2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：圓相關(guān)的證明題

2024年九班級(jí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：圓相關(guān)的證明題1.如圖，在OO中，CD是直徑，弦AB⊥CD,垂足為E,連接AC,AD.(1)求證：∠C=∠BAD;求AB的長度.2.如圖，已知ABC內(nèi)接于⊙O,AB是○O的直徑，∠CAB的平分線交BC于點(diǎn)D,交⊙0于點(diǎn)E,連接EB,作∠BEF=∠CAE,交AB的延長線于點(diǎn)F.3.如圖，四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊形，且AC⊥BD,垂足為E,AB=DB,F為DC延長線上一點(diǎn).4.如圖，CD為00的直徑，點(diǎn)A、E是OO上兩點(diǎn)，AC=AE,DE,點(diǎn)B是DC延長線上一點(diǎn)，連接AB,?CAB?CDA.(3)在(2)的條件下，若○O半徑為6,求弦DE的長度.5.如圖，點(diǎn)A、B、C在OO上，∠ABC=60°,直線AD/BC,AD=AB,(2)若⊙O的半徑為4,求弦BC的長.(1)如圖1,求證∠B=ZE;(2)如圖2,連接AD,若AD=5,BD=3,求OE的長.7.如圖，已知AB是OO的直徑，直線DC是○O的切線，切點(diǎn)為C,AE⊥DC,垂足為E,連接AC.求○0的半徑.一點(diǎn)，∠FAC=∠AEF.連接CD,交AB于點(diǎn)G.過點(diǎn)B作OO的切線，交AC的延長線于點(diǎn)F.(2)若點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，且OE=1,求線段BF的長；線交于點(diǎn)D,在BD上截取EC=CD,連接AE并延長交0O于點(diǎn)F,連接CF.求BE的長.13.如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°,∠ABC=90°,延長BC到點(diǎn)O,使得OC=BC,以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)C為半徑作O0交AC的延長線于點(diǎn)D,連接BD.14.如圖，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)B,AO交○0于點(diǎn)C,AO的延長線交00于點(diǎn)D,∠A=30°,點(diǎn)E在BCD上，且不與B,D重合.且FP=FD求BE的長度.16.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,以邊AC為直徑的○O與BC交于點(diǎn)D,DF⊥AB,垂足為F,FD的延長線與AC的延長線交于點(diǎn)E.(2)若AC=13,BD=5,求DF的長.17.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于○O,A線與CA的延長線相交于點(diǎn)E,且∠EDA=∠ACD.(1)求證：直線DE是OO的切線；(3)若AD=6,CD=8,求BD的長.延長交○0于D點(diǎn)，連接BD并延長至E,使得BD=DE,連接CE、BI.并延長交○O于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AB的延長線上，且∠AFE=∠ABC.(1)連接BE,求證BE=DE;連接BCBD,連接DE交A(1)求證：△ABD~△ACB;【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，求弧長，三角形內(nèi)角和定理：(1)依據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到∠CAD=90°,則∠C+∠D=90°,由垂線的定義得到∠AED=90°,則∠BAD+∠D=90°,由此即可證明∠C=∠BAD;(2)如圖所示，連接OA,OB,由圓周角定理得到∠AOD=2∠C=66°,則由垂徑定理可得∠BOD=∠AOD=66°,可得∠AOB=132°,據(jù)此利用弧長公式求解即可.【詳解】(1)證明：∵CD是直徑，(2)解：如圖所示，連接OA,OB,∵CD是直徑，弦AB⊥CD,2.(1)見解析(1)連接OE,依據(jù)AE平分∠CAB,OA=OE,可得∠BEF=∠AEO,從而得到【詳解】(1)解：連接OE,∴OO的半徑為6.3.(1)見詳解(2)依據(jù)BE=3,DE=2可得出BD的長，故可得出AB的長，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的長，同理可得出AD的長，連接BO并延長交○0于點(diǎn)M,交線段AD于點(diǎn)N,連接OD,由垂徑定理得出BM⊥AD,故點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)，利用勾股定理求出BN的長，設(shè)00的半徑為r,在Rt?ODN中利用勾股定理求出r的值即可.