系統(tǒng)的信號流圖與梅森公式

6-5

系統(tǒng)的信號流圖與梅森公式一、信號流圖的定義由節(jié)點與有向支路構成的能表征系統(tǒng)功能與信號流動方向的圖，稱為系統(tǒng)的信號流圖，簡稱信號流圖或流圖。例如，圖6-29(a)所示的系統(tǒng)框圖，可用圖6-29(b)來表示，圖(b)即為圖(a)的信號流圖。圖(b)中的小圓圈“o”代表變量，有向支路代表一個子系統(tǒng)及信號傳輸(或流動)方向，支路上標注的H(s)代表支路(子系統(tǒng))的傳輸函數(shù)。這樣，根據(jù)圖6-29(b)，同樣可寫出系統(tǒng)各變量之間的關系，即

圖6-29二、三種運算器的信號流圖表示三種運算器：加法器、數(shù)乘器、積分器的信號流圖表示如表6-3中所列。由該表中看出：在信號流圖中，節(jié)點“o”除代表變量外，它還對流入節(jié)點的信號具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的節(jié)點Y(s)即是。三、模擬圖與信號流圖的相互轉換規(guī)則模擬圖與信號流圖都可用來表示系統(tǒng)，它們兩者之間可以相互轉換，其規(guī)則是：(1)

在轉換中，信號流動的方向(即支路方向)及正、負號不能改變。(2)

模擬圖(或框圖)中先是“和點”后是“分點”的地方，在信號流圖中應畫成一個“混合”節(jié)點，如圖6-30所示。根據(jù)此兩圖寫出的各變量之間的關系式是相同的，即。(3)

模擬圖(或框圖)中先是“分點”后是“和點”的地方，在信號流圖中應在“分點”與“和點”之間，增加一條傳輸函數(shù)為1的支路，如圖6-31所示。(4)

模擬圖(或框圖)中的兩個“和點”之間，在信號流圖中有時要增加一條傳輸函數(shù)為1的支路(若不增加，就會出現(xiàn)環(huán)路的接觸，此時就必須增加)，但有時則不需增加(若不增加，也不會出現(xiàn)環(huán)路的接觸，此時即可以不增加。見例6-17)。(5)

在模擬圖(或框圖)中，若激勵節(jié)點上有反饋信號與輸入信號疊加時，在信號流圖中，應在激勵節(jié)點與此“和點”之間增加一條傳輸函數(shù)為1的支路(見例6-17)。(6)

在模擬圖(或框圖)中，若響應節(jié)點上有反饋信號流出時，在信號流圖中，可從響應節(jié)點上增加引出一條傳輸函數(shù)為1的支路(也可以不增加，見例6-17)。

圖6-30

(a)

模擬圖；(b)

信號流圖

圖6-31

(a)

模擬圖；(b)

信號流圖

例6-17

試將圖6-19，圖6-20，圖6-21，圖6-22所示各形式的模擬圖畫成信號流圖。

解：與圖6-19，圖6-20，圖6-21，圖6-22相對應的信號流圖分別如圖6-32中(a)，(b)，(c)，(d)所示。信號流圖實際上是線性代數(shù)方程組的圖示形式，即用圖把線性代數(shù)方程組表示出來。有了系統(tǒng)的信號流圖，利用梅森公式，即可很容易地求得系統(tǒng)函數(shù)H(s)。這要比從解線性代數(shù)方程組求H(s)容易得多。信號流圖的優(yōu)點是：(1)

用它來表示系統(tǒng)，要比用模擬圖或框圖表示系統(tǒng)更加簡明、清晰，而且圖也易畫。(2)

下面將會知道，信號流圖也是求系統(tǒng)函數(shù)H(s)的有力工具。亦即根據(jù)信號流圖，利用梅森(Mason)公式，可以很容易地求得系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)。例6-18

已知系統(tǒng)的信號流圖如圖6-33(a)所示。試畫出與之對應的模擬圖。解：根據(jù)模擬圖與信號流圖的轉換規(guī)則，即可畫出其模擬圖，如圖6-33(b)所示。于是可求得此系統(tǒng)的傳輸函數(shù)(請讀者求之)為

四、信號流圖的名詞術語下面以圖6-32(a)為例，介紹信號流圖中的一些名詞術語。1節(jié)點表示系統(tǒng)變量(即信號)的點，如圖中的點F(s),s2X(s),sX(s),X(s),Y(s)；或者說每一個節(jié)點代表一個變量。該圖中共有5個變量，故共有5個節(jié)點。2支路連接兩個節(jié)點之間的有向線段(或線條)稱為支路。每一條支路代表一個子系統(tǒng)，支路的方向表示信號的傳輸(或流動)方向，支路旁標注的H(s)代表支路(子系統(tǒng))的傳輸函數(shù)。例如圖中的1,均為相應支路的傳輸函數(shù)。

圖6-32

(a)

直接形式的信號流圖；(b)

并聯(lián)形式的信號流圖

(c)

級聯(lián)形式的信號流圖；(d)

