高點距離湖面的高度是一米;

⑶求拋物線的表達式，并寫出自變量的取值范圍；

⑷現(xiàn)有一游船寬度為2米,頂棚到湖面的高度為2.5米.要求游船從噴泉水柱中間通過時,

頂棚不碰到水柱.請問游船是否能符合上述要求通過？并說明理由.

2.（海淀一模）23.數(shù)學(xué)學(xué)習小組的同學(xué)共同探究體積為330mL圓柱形有蓋容器（如圖所示）的設(shè)計方

案。他們想探究容器表面積與底面半徑的關(guān)系.

具體研究過程如下，請補充完整：

（1）建立模型：設(shè)該容器的表面積為Sen??,底面半徑為xcm,高為jpem,則

330=7vx2y,①

S=2/rx2+2/rxy,②

由①試得），二330￥，,代人②式得

7CX~

c.2660-

S=2TTXH-------③

x

可知，S是x的函數(shù)，自變量x的取值范圍是x>0.

（2）探究函數(shù)：

根據(jù)函數(shù)解析式③，按照下表中自變量工的值計算（精確到個位），得到了S與x的幾組對應(yīng)值:

x/cm11.522.533.544.555.56…

5/cm2666454355303277266266274289310336

在下面平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象;

S/cm2A

700

600

500

400

300

200

100

（3）解決問題：根據(jù)圖表回答，

①半徑為2.4cm的圓柱形容器比半徑為4.4cm的圓柱形容器表面積（填“大”或“小”）；

②若容器的表面積為300cm2,容器底面半徑約為cm（精確到0.1）。

3.（西城）25.要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個噴水頭，記噴出

的水與池中心的水平距離為xm,距地面的高度為ym.測量得到如下數(shù)值：

X/H\00.511.522.533.37

y/m2.443.153.493.453.042.251.090

小騰根據(jù)學(xué)習函數(shù)的經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)y是x的函數(shù)，并對），隨x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小騰的探究過程，請補充完整：

（1）在平面直角坐標系rOy中，描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點（x,y）,并畫出函數(shù)的圖象；

J7m，、

4

3

2--

1

-pli234xAn

⑵結(jié)合函數(shù)圖象，出水口距地面的高度為m,水達到最高點時與池中心的水平距離約為

m（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）；

（3）為了使水柱落地點與池中心的距離不超過3.2m,如果只調(diào)整水管的高度，其他條件不變，結(jié)合

函數(shù)圖象，估計出水口至少需要______（填“升高”或“降低”）m（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）.

4.（房山）21.如圖，一個單向隧道的斷面，隧道頂是一條拋物線的一部分，經(jīng)測量，隧道頂?shù)目缍葹?

米，最高處到地面的距離為4米，兩側(cè)墻高均為3米，距左側(cè)墻壁1米和3米時，隧道高度均為3.75米。

設(shè)距左側(cè)墻壁水平距離為工米的地點，隧道高度為米。

請解決以下問題：

（1）在下邊網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担鶕?jù)題中數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接;

（3）今有寬為2.4米的卡車在隧道中間行駛，如果卡車載物后的高度為3.2米，要求卡車從隧道中間通過

時，為保證安全，要求卡車載物后最高點到隧道頂面對應(yīng)的點的距離均不小于0.6米，結(jié)合所畫圖象，試

判斷該卡車能否通過隧道.

5通州

23.如圖1是某條公路的一個單向隧道的橫斷面.經(jīng)測

出,兩側(cè)墻AD和BC與路面AB垂直?旗道內(nèi)側(cè)寬

AB=4米.為了確保隧道的安全通行.工程人員在路

面AB上取點E.測證點E到墻面AD的距離和到

■道頂面的距閣EE設(shè)AE=x米.EF=y米.

通過取點、測址，工程人員得到了x與》的幾組值.

如下表：

1T（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0

y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00

（D隧道頂面到路面AB的最大高度為米；

（2）請你幫助工程人員建立平面直角坐標系，描出上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，曲出可以表

示隧道頂面的圖象.

