2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第五部分真題分類匯編第五章四邊形第2節(jié)矩形、菱形與正方形第3課時(shí)正方形

5.2矩形、菱形與正方形第3課時(shí)正方形交邊AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若AF=2,FB=1,則MG=()A.2V3B.C.V5+12.(2023·重慶)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，連接AE,AF,A.2aB.90°-2aC.45°-a3.(2022-·廣東深圳)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.對(duì)角線垂直且相互平分的四邊形是菱形B.同圓或等圓中，同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等C.對(duì)角線相等的四邊形是矩形D.對(duì)角線垂直且相等的4.(2022·湖南衡陽(yáng))下列命題為假命題的是()A.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形B.對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形C.有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形D.有一組鄰邊5.(2022·山東濱州)下列命題，其中是真命題的是()A.對(duì)角線相互垂直的四邊形是平行四邊形B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C.對(duì)角線相互平分的四邊形是菱形D.對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形6.(2022·浙江紹興)如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=DF,M,N分別是邊AD,邊BC上的動(dòng)點(diǎn).下列四種說(shuō)法：①存在很多個(gè)平行四邊形MENF;②存在很多個(gè)矩形MENF;③存在很多個(gè)菱形MENF;④存在很多個(gè)正方形MENF.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1角線AC,BD一定是()A.相互平分B.相互垂直C.相互平分且相等D.相互垂直且相等AF與BE相交于點(diǎn)O,連接OC,若BF=2CF,則OC與EF之間的數(shù)量關(guān)系正確的是()A.20C=V5EFB.√50C=2EFC.20C=V3EFD.OC=EF接AP,NF,沿圖中實(shí)線剪開(kāi)即可得到一副七巧板，則在剪開(kāi)之形都是等腰直角三角形；②四邊形MPEB是菱形；③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的A.只有①B.①②C.①③D.②③10.(2023·四川自貢)如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形OBCD兩邊與坐標(biāo)軸正半軸重合，點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A.(3,-3)B.(-3,3)C.(3,3)D.二、填空題12.(2023·寧夏)如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接EB,EC.則圖中陰影部分的面13.(2023-湖南湘潭)七巧板是我國(guó)民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長(zhǎng)為4dm的正方形紙板制作了一副七巧板(如圖),由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成.則圖中陰影部分的面14.(2023·廣東廣州)邊長(zhǎng)分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同始終線上(如圖),是正方形(填一個(gè)即可)17.(2022·四川攀枝花)如圖，以△ABC的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF.且點(diǎn)A其中正確結(jié)論有(填上全部正確結(jié)論的序號(hào)).18.(2022·廣西河池)如圖，把邊長(zhǎng)為1:2的矩形ABCD沿長(zhǎng)邊BC,AD的中點(diǎn)E,F對(duì)折，得到四邊形ABEF,點(diǎn)G,H分別在BE,EF上，且2,AG與BH交于點(diǎn)O,N為AF的中點(diǎn)，連接ON,作OM⊥ON交AB于點(diǎn)M,連接MN,則tan∠AMN=19.(2022·山東泰安)如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將正方形ABCD沿AE折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,延長(zhǎng)EF交線段DC于點(diǎn)P,若AB=6,則DP的長(zhǎng)度為20.(2022·新疆)如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在邊AB上，以點(diǎn)D為中心將△DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△DAF恰好完全重合，連接EF交D連接BO,若AQ·DP=3√2,則BQ=21.(2022.安徽)如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF,BF分別交CD于點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.連接DF,請(qǐng)完成下列23.(2023-湖南懷化)如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AD于點(diǎn)E,PE=3.則點(diǎn)P到25.(2023·內(nèi)蒙古赤峰)數(shù)學(xué)愛(ài)好小組探究了以下幾何圖形.如圖①,把一個(gè)含有45°角的三角尺放在正方正方形的邊AD,AB所在直線分別相交于點(diǎn)M,N,連接MN,可得△CMN.【探究二】在圖②中，連接BD,分別交CM,CN于點(diǎn)E,F.