混聯(lián)形式的信號流圖3激勵節(jié)點代表系統(tǒng)激勵信號的節(jié)點，如圖中的節(jié)點F(s)。激勵節(jié)點的特點是，連接在它上面的支路只有流出去的支路，而沒有流入它的支路。激勵節(jié)點也稱源節(jié)點或源點。4響應節(jié)點代表所求響應變量的節(jié)點，如圖中的節(jié)點Y(s)。有時為了把響應節(jié)點更突出地顯示出來，也可從響應節(jié)點上再增加引出一條傳輸函數(shù)為1的有向支路，如圖6-32(a)中最右邊的虛線條所示。

圖6-335混合節(jié)點若在一個節(jié)點上既有輸入支路，又有輸出支路，則這樣的節(jié)點即為混合節(jié)點?；旌瞎?jié)點除了代表變量外，還對輸入它的信號有求和的功能，它所代表的變量就是所有輸入信號的和，此和信號就是它的輸出信號。6通路從任一節(jié)點出發(fā)，沿支路箭頭方向(不能是相反方向)連續(xù)地經過各相連支路而到達另一節(jié)點的路徑稱為通路。7環(huán)路若通路的起始節(jié)點就是通路的終止節(jié)點，而且除起始節(jié)點外，該通路與其余節(jié)點相遇的次數(shù)不多于1，則這樣的通路稱為閉合通路或稱環(huán)路。如圖6-32(a)中共有兩個環(huán)路：。環(huán)路也稱回路。8開通路與任一節(jié)點相遇的次數(shù)不多于1的通路稱為開通路，它的起始節(jié)點與終止節(jié)點不是同一節(jié)點。9前向開通路從激勵節(jié)點至響應節(jié)點的開通路，也簡稱前向通路。如圖6-32(a)中共有三條前向通路：;。10互不接觸的環(huán)路沒有公共節(jié)點的兩個環(huán)路稱為互不接觸的環(huán)路。在圖6-32(a)中不存在互不接觸的環(huán)路。11自環(huán)路只有一個節(jié)點和一條支路的環(huán)路稱為自環(huán)路，簡稱自環(huán)。12環(huán)路傳輸函數(shù)環(huán)路中各支路傳輸函數(shù)的乘積稱為環(huán)路傳輸函數(shù)。13前向開通路的傳輸函數(shù)前向開通路中各支路傳輸函數(shù)的乘積，稱為前向開通路的傳輸函數(shù)。五、

梅森公式(Mason’sFormula)從系統(tǒng)的信號流圖直接求系統(tǒng)函數(shù)的計算公式，稱為梅森公式。該公式如下：

(6-34)此公式的證明甚繁，此處略去?，F(xiàn)從應用角度對此公式予以說明。式中

(6-35)Δ稱為信號流圖的特征行列式。式中：為第i個環(huán)路的傳輸函數(shù)，i為所有環(huán)路傳輸函數(shù)之和；為兩個互不接觸環(huán)路傳輸函數(shù)的乘積，為所有兩個互不接觸環(huán)路傳輸函數(shù)乘積之和；為三個互不接觸環(huán)路傳輸函數(shù)的乘積，為所有三個互不接觸環(huán)路傳輸函數(shù)乘積之和；為由激勵節(jié)點至所求響應節(jié)點的第k條前向開通路所有支路傳輸函數(shù)的乘積；為除去第k條前向通路中所包含的支路和節(jié)點后所剩子流圖的特征行列式。求的公式仍然是式(6-35)。例6-19

圖6-34(a)所示系統(tǒng)。求系統(tǒng)函數(shù)。解：1求Δ(1)

求：該圖共有5個環(huán)路，其傳輸函數(shù)分別為，，故

圖6-34

(2)

求:該圖中兩兩互不接觸的環(huán)路共有3組：故該圖中沒有3個和3個以上互不接觸的環(huán)路，故有；…。故得2求(1)

求：該圖共有3個前向通路，其傳輸函數(shù)分別為

(2)

求:除去前向通路中所包含的支路和節(jié)點后，所剩子圖如圖6-34(b)所示。該子圖共有兩個環(huán)路，故

故

除去,前向通路中所包含的支路和節(jié)點后，已無子圖存在，故有故得

3求H(s)例6-20圖6-35(a)所示系統(tǒng)。求系統(tǒng)函數(shù)。解(1)

求。該系統(tǒng)共有5個環(huán)路：,故該系統(tǒng)共有4組兩兩互不接觸的環(huán)路：故

圖6-35該系統(tǒng)中沒有3個和3個以上互不接觸的環(huán)路，故有。故得

該系統(tǒng)從F(s)到共有兩個前向通路，即F(s)→4→A(s)→B(s)→1→Y(s)；F(s)→5→G(s)→Q(s)→A(s)→B(s)→1→Y(s)。故有求的子信號流圖如圖635(b)所示，故有因除去與前向通路中所包含的支路和節(jié)點后，已無子圖存在，故有故得故得

(2)

求。Δ的求法與結果完全同