（3）今有寬為2.4米，高為3米的貨車準備在陞道中間通過（如圖2）.根據(jù)隧道通行標準,其車

廂最高點到陡道頂面的距離應(yīng)大于0.5米.結(jié)合所畫圖象，請判斷該貨車是否安全通過：

（填寫“是”或“否）

6.（朝陽區(qū)一模）23,某公園在人工湖里建造一道噴泉拱門，工人在垂直于湖面的立柱上安裝

噴頭從噴頭噴出的水柱的形狀可以看作是拋物線的一部分.安裝后通過測量獲得如下數(shù)據(jù)

噴頭高出湖面3米,在距立柱水平距離為d米的地點,水柱距離湖面高度為h米.

d（米）0.501.001.502.002.503.00

IR米）3.754.003.753.001.750

請解決以下問題：

⑴在網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担鶕?jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接;

（2）結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出水柱最高點距離湖面的高度;

（3）求h關(guān)于d的函數(shù)表達式；

（3）公園希望游船能從噴泉拱門下穿過，已知游船的寬度約為2米,游船的平頂棚到湖面的

高度約為1米，從安全的角度考慮，要求游船到立柱的水平距離不小于1米，頂棚到水柱的

豎直距離也不小于1米.工人想只通過調(diào)整噴頭距離湖面的高度（不考慮其他因素）就能滿足

上述要求，請通過計算說明應(yīng)如應(yīng)如何調(diào)整。

7.燕山一模

24.某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路

徑形狀是拋物線.現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù)，在湖面上距水槍水平距離為d米的位置，水柱距離湖面

高度為0米.

或米)0.51.02.03.03.54.5

嵐米)1.62.12.52.1m0

請解決以下問題：

(1)以水槍與湖面交點為原點，原點與水柱落地處所在直線為x軸，水槍所在直線為y軸，在

下邊網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接.

(2)請結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，寫出水柱最高點的坐標.

(3)湖面上距水槍水平距離為3.5米時，水柱距離湖面的高度/〃=米.

(4)現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項目，準備通過調(diào)節(jié)水槍高度，使得公園湖中的游船能從

噴泉下方通過.游船左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，若游船寬(指船的最大寬

度)為2米，從水面到棚頂?shù)母叨葹?.1米，要求是游船從噴泉水柱中間通過時，為避免游船

被噴泉淋到，頂棚到水柱的垂直距離均不小于0.5米.請問公園該如何調(diào)節(jié)水槍高度以符合要

求？請通過計算說明理由.

8.平谷

22.某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組小型噴泉,

水柱從垂直于湖面的水槍噴出水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線.現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù),

在距水槍水平距離為冰的地點，水柱距離湖面高度為方米.

d(米)01234???

力(米)2.04.05.25.65.2???

請解決以下問題:

(1)在下邊網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，根?jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接.

(2)請結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，

估出噴泉的落水點距水槍的水平距離約為米(精確到0.1)；

(3)

公園增設(shè)了新的游玩項目，購置了寬度3米，頂棚到水面高度為4.5米的平頂游船，游船從噴

泉正下方通過，別有一番趣味，請通過計算說明游船是否有被噴泉淋到的危險。

9.門頭溝

23.某景觀公園內(nèi)人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路

徑形狀是一條拋物線.現(xiàn)測量出如下數(shù)據(jù)，在距水槍水平距離為d米的地點，水柱距離湖

面高度為/2米.

d（米）0d\12.03di???

h（米）h\1.62.12.52.10???

（1）在下邊網(wǎng)格中建立適當平面直角坐標系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑曲線連接.

（2）結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫的圖象，直接寫出水柱最高點距離湖面的高度；

（3）求水柱在湖面上的落點距水槍的水平距離是多少？

（4）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立一個新的游玩項目.準備通過調(diào)節(jié)水槍高度使得公園的平頂

游船能從噴泉最高點的正下方通過（兩次水柱噴出水嘴的初速度相同），如果游船

寬度為3米，頂棚到水面的高度為2米，為了避免游船被淋到，頂棚到水柱的垂直距

離不小于0.8米.問應(yīng)如何調(diào)節(jié)水槍的高度才能符合要求？請通過計算說明理由.

10.豐臺

24.某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水

頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分.若記水柱上某

一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米.下面的表中記錄了

"與〃的五組數(shù)據(jù)：

d

01234

（米）

h

0.51.251.51.250.5

（米）

根據(jù)上述信息，解決以下問題：

（1）在下面網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并根?jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示人與d函數(shù)關(guān)

系的圖象；

（2）若水柱最高點距離湖面的高度為加米，則加=；

（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項目，準備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船

能從水柱下方通過.如圖所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時,

頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于0.5米.已知