求證：△CEF~△CNM;操作二：在AD上選一點(diǎn)P,沿BP折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM、BM,延長(zhǎng)(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠EMB=度；(2)轉(zhuǎn)變點(diǎn)P在AD上的位置(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,D重合)如圖2,推斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.BC,E,F分別為垂足.連接EF,AG,并延長(zhǎng)AG交EF于點(diǎn)H.28.(2023·四川南充)如圖，正方形ABCC重合),推斷△CMB'的外形，并說(shuō)明理由.(3)在(2)的條件下，已知AB=1,當(dāng)∠DEB'=45°時(shí)，求BM的長(zhǎng).29.(2023-湖北十堰)如圖，②ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,分別以點(diǎn)B,C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫30.(2023-山西)問(wèn)題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，DFE按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)F重合(標(biāo)記為點(diǎn)B).當(dāng)∠ABE=∠A時(shí)，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)G.試推斷四邊形BCGE的外形，并說(shuō)明理由.問(wèn)題.0E=0A.求證：四邊形AECF是正方形.32.(2023·甘肅蘭州)綜合與實(shí)踐【思考嘗試】(1)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在矩形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，DF⊥CE于點(diǎn)F,【實(shí)踐探究】于點(diǎn)F,AH⊥CE于點(diǎn)H,GD⊥DF交AH于點(diǎn)G,可以用等式表示線段FH,AH,CF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思【拓展遷移】關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題.圖1圖333.(2023-湖北十堰)如圖，@ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,分別以點(diǎn)B,C為圓心，,進(jìn)而可得依據(jù)BCIAD,得出△GMB~△GDA,依據(jù)相像三角形的性質(zhì)得出BG=3,進(jìn)而在Rt△,進(jìn)而可得…【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相像三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，嫻熟掌握以上學(xué)問(wèn)是解題的關(guān)鍵.2.(2023·重慶)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，連接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若A.2aB.90?-2aC.45°-a【答案】A【分析】利用三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再證明三角形全等，最終依據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解.∵四邊形ABCD是正方形，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：∠DAF=∠BAH,∠【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，嫻熟利用性質(zhì)求出角度.3.(2022.廣東深圳)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.對(duì)角線垂直且相互平分的四邊形是菱形B.同圓或等圓中，同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等C.對(duì)角線相等的四邊形是矩形D.對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形【分析】依據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法及圓周角定理，分別分析得出答案.【詳解】解：A.對(duì)角線垂直且相互B.同圓或等圓中，同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等，所以A選項(xiàng)說(shuō)法正確，故B選項(xiàng)不符合題意；C.對(duì)角線相等的四邊形是不肯定是矩形，所以C選項(xiàng)說(shuō)法不正確，故C選項(xiàng)符合題意；D.對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以D選項(xiàng)說(shuō)法正確，故D選項(xiàng)不符合題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定方法等進(jìn)4.(2022·湖南衡陽(yáng))下列命題為假命題的是()A.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形B.對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形C.有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形D、有一組鄰邊相等的矩形是正方形，是真命題，本選項(xiàng)不符合題意.【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，矩形、菱形、正方形的判定等學(xué)問(wèn)，解題的方法，屬于中考?？碱}型.5.(2022·山東濱州)下列命題，其中是真命題的是()A.對(duì)角線相互垂直的四邊形是平行四邊形B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C.