新教材數(shù)學(xué)人教A版作業(yè)5-5-1第1課時(shí)兩角和與差的正弦余弦與正切公式

第五章5.A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．cos(－75°)的值(C)A．eq\f(\r(6)－\r(2),2) B．eq\f(\r(6)＋\r(2),2)C．eq\f(\r(6)－\r(2),2) D．eq\f(\r(6)＋\r(2),4)[解析]cos(－75°)＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°·cos30°－sin45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)＝(A)A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)[解析]原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)·sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝eq\f(1,2).3．設(shè)α∈(0，eq\f(π,2))，若sinα＝eq\f(3,5)，則eq\f(\r(2),2)cos(α－eq\f(π,4))＝(B)A．eq\f(1,10) B．eq\f(7,10)C．－eq\f(7,10) D．－eq\f(1,10)[解析]α∈(0，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，原式＝eq\f(\r(2),2)(cosα·eq\f(\r(2),2)＋sinα·eq\f(\r(2),2))＝eq\f(1,2)(cosα＋sinα)＝eq\f(7,10).4．若sin(π＋θ)＝－eq\f(3,5)，θ是第二象限角，sin(eq\f(π,2)＋φ)＝－eq\f(2\r(5),5)，φ是第三象限角，則cos(θ－φ)的值是(B)A．－eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(11\r(5),25) D．eq\r(5)[解析]∵sin(π＋θ)＝－eq\f(3,5)，θ是第二象限角，可解得：sinθ＝eq\f(3,5)，cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(4,5)，又∵sin(eq\f(π,2)＋φ)＝－eq\f(2\r(5),5)，φ是第三象限角，cosφ＝－eq\f(2\r(5),5)，sinφ＝－eq\r(1－cos2φ)＝－eq\f(\r(5),5)，∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝(－eq\f(4,5))×(－eq\f(2\r(5),5))＋eq\f(3,5)×(－eq\f(\r(5),5))＝eq\f(\r(5),5).5．化簡(jiǎn)sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的結(jié)果是(B)A．sin2x B．cos2yC．－cos2x D．－cos2y[解析]原式＝cos(x＋y)cos(x－y)＋sin(x＋y)·sin(x－y)＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.6．已知sin(30°＋α)＝eq\f(3,5)，60°<α<150°，則cosα＝(A)A．eq\f(3－4\r(3),10) B．eq\f(3＋4\r(3),10)C．eq\f(4－3\r(3),10) D．eq\f(4＋3\r(3),10)[解析]∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°，∴cos(30°＋α)＝－eq\f(4,5)，又cosα＝cos[(30°＋α)－30°]＝cos(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3－4\r(3),10).二、填空題7．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)·sin(31°＋2α)＝eq\f(\r(3),2).[解析]原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)]＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).8．已知sin(eq\f(π,3)＋α)＝eq\f(12,13)，α∈(eq\f(π,6)，eq\f(2π,3))，則cosα的值為eq\f(12\r(3)－5,26).[解析]∵sin(eq\f(π,3)＋α)＝eq\f(12,13)，α∈(eq\f(π,6)，eq\f(2π,3))，∴eq\f(π,3)＋α∈(eq\f(π,2)，π)，cos(eq\f(π,3)＋α)＝－eq\f(5,13).∴cosα＝cos[(eq\f(π,3)＋α)－eq\f(π,3)]＝cos(eq\f(π,3)＋α)coseq\f(π,3)＋sin(eq\f(π,3)＋α)sineq\f(π,3)＝－eq\f(5,13)×eq\f(1,2)＋eq\f(12,13)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(12\r(3)－5,26).9．計(jì)算：eq\f(1,2)sin60°＋eq\f(\r(3),2)cos60°＝eq\f(1,2).[解析]原式＝sin30°sin60°＋cos30°cos60°＝cos(30°－60°)＝cos(－30°)＝eq\f(1,2).三、解答題10．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－4,3)．(1)求eq\f(tan3π＋α,sin5π－α－cos\f(π,2)＋α)的值；(2)若β為第三象限角，且tanβ＝eq\f(4,3)，求cos(α－β)的值．[解析](1)因?yàn)榻铅恋慕K邊過(guò)點(diǎn)P(－4,3)．所以sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，所以eq\f(tan3π＋α,sin5π－α－cos\f(π,2)＋α)＝eq\f(\f(sinα,cosα),sinα＋sinα)＝eq\f(1,2cosα)＝－eq\f(5,8).(2)因?yàn)棣聻榈谌笙藿?，且tanβ＝eq\f(4,3)，所以sinβ＝－eq\f(4,5)，cosβ＝－eq\f(3,5).由(1)，知sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5).所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－eq\f(4,5)×(－eq\f(3,5))＋eq\f(3,5)×(－eq\f(4,5))＝0.11．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，求cosα的值．[解析]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，∴eq\f(π,2)<α＋eq\f(π,4)<π.∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13).∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(5,13)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(12,13)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),26).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα等于(D)A．sinα B．cosαC．sinβ D．cosβ[解析]cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝cos[(α＋β)－α]＝cosβ，故選D.2.第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的．如圖所示，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果小正方形與大正方形面積之比為49，且直角三角形的兩銳角分別為α，β，則cos(α－β)的值為(A)A．eq\f(5,9) B．eq\f(4,9)C．eq\f(2,3) D．0[解析]設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1，由于小正方形與大正方形面積之比為49，可得小正方形的邊長(zhǎng)為eq\f(2,3)，所以有sinα－cosα＝eq\f(2,3)，①cosβ－sinβ＝eq\f(2,3)，②由圖可得cosα＝sinβ，sinα＝cosβ，①×②可得eq\f(4,9)＝sinαcosβ－cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαsinβ＝cos2β－(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋sin2β＝1－cos(α－β)，解得cos(α－β)＝eq\f(5,9).3．(多選題)滿(mǎn)足cosαcosβ＝eq\f(\r(3),2)－sinαsinβ的α，β的值可能是(BC)A．α＝eq\f(13,12)π，β＝eq\f(3π,4) B．α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(π,3)C．α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(π,6) D．α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(π,4)[解析]由條件cosαcosβ＝eq\f(\r(3),2)－sinαsinβ得cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(3),2)，即cos(α－β)＝eq\f(\r(3),2)，α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(π,3)，α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(π,6)都滿(mǎn)足，故選BC.4．(多選題)已知α，β，γ∈(0，eq\f(π,2))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，則下列說(shuō)法正確的是(AC)A．cos(β－α)＝eq\f(1,2) B．cos(β－α)＝－eq\f(1,2)C．β－α＝eq\f(π,3) D．β－α＝－eq\f(π,3)[解析]由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.兩式分別平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝eq\f(1,2)，∴A正確，B錯(cuò)誤．∵sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝eq\f(π,3)，∴C正確，D錯(cuò)誤，故選AC.二、填空題5．已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，則cos(α－eq\f(π,3))的值是eq\f(4,5).[解析]cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4\r(3),5)，eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5)，∴cos(α－eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5).6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．若sinα＝eq\f(1,3)，則cos(α－β)＝－eq\f(7,9).[解析]因?yàn)榻铅僚c角β均以O(shè)x為始邊，終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以sinβ＝sinα＝eq\f(1,3)，cosβ＝－cosα，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝－(1－sin2α)＋sin2α＝2sin2α－1＝2×(eq\f(1,3))2－1＝－eq\f(7,9).7．函數(shù)f(x)＝sin2xsineq\f(π,6)－cos2xcoseq\f(5π,6)在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[－eq\f(5π,12)，eq\f(π,12)].[解析]f(x)＝sin2xsineq\f(π,6)－cos2xcoseq\f(5π,6)＝sin2xsineq\f(π,6)＋cos2xcoseq\f(π,6)＝cos(2x－eq\f(π,6))．當(dāng)2kπ－π≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，即kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．取k＝0，得－eq\f(5π,12)≤x≤eq\f(π,12)，故函數(shù)f(x)在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[－eq\f(5π,12)，eq\f(π,12)]．三、解答題8．已知α、β∈(eq\f(3π,4)，π)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(12,13)，求cos(α＋eq\f(π,4))的值．[解析]∵α、β∈(eq\f(3π,4)，π)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(12,13)，∴α＋β∈(eq\f(3π,2)，2π)，β－eq\f(π,4)∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4))，∴cos(α＋β)＝eq\r(1－－\f(3,5)2)＝eq\f(4,5)，cos(β－eq\f(π,4))＝－eq\r(1－\f(12,13)2)＝－eq\f(5,13)，∴cos(α＋eq\f(π,4))