【詳解】(1)證明：∵AB=DB,(2)解：∵BE=3,DE=2,連接BO并延長交O0于點(diǎn)M,交線段AD于點(diǎn)N,連接OD,∴BM平分圓,4.(1)見解析【分析】(1)連接OA,證明AB⊥OA即可.(2)依據(jù)?CAB?CDA,結(jié)合∠CBA=∠ABD,得到。CBA△ABD,得到結(jié)合BC:BA=1:2,,計(jì)算即可.(3)過點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G,連接CE,交OA于點(diǎn)F,利用垂徑定理及其推論，勾股定理，三角形中位線定理，三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】(1)如圖，連接OA,∵CD為○0的直徑，∴AB與⊙O相切于點(diǎn)A.為○0的直徑，,;過點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G,∵CD為○0的直徑，連接CE,交OA于點(diǎn)F,,中位線定理，三角形面積公式，嫻熟把握垂徑定理，勾股定理；中位線定理是解題的關(guān)鍵.5.(1)直線AD與圓O相切，見解析(1)由切線的判定定理，可證明；(2連接OC,作OH⊥BC于H,由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB=∠OBC=30°,由含30度直角三角形的性質(zhì)求出OH,依據(jù)勾股定理即可求出BC.【詳解】(1)直線AD與圓O相切...(2)連接OC,作OH⊥BC于H,(1)依據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AE,依據(jù)對頂角相等得到∠DOB=∠AOE,依據(jù)三角形內(nèi)(2)連接AC,依據(jù)圓周角定理得到∠C=90°,依據(jù)勾股定理分別求出AC、AB,證明AODB∽△OAE,依據(jù)相像三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.【詳解】(1)證明：∵AE是○O的切線，(2)解：如圖2,連接AC,,,7.(1)見解析(1)連接OC,依據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥DC,從而可得OC//AE,再依據(jù)等腰三角形的(2)連接BC,先證明∠ABC=∠ACE,則依據(jù)三角函數(shù)的定義，可求得BC的長，最終依據(jù)勾股定理可求得AB的長，從而得到答案.【詳解】(1)連接OC,∴OC//AE,(2)連接BC,,,8.(1)見解析【分析】(1)依據(jù)切線的判定，證明∠OAF=∠OAC+∠FAC=90°即可.(3)連接BE,AD,證明△ADG∽△EBG,運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可.【詳解】(1)證明：∵AB⊥CD,(2)證明：∵四邊形ADEC是圓內(nèi)接四邊形，AB⊥CD,(3)解：連接BE,AD,本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形，弧長的計(jì)算，難度適中.留意把握幫助線的作法，留意把握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.【詳解】(1)證明：∵AB是○O的直徑，又CE⊥AB,(2)解：連接OD,OC,10.(1)詳見解析【分析】(1)連接OD,依據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥AC,進(jìn)而得到OD//BC,依據(jù)平行線(2)依據(jù)余弦的定義求出BC,依據(jù)△AOD∽△ABC列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.【詳解】(1)證明：連接OD,如圖所示：∴OD//BC,(2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°,和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，把握圓的切線垂直于經(jīng)過切(1)依據(jù)切線性質(zhì)，垂直的定義，圓周角定理，余角的性質(zhì)，證明即可.(2)依據(jù)點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，且OE=1,得到OB=OC=2OE=2,利用勾股定理CE=√OC2-OE2=√3,結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】(1)∵AB是OO的直徑，過點(diǎn)B作0O的切線，交AC的延長線于點(diǎn)F,(2)如圖，連接OC,∵點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，且OE=1,12.