對(duì)角線相互平分的四邊形是菱形D.對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形【答案】D【分析】分別依據(jù)平行四邊形，矩形，菱形及正方形的判定定理進(jìn)行推斷即可.【詳解】對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形，故A錯(cuò)誤，不符合題意；【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形，矩形，菱形及正方形的判定定理，嫻熟把握學(xué)問(wèn)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.6.(2022.浙江紹興)如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=DF,M,N分別是邊AD,邊BC上的動(dòng)點(diǎn).下列四種說(shuō)法：①存在很多個(gè)平行四邊形MENF;②存在很多個(gè)矩形MENF;③存在很多個(gè)菱形MENF;④存在很多個(gè)正方形MENF.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1【分析】依據(jù)題意作出合適的幫助線，然后逐一分析即可.【詳解】如圖，連接AC、與BD交于點(diǎn)O,連接ME,MF,NF,EN,MN,只要MN=EF,MN過(guò)點(diǎn)O,則四邊形MENF是矩形，只要MN⊥EF,MN過(guò)點(diǎn)O,則四邊形MENF是菱形；只要MN=EF,MN⊥EF,MN過(guò)點(diǎn)O,【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四題意，作出合適的幫助線.A.相互平分B.相互垂直C.相互平分且相等D.相互垂直且相等【分析】由題意作出圖形，然后依據(jù)正方形的判定定理可進(jìn)行排解選項(xiàng).∴四邊形EFGH是平行四邊形，對(duì)于A選項(xiàng)：對(duì)角線相互平分，四邊形EFGH仍是平行四邊形，故不符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)：對(duì)角線相互垂直，則有EF⊥EH,可推出四邊形EFGH是矩形，故不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)：對(duì)角線相互平分且相等，則有EF=EH,可推出四邊形EFGH是菱形，故不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)：對(duì)角線相互垂直且相等，則有EF⊥EH,EF=EH,可推出四邊形EFGH是正方形，故符合【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線及正方形、菱形、矩形、平行四邊形的判定，嫻熟把握三角形中位線及正方形、菱形、矩形、平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.AF與BE相交于點(diǎn)O,連接OC,若BF=2CF,則OC與EF之間的數(shù)量關(guān)系正確的是()A.20C=V5EFB.√50C=2EFC.20C=V3EFD.OC=EF【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M,先證明四邊形ABFE是正方形，得出MF=CF=OM,再利用勾股定理得出OC=√5CF,即可得出答案.∴MF=CF=0M,EF=2CF,【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，嫻熟把握學(xué)問(wèn)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.9.(2022·湖北隨州)七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對(duì)角線，接AP,NF,沿圖中實(shí)線剪開(kāi)即可得到一副七巧板，則在剪開(kāi)之前，關(guān)于該圖形，下列說(shuō)法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②四邊形MPEB是菱形；③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的正確的A.只有①B.①②C.①③D.②③【答案】C【分析】先依據(jù)正方形的性質(zhì)和中位線定理證明圖中全部三角形是等腰直角【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴△ABD、△BCD是等腰直角三角形，∵E,F分別為BC,CD的中點(diǎn)，∴△CEF是等腰直角三角形，∵M(jìn),N分別為BO,DO的中點(diǎn)，,,∴由正方形是軸對(duì)稱圖形，則A、P、C三點(diǎn)共線，∴△DNF是等腰直角三角形，∴圖中的三角形都是等腰直角三角形；∴四邊形MPEB是平行四邊形，在Rt△OBC中，BC>OB,【點(diǎn)睛】此題考查了七巧板，正方形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理、三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等學(xué)問(wèn)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.10.(2023·四川自貢)如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形OBCD兩邊與坐標(biāo)軸正半軸重合，點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A.(3,-3)B.(-3,3)C.(3,3)【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合坐標(biāo)的意義即可求解.【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，嫻熟把握正方形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.11.(2023·湖南益陽(yáng))如圖，在正方【分析】由正方形ABCD,可得AD=DC=AB=4,∠A=∠ADC=∠BCD=90°,∠DCF=90°,BE=2,求解DE2=42+22=20,再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與勾股定理可得答案.