數(shù)學人教A版必修2學案1-1-2簡單組合體的結構特征

1．1.2簡單組合體的結構特征[目標]1.了解組合體的概念；2.會用柱、錐、臺、球的結構特征描述簡單組合體的結構特征．[重點]對簡單組合體兩種基本形式的認識．[難點]把簡單組合體分解為簡單幾何體．知識點一簡單組合體的結構特征[填一填]1．定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體．2．簡單組合體的兩種基本形式：簡單組合體eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由簡單幾何體拼接而成；,由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.))[答一答]1．組合體的形式有哪些？提示：(1)多面體與多面體的組合體．(2)旋轉體與旋轉體的組合體．(3)多面體與旋轉體的組合體．2．如圖是一暖瓶，不考慮提手，其主要的結構特征是什么？提示：把暖瓶看作一個旋轉體，它是一個簡單組合體，是由兩個圓柱和一個圓臺拼接而成的．類型一簡單組合體的結構特征[例1](1)如圖①所示的物體為燕尾槽工件，請說明該物體是由哪些幾何體構成的．(2)指出圖②中三個幾何體的主要結構特征．[解](1)圖①中的幾何體可以看做是一個長方體割去一個四棱柱所得的幾何體，也可以看成是一個長方體與兩個四棱柱組合而成的幾何體(如圖所示)．(2)(A)中的幾何體由一個三棱柱挖去一個圓柱后剩余部分組合而成，其中圓柱內切于三棱柱．(B)中的幾何體由一個圓錐挖去一個四棱柱后剩余部分組合而成，其中四棱柱內接于圓錐．(C)中的幾何體由一個球挖去一個三棱錐后剩余部分組合而成．其中三棱錐內接于球．會識別較復雜的圖形是學好立體幾何的第一步，我們應注意觀察周圍的物體，然后將它們“分拆”成幾個簡單的幾何體，進而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力.[變式訓練1]請描述如圖所示的組合體的結構特征．解：①是由一個圓臺挖去一個圓錐后剩下的部分得到的組合體；②是由一個四棱柱和一個四棱錐組合而成的組合體．類型二平面圖形旋轉形成的組合體[例2]已知AB是直角梯形ABCD中與底邊垂直的一腰，如圖．分別以AB，BC，CD，DA為軸旋轉，試說明所得幾何體的結構特征．[解](1)以AB為軸旋轉所得旋轉體是圓臺．如圖①所示．(2)以BC為軸旋轉所得的旋轉體是一組合體：下部為圓柱，上部為圓錐．如圖②所示．(3)以CD為軸旋轉所得的旋轉體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺，再挖去一個小圓錐．如圖③所示．(4)以AD為軸旋轉所得的旋轉體為一組合體：一個圓柱上部挖去一個圓錐．如圖④所示．對于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉的問題，要對原平面的圖形通過向軸作垂線，作適當?shù)姆指?，再根?jù)圓柱、圓錐、圓臺的特征進行判斷.[變式訓練2]如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉一周，形成的幾何體形狀為(B)A．一個球體B．一個球體中間挖去一個圓柱C．一個圓柱D．一個球體中間挖去一個長方體類型三與球有關的“切”與“接”問題[例3]已知正方體的棱長為a，分別求出它的內切球及與各棱都相切的球半徑．[分析]解決此題的關鍵是找準軸截面，建立半徑與棱長的關系．[解](1)正方體的內切球與各面的切點為正方體各面的中心，故作出經過正方體相對兩面的中心且與棱平行的截面，則球的一個大圓是其正方形截面的內切圓，如圖(1)所示，設球的半徑為R1，易得R1＝eq\f(a,2).(2)與正方體的各棱均相切的球與正方體相連接的點是正方體各棱的中點，故應作出經過正方體一組平行棱中點的截面，則球的軸截面是其正方形截面的外接圓，如圖(2)所示，設球的半徑為R3，易求得球的半徑R3＝eq\f(\r(2),2)a.組合體問題應分清各部分之間是如何組合起來的，以便轉化為平面圖形進行計算．正方體的內切球直徑等于正方體的棱長；外接球直徑等于其體對角線的長；球與正方體各棱都相切，則球的直徑等于正方體面對角線的長．[變式訓練3]一個正方體內接于一個球，過球心作一截面，如下圖所示，則截面可能是(C)A．①③④B．②④C．①②③D．②③④解析：考慮過球心的正方體截面位置的可能情形．當截面平行于正方體的一個側面時得③，當截面過正方體的體對角線時得②，當截面不平行于任何側面，也不過對角線時得①，但無論如何都不能截出④.故選C.1．如圖所示為一個空間幾何體的豎直截面圖形，那么這個空間幾何體自上而下可能是(C)A．梯形、正方形 B．圓臺、正方形C．圓臺、圓柱 D．梯形、圓柱解析：空間幾何體不是平面幾何圖形，所以應該排除A、B、D，所以選C.2．如圖，將陰影部分圖形繞圖示直線l旋轉一周所得的幾何體是(D)A．圓錐B．圓錐和球組成的簡單幾何體C．球D．一個圓錐內部挖去一個球后組成的簡單幾何體解析：三角形繞軸旋轉一周后形成的幾何體是圓錐，圓繞直徑所在直線旋轉一周后形成的幾何體是球，故陰影部分旋轉一周后形成的幾何體是一個圓錐內部挖去一個球后組成的簡單幾何體．3．圖中的幾何體由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得．現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是(D)A．(1)(2)B．(1)(3)C．(1)(4)D．(1)(5)解析：當截面不過旋轉軸時，截面圖形是(5)，故選D.4．已知一個棱長為6cm的正方體塑料盒子(無上蓋)，上口放著一個半徑為5cm的鋼球，則球心到盒底的距離為10cm解析：由題意知求球心到底面的距離，實際上是求兩個簡單的組合體的上頂點到下底面的距離，可以看作下面是一個正方體，正方體的棱長是6cm，上面是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個邊長為6的正方形，斜高是5，則四棱錐的高是eq\r(52－32)＝eq\r(16)＝4，∴球心到盒底的距離為6＋4＝10(cm)．5．下列組合體是由哪幾種簡單幾何體組成的？解：(1)是由一個圓柱和一個六棱柱組成的；(2)是由一個圓錐、一個圓柱和一個長方體組成的；(3)是由一個球和一個圓臺組成的．——本課須掌握的問題簡單組合體的構成有兩種基本形式：一種是拼接而成；一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成．具體可以分為以下三類：(1)多面體與多面體的組合由兩個或兩