(1)見解析；(2)BE的長為3.【分析】(1)由AB是OO的直徑，∠ACB=90°,則AC垂直平分DE,所以AE=AD,(2)由且AC=2,求I,BC=2AC=4,EC=CD=1,所以BE=BC-EC=3.【詳解】(1)證明：∵AB是○O的直徑，∴AC垂直平分DE,∴BE的長是3.【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查直徑所對的圓周角等于90°、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形學(xué)問，證明AC垂直平分DE,并且推導(dǎo)出∠B=∠CAF是解題的關(guān)鍵.13.(1)見解析【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，切線的判定，等腰三角形的判定等學(xué)問.證切線連半徑是必作的幫助線.(1)連接OD,易得。OCD是等邊三角形，則得OC=CD=BC,∠ODC=60°,則得即可求解.【詳解】(1)證明：連接OD,如圖，(2)解：∵∠A=∠CDB=30°,【分析】(1)依據(jù)切線的性質(zhì)，得出∠ABO=90°,進(jìn)而求出∠AOB和∠BOD,再依據(jù)圓(2)依據(jù)條件可知∠EOB=∠EOD,【詳解】(1)解：連接OB,在RtaOAB中，∠A=30°,從而∠BOF=∠DOF,從而DF與QO相切.BE=DE,∴OBF≌ODF(SAS),【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，把握并機(jī)敏運(yùn)用相關(guān)學(xué)問是解答此題的關(guān)鍵.15.(1)見解析角相等兩直線平行即可判定；,利用勾股定理可求得OE,即可求得BE,【詳解】(1)證明：∵FP=FD,,,(2)連接OC,如圖，,,定理，解題的關(guān)鍵是嫻熟使用垂徑定理等圓的相關(guān)學(xué)問.16.(1)見解析【分析】(1)連接OD,AD,由圓周角定理可知AD(2)利用勾股定理可得AD=12,利用面積法可得【詳解】(1)證明：如圖，連接OD,AD,(2)解：∵AC=13,BD=5,AB=AC,【分析】(1)連接OD,依據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠OCD=∠ODC,依據(jù)AC是OO的直徑.得OD⊥DE,即可證明結(jié)論；BD=BH,求出DH=CD+CH=14,依據(jù)勾股定理得出BD2=DH2-BH2,求出2BD2=196,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)證明：連接OD,如圖.∵AC是OO的直徑.∴直線DE是OO的切線.(2)∵AB=BC,(3)如圖，過點(diǎn)B作BH⊥BD交DC延長線于點(diǎn)H,∵四邊形ABCD內(nèi)接于○O,在Rt△BDH中，BD2=DH2-BH2,BD=BH,【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出幫助線，數(shù)形結(jié)合，嫻熟把握基本的判定和性質(zhì).18.(1)證明見解析【分析】(1)先證明∠BAD=∠CBD,再證明∠BID=∠DBI,即可證明DB=DI;(2)欲證明直線CE為0O的切線，只要證明BC⊥CE即可；求AD的長，只要求得BD的長即可，【詳解】(1)~點(diǎn)I為ABC的內(nèi)心∠DBI=∠CBD+∠CBI=∠CAD+∠ABI=∠BAD+∠ABI(2)連接CD,如圖所示.由(1)得：∠BAD=∠CAD則BD=CD(3)∵BC為○0的直徑過點(diǎn)1作IH⊥AC交AC于點(diǎn)H,連接CI,如圖所示.∵點(diǎn)I為=ABC的內(nèi)心，∴點(diǎn)1到ABC三邊的距離相等，【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的判定，等腰三角形的判定，解直角三角形等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是機(jī)敏運(yùn)用所學(xué)學(xué)問解決問題，學(xué)會(huì)添加常用幫助線.19.(1)見解析【分析】本題考查了圓周角定理及其推論，圓的切線的判定，相像三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義等學(xué)問，解決問題的關(guān)鍵是嫻熟把握有關(guān)基礎(chǔ)學(xué)問.(1)可證得∠ACD=∠ADC,∠ACD=∠EBD,進(jìn)而得出∠EDB=∠EBD,從而推出BE=DE;(2)連接OE,可推出∠DBE=∠OEB,∠DBE=∠ACD=∠ADC,從而∠OEB=∠ADC,從而推出∠EOB=∠CAD,可推出∠CAD+∠ABC=90°,從而∠OEB+∠AFE=90°,從而∠O從而求得DE的長.