【詳解】解：∵正方形ABCD,【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.12.(2023·寧夏)如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接EB,EC.則圖中陰影部分的面積是【答案】2【分析】依據(jù)正方形ABCD的∠BAD=90°,∠CDA=90°,積的和，運(yùn)用三角形面積公式，即可求解.【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為2,陰影部分面積等于△ABE與△CDE面=2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形，三角形面積.嫻熟把握正方形的邊角性質(zhì)，三角形面積公式，是解題的13.(2023·湖南湘潭)七巧板是我國(guó)民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)了一副七巧板(如圖),由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成.則圖中陰影部分的面【答案】2【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點(diǎn)，求得OE的長(zhǎng)，即可求解.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，嫻熟把握以上學(xué)問(wèn)是解題的關(guān)鍵.14.(2023·廣東廣州)邊長(zhǎng)分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同始終線上(如圖),則圖中陰影部分的面積為【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)及相像三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解.【詳解】解：如圖，由題意可知AD=DC=10,CG=CE=GF=6,∠CEF=∠EFG=90°,GH=4,故答案為15.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相像三角形的性質(zhì)與判定，嫻熟把握正方形的性質(zhì)及相像三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.,,15.(2023·四川瀘州)如圖，E,F是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取【分析】作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F',連接EF'交AC于點(diǎn)P',此時(shí)PE+PF取得最小值，過(guò)點(diǎn)F'作AD的垂線段，交AC于點(diǎn)K,依據(jù)題意可知點(diǎn)F'落在AD上，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,求得AK的邊可得即可解答.【詳解】解：作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F',連接EF'交AC于點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)F'作AD的垂線段，交AC于點(diǎn)K,由題意得：此時(shí)F'落在AD上，且依據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，當(dāng)P點(diǎn)與P'重合時(shí)PE+PF取得最小值，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∵∠F'P'K=∠EP'A,【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的最值問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相像三角形的證明與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確畫出幫助線是解題的關(guān)鍵.16.(2023.黑龍江)如圖，在矩形ABCD中對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使矩形ABCD是正方形(填一個(gè)即可)【答案】AB=BC或AC⊥BD【分析】依據(jù)正方形的判定定理可知：鄰邊相等的矩形是正方形，對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形.【詳解】∵鄰邊相等的矩形是正方形，∴可添加條件AB=BC或者∵對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形∴還可以添加條件AC⊥BD【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定，找出正方形與矩形的性質(zhì)差異，即為可添加的條件.17.(2022·四川攀枝花)如圖，以△ABC的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF.且點(diǎn)A在△BCF內(nèi)部.給出以下結(jié)論：①四邊形ADFE是平行四邊形；③當(dāng)AB=AC時(shí)，四邊形ADFE是菱形；④當(dāng)AB=AC,且∠BAC=150時(shí)，四邊形ADFE是正方形.其中正確結(jié)論有(填上全部正確結(jié)論的序號(hào)).∠EAD=360?-∠BAE-∠BAC-∠CAD=90°,AE=AD,結(jié)合結(jié)論①,可知結(jié)論③正確；對(duì)于結(jié)論④,綜合②③的結(jié)論知：當(dāng)AB=AC,且∠BAC=150°時(shí)，四邊形AEFD既是菱形，又是矩形，故結(jié)論④正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定方法，嫻熟把握18.(2022·廣西河池)如圖，把邊長(zhǎng)為1:2的矩形ABCD沿長(zhǎng)邊BC,AD的中點(diǎn)E,F對(duì)折，得到四邊形ABEF,點(diǎn)G,H分別在BE,EF上，且2,AG與BH交于點(diǎn)O,N為AF的中點(diǎn)，連接ON,作OM⊥ON交AB于點(diǎn)M,連接MN,則tan∠AMN=【分析】先推斷出四邊形ABEF是正方形，進(jìn)而推斷出△ABG≌△BEH,得出∠B∠AOB=90°,再推斷出△AOB~△ABG,求出,再推斷出△OBM~△OAN,求出BM=1,即可求出答案.