彈性力學平面問題教學課件

彈性力學平面問題教學課件目錄引言彈性力學基礎(chǔ)理論平面問題的數(shù)學模型彈性力學問題的求解方法平面問題的實例分析總結(jié)與展望CONTENTS01引言CHAPTER彈性力學是研究物體在彈性范圍內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移關(guān)系的學科。彈性力學平面問題是經(jīng)典彈性力學問題的一種，主要研究二維平面上應(yīng)力和位移的變化。課程旨在幫助學生掌握彈性力學平面問題的基本理論和方法，為后續(xù)的學習和實踐打下基礎(chǔ)。課程背景介紹彈性力學的基本概念包括應(yīng)力和應(yīng)變。應(yīng)力是指物體內(nèi)部單位面積上所承受的力，通常用符號“σ”表示。應(yīng)變是指物體在受力作用下的變形量，通常用符號“ε”表示。應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系可以通過材料的彈性常數(shù)來描述。01020304彈性力學基本概念平面問題是指只在二維平面上存在的彈性力學問題。無限平面問題是指物體邊界無限擴展，只在內(nèi)部存在受力的情況。平面問題可以分為兩大類：無限平面問題和有限平面問題。有限平面問題是指物體的邊界是有限的，受到邊界條件的影響。平面問題的定義與分類02彈性力學基礎(chǔ)理論CHAPTER物體受力后，其形狀和大小會發(fā)生變化，這種變化稱為應(yīng)變。應(yīng)變位移應(yīng)變與位移的關(guān)系物體受力后，其位置會發(fā)生移動，這種移動稱為位移。物體的應(yīng)變和位移是相互關(guān)聯(lián)的，可以通過幾何方程來描述。030201應(yīng)變與位移關(guān)系物體內(nèi)部單位面積上所受的力稱為應(yīng)力。應(yīng)力作用在物體外部的力稱為外力。外力物體的應(yīng)力與外力是相互關(guān)聯(lián)的，可以通過物理方程來描述。應(yīng)力與外力的關(guān)系應(yīng)力與外力關(guān)系描述物體在受力平衡時的狀態(tài)，可以求解物體內(nèi)部的應(yīng)力分布。平衡方程描述物體的應(yīng)變和位移之間的關(guān)系，可以求解物體的形狀和大小變化。幾何方程描述物體的應(yīng)力與外力之間的關(guān)系，可以求解物體受到外部作用時的響應(yīng)。物理方程彈性力學基本方程03平面問題的數(shù)學模型CHAPTER平衡方程01在直角坐標系下，彈性體的平衡方程為$\nabla\cdot\sigma=0$，其中$\sigma$為應(yīng)力向量。幾何方程02描述應(yīng)變與位移的關(guān)系，用Green和Rivlin的形式表示為$\varepsilon=\frac{1}{2}(\nablau+\nablau^T)$，其中$\varepsilon$為應(yīng)變張量，$u$為位移向量。物理方程03描述應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，根據(jù)Hooke定律，我們有$\sigma=\lambda\text{tr}(\varepsilon)I+2\mu\varepsilon$，其中$\lambda$和$\mu$是拉梅常數(shù)。直角坐標系下的基本方程在極坐標系下，彈性體的平衡方程為$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partialr}(r\sigma_{rr})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sigma_{\thetar}-\sigma_{rr})=0$。平衡方程在極坐標系下，應(yīng)變與位移的關(guān)系仍然可以用Green和Rivlin的形式表示為$\varepsilon=\frac{1}{2}(\frac{\partialu}{\partialr}+\frac{\partialu^T}{\partialr})$。幾何方程在極坐標系下，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系仍然滿足Hooke定律，即$\sigma=\lambda\text{tr}(\varepsilon)I+2\mu\varepsilon$。物理方程極坐標系下的基本方程通常給定在邊界上的位移、應(yīng)力或力。例如，在某個邊界上給定$u=g(x,y)$，而在另一個邊界上給定$\sigma_{nn}=f(x,y)$。邊界條件描述系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)。例如，在某個初始時刻$t=0$，給定$u(x,y,0)$和$\frac{\partialu}{\partialt}(x,y,0)$。初始條件邊界條件與初始條件04彈性力學問題的求解方法CHAPTER解初值和邊界條件根據(jù)問題的初值和邊界條件，解出微分方程的解。定義變量和方程根據(jù)問題的性質(zhì)，定義適當?shù)淖兞?，并建立描述問題的微分方程。分析解的性質(zhì)對解進行進一步的分析，如分析解的穩(wěn)定性、收斂性和誤差等。解析法劃分網(wǎng)格建立方程解方程分析結(jié)果有限元法01020304將問題所涉及的區(qū)域劃分為由有限個單元組成的網(wǎng)格。根據(jù)問題的性質(zhì)，建立每個單元的方程，并將其組合成總體方程。解總體方程，得到每個節(jié)點的數(shù)值解。對結(jié)果進行后處理，如分析應(yīng)力、應(yīng)變等物理量在單元之間的變化情況。將連續(xù)的問題離散化為由有限個離散點組成的集合。離散化根據(jù)問題的性質(zhì)，建立每個離散點的方程，并將其組合成總體方程。建立方程采用適當?shù)臄?shù)值方法解總體方程，得到每個離散點的數(shù)值解。解方程對結(jié)果進行后處理，如繪制應(yīng)力、應(yīng)變等物理量的分布圖。分析結(jié)果數(shù)值解法05平面問題的實例分析CHAPTER受均布荷載的簡支梁是指一端固定，另一端簡支，且在整個梁上受到均布荷載作用的梁。定義模型建立解析解法結(jié)果展示利用彈性力學基本方程，包括平衡方程、幾何方程和物理方程，建立該問題的數(shù)學模型。通過解析方法求解該問題的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布。將解析結(jié)果以圖表或數(shù)值的形式展示，便于學生直觀理解。受均布荷載的簡支梁01020304定義受集中荷載的懸臂梁是指一端固定，另一端自由，且在自由端受到集中荷載作用的梁。模型建立根據(jù)集中荷載的位置和大小，建立該問題的數(shù)學模型。解析解法通過解析方法求解該問題的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布。結(jié)果展示將解析結(jié)果以圖表或數(shù)值的形式展示，便于學生直觀理解。受集中荷載的懸臂梁圓筒形容器是指由圓筒形材料構(gòu)成的容器，常用于盛裝液體或氣體。定義根據(jù)圓筒形容器的形狀和所承受的壓力，建立該問題的數(shù)學模型。模型建立通過解析方法求解該問題的應(yīng)力分布。解析解法將解析結(jié)果以圖表或數(shù)值的形式展示，便于學生直觀理解。結(jié)果展示圓筒形容器的應(yīng)力分析06總結(jié)與展望CHAPTER回顧平面問題的基本概念，如應(yīng)力和應(yīng)變、彈性模量和泊松比等。重點概念復習平面問題的基本方程，如平衡方程、幾何方程和物理方程等。重點方程總結(jié)各種求解平面問題的解法，如解析法、有限元法和邊