【詳解】解：∵點(diǎn)E,F分別是BC,AD的中點(diǎn)，,,∴△OBM~△OAN,【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形性質(zhì)，正方形性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，相像三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出BM是解本題的關(guān)鍵.19.(2022·山東泰安)如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將正方形ABCD沿AE折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,延長(zhǎng)EF交線段DC于點(diǎn)P,若AB=6,則DP的長(zhǎng)度為【答案】2【分析】連接AP,依據(jù)正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)證明Rt△AFP≌RI△ADP(HL),可得PF=PD,設(shè)PF=PD=x,則CP=CD-PD=6-x,EP=EF+FP=3+x,然后依據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題.【詳解】解：連接AP,如圖所示，∴Rt△AFP≌Rt△ADP(HL),∴(3+x)2=32+(6-x)2,解得x=2,則DP的長(zhǎng)度為2,故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是把握翻折的性質(zhì).20.(2022·新疆)如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在邊AB上，以點(diǎn)D為中∵點(diǎn)Q在對(duì)角線AC上，【點(diǎn)睛】本題綜合考查了相像三角形、全等三角形、圓、正方形等學(xué)問(wèn)，通過(guò)機(jī)敏運(yùn)用四點(diǎn)共圓得到等弦對(duì)等角來(lái)證明相關(guān)角相等是解題的奇妙方法.21.(2022.安徽)如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF,BF分別交CD于點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.連接DF,請(qǐng)完成下列【答案】【分析】(1)先證△ABE≌△GEF,得FG=AE=DG,可知△DFG是等腰直角三角形即可知∠FDG度數(shù).(2)先作FH⊥CD于H,利用平行線分線段成比例求得MH;再作MP⊥DF于P,證△MPF∽△NHF,即可【詳解】(1)∵四邊形ABCD是正方形，∵△BEF是等腰直角三角形，(2)如圖，作FH⊥CD于H.∴AGIIFH作MP⊥DF于P,∵DP2+MP2=DM2,【答案】【分析】如圖，過(guò)F作FM⊥BE于M,FN⊥CD于N,由CF平分∠DCE,邊形CMFN是正方形，F(xiàn)MⅡAB,設(shè)FM=CM=NF=CN=a,則ME=2-a,證明△EFM~△EAB,則,,解i,由勾股定理得DF=VDN2+NF2,計(jì)算求解即可.【詳解】解：如圖，過(guò)F作FM⊥BE于M,FN⊥CD于N,則四邊形CMFN是矩形，F(xiàn)M|AB,∴△EFM~△EAB,’’【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相像三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于對(duì)學(xué)問(wèn)的嫻熟把握與機(jī)敏運(yùn)用.23.(2023-湖南懷化)如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AD于點(diǎn)E,PE=3.【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q,證明四邊形四邊形AEPQ是正方形，即可求解.即點(diǎn)P到直線AB的距離為3故答案為：3.【詳解】解：連接AE,BE,故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出幫助線是解25.(2023·內(nèi)蒙古赤峰)數(shù)學(xué)愛(ài)好小組探究了以下幾何圖形.如圖①,把一個(gè)含有45°角的三角尺放在正方【探究二】在圖②中，連接BD,分別交CM,CN于點(diǎn)E,F.求證：△CEF-△CNM;BGC,則點(diǎn)G在直線AB上.得出△NCG≥△NCM,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠MNC=∠GNC,進(jìn)而可得∠CNM=∠CEF,證明△ECF~△NCM,依據(jù)相像三角形的性質(zhì)得出即可得出結(jié)論.∴△CNM=△CNH∴∠CNM=∠CNH又∵∠CNM=∠CNH,又∵公共角∠ECF=∠NCM,∴△ECD~△NCA,又CN=CN,∴△ECF~△NCM,【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相像三角形的性質(zhì)與判定，嫻熟把握相像三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.26.(2023·內(nèi)蒙古通遼)綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，有一位同學(xué)操作過(guò)程如下：操作一：對(duì)折正方形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF,把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P,沿BP折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM、BM,延長(zhǎng)(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠EMB=度；(2)轉(zhuǎn)變點(diǎn)P在AD上的位置(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,D重合)如圖2,(2)∠MBQ=∠CBQ,理由見(jiàn)解析(2)由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可證Rt△BCQ=Rt△BMQ(HL),即得出∠MBQ=∠CBQ.【詳解】(1)解：∵對(duì)折正方形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF,在Rt△BEM中，故答案為：30.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定和等學(xué)問(wèn)點(diǎn).嫻熟把握上述學(xué)問(wèn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.27.(2023·浙江紹興)如圖，在正方形ABCD中，G是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)(與點(diǎn)B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分別為垂足.連接EF,AG,并延長(zhǎng)AG交EF于點(diǎn)H.【分析】(1)由正方形的性質(zhì)，得到AD⊥CD,結(jié)合垂直于同一條直線的兩條直線平行，可得ADⅡGE,再(2)連接GC交EF于點(diǎn)O,由SAS證明△ADG=△CDG,再依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠DAG=∠DCG,繼而證明四邊形FCEG為矩形，最終依據(jù)矩形的性質(zhì)解答即可.【詳解】(1)解：在正方形ABCD中，AD⊥CD(2)AH與EF垂直，理由如下.∴四邊形FCEG為矩形，【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的推斷與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等學(xué)問(wèn)，綜合性較強(qiáng)，是重要考點(diǎn)，把握相關(guān)學(xué)問(wèn)是解題關(guān)鍵.28.(2023·四川南充)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M在邊BC上，點(diǎn)E是AM的中點(diǎn)，連接ED,EC.(2)將BE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在AC上，連接MB'.當(dāng)點(diǎn)M在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)M不與B,C重合),推斷△CMB'的外形，并說(shuō)明理由.(3)在(2)的條件下，已知AB=1,當(dāng)∠DEB'=45°時(shí)，求BM的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】(1)依據(jù)正方形的基本性質(zhì)以及“斜中半定理”等推出△EAD=△EBC,即可證得結(jié)論；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得EB=EB'=AE=EM,從而利用等腰三角形的性質(zhì)推出∠MB'C=90°,再結(jié)合正方形對(duì)角線的性質(zhì)推出B'M=B'C,即可證得結(jié)論；(3)結(jié)合已知信息推出△CME~△AMC,從而利用相像三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解即可.【詳解】(1)證：∵四邊形ABCD為正方形，∵點(diǎn)E是AM的中點(diǎn)，(2)解：△CMB'為等腰直角三角形，理由如下：∴∠EAB'=∠EB'A,∠EMB'=∠EB'M,(3)解：如圖所示，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F,∴△CME~△AMC,∴CM2=AM·EM,設(shè)BM=x,則CM=1-x,AM【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形和相像三角形的判定與性質(zhì)等，理解并嫻熟運(yùn)用基本圖形的證明方法和性質(zhì)，把握勾股定理等相關(guān)計(jì)算方式是解題關(guān)鍵.29.(2023·湖北十堰)如圖，②ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,分別以點(diǎn)B,C為圓心，AC,ZBD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,連接BP,CP.【分析】(1)依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到,依據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四(2)依據(jù)對(duì)角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形判定即可.【詳解】(1)四邊形BPCO是平行四邊形.理由如下：(2)∵對(duì)角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，∴AC=BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形BPCO是正方形.DFE按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)F重合(標(biāo)記為點(diǎn)B).當(dāng)∠ABE=∠A時(shí)，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)G.試問(wèn)題.【答案】(1)正方形，見(jiàn)解析【分析】(1)先證明四邊形BCGE是矩形，再由△ACB≥△DEB可得BC=BE,從而得四邊形BCGE是正方形；(2)①由己知∠ABE=∠BAC可得AN=BN,再由等積方法1,再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；②設(shè)AB,DE的交點(diǎn)為M,過(guò)M作MG⊥BD于G,則易得MD=MB,點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)；利用三角函數(shù)學(xué)問(wèn)可求得DM的長(zhǎng)，進(jìn)而求得AM的長(zhǎng)，利用相像三角形的性質(zhì)即可