機(jī)電控制工程基礎(chǔ)課件：控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確性分析

控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確性分析6.1系統(tǒng)元件參數(shù)變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響6.2控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)與頻域性能指標(biāo)的關(guān)系6.3控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算習(xí)題

6.1系統(tǒng)元件參數(shù)變化對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響

6.1.1靈敏度的基本概念靈敏度是系統(tǒng)對(duì)各孤立環(huán)節(jié)依賴關(guān)系的度量。組成控制系統(tǒng)的各元器件,由于工作條件的變化與制造水平的差異,其參數(shù)或多或少總會(huì)有變化,而這種變化對(duì)于處于控制系統(tǒng)中不同通道上的元器件對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響是不相同的。若影響大,則稱該控制系統(tǒng)對(duì)某環(huán)節(jié)是靈敏的或靈敏度大;否則,就稱靈敏度小。在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中,人們期望控制系統(tǒng)的輸出對(duì)元器件參數(shù)變化的靈敏度小,保持輸出穩(wěn)定。

6.1.2閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)靈敏度的影響

設(shè)α是前向通道傳遞函數(shù)G(s)的一個(gè)參數(shù),則G(s)對(duì)參數(shù)α的靈敏度為

式(61)也可寫成

由于一般情況下,α的變化率比較小,因而,對(duì)于傳遞函數(shù)G(s)來說,由式(6－1)和式(6－2)即可求出其變化率ΔG/G。因此,α的變化反映了該前向通道傳遞函數(shù)的靈敏度,

對(duì)于一個(gè)具有反饋環(huán)節(jié)H(s)的閉環(huán)系統(tǒng)來說,其閉環(huán)傳遞函數(shù):

因此,其前向通道傳遞函數(shù)G(s)中的參數(shù)α的變化對(duì)整個(gè)閉環(huán)傳遞函數(shù)的影響,即閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)對(duì)參數(shù)α的靈敏度為

因此

同理,設(shè)β為反饋回路H(s)中的一個(gè)參數(shù),則該閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)對(duì)β的變化的靈敏度為

因此

6.1.3應(yīng)用舉例

例6－1如圖6－1所示為直流伺服電動(dòng)機(jī)的位置控制系統(tǒng)的方框圖。假設(shè)其增益K=10,α=2,反饋回路參數(shù)β=1。當(dāng)輸入為X(t)=2cos0.5t,K有5%變化時(shí),求其對(duì)穩(wěn)態(tài)輸出的影響。圖6－1位置控制系統(tǒng)方框圖

解由圖6－1可知

G(s)對(duì)參數(shù)(增益)K的靈敏度為

同理,G(s)對(duì)參數(shù)α的靈敏度為

反饋傳遞函數(shù)H(s)對(duì)β的靈敏度為

由此可求出閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)對(duì)K、α、β的靈敏度分別為

由以上三式可知,Φ(s)對(duì)K和α的靈敏度在低頻時(shí)是很低的,在頻率為零(直流)時(shí)即為零,而Φ(s)對(duì)β的靈敏度在零頻時(shí)其值等于-1,該值與H(s)對(duì)β的靈敏度相等。因此,在控制系統(tǒng)中,尤其在低頻時(shí),反饋通道中元器件的參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出影響較大。所以在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與制造中,要求反饋通道的元器件具有較高的精度和穩(wěn)定的工作點(diǎn)。

下面討論當(dāng)前傳遞函數(shù)G(s)中參數(shù)(增益)K有5%變化時(shí),對(duì)其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的影響。因?yàn)?/p>

所以

因?yàn)橄到y(tǒng)的輸入X(t)=2cos0.5t,則

6.2控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)與頻域性能指標(biāo)的關(guān)系

6.2.1時(shí)域性能指標(biāo)回顧評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)優(yōu)劣的時(shí)域性能指標(biāo),一般是根據(jù)系統(tǒng)在典型輸入下的輸出響應(yīng)的快速性和穩(wěn)定性來定義的,常用的時(shí)域性能指標(biāo)在第3章已詳細(xì)論述,主要有

6.2.2頻域性能指標(biāo)及其與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系

用閉環(huán)頻率特性分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí),常采用的頻域性能指標(biāo)有

(1)零頻值M(0);

(2)諧振頻值Mmax;

(3)諧振頻率ωr;

(4)截止頻率ωb和頻帶0~ωb。

以上性能指標(biāo)表征了閉環(huán)頻率特性的曲線在形狀和數(shù)值上的一些特點(diǎn),如圖6－2所示,它們?cè)诤艽蟪潭壬戏从沉讼到y(tǒng)的品質(zhì)。圖6－2系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性

1.零頻值M(0)

零頻值M(0)表示頻率趨近于零時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出幅值和輸入幅值之比。

對(duì)于單位反饋系統(tǒng),閉環(huán)頻率特性Φ(jω)與開環(huán)頻率特性G(jω)有如下關(guān)系:

式中,K為開環(huán)增益;ν為開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)的數(shù)目;G1(jω)為開環(huán)頻率特性的組成部分,其增益為1,且不包括積分環(huán)節(jié),表達(dá)式為

2.復(fù)現(xiàn)帶寬與復(fù)現(xiàn)精度

若給定Δ為系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)低頻輸入信號(hào)的允許誤差,而系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)低頻輸入信號(hào)的誤差不超過Δ時(shí)的最高頻率為ωm,則稱ωm為復(fù)現(xiàn)頻率,0~ωm為復(fù)現(xiàn)帶寬。若根據(jù)Δ所確定的ωm越高,則系統(tǒng)以規(guī)定精度復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的頻帶就越寬;若根據(jù)給定的ωm所確定的誤差Δ越小,則系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)低頻輸入信號(hào)的精度就越高。

M(0)、ωm、Δ的數(shù)值決定于系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性低頻段的形狀,所以閉環(huán)幅頻在這一頻段的形狀表征著該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

3.相對(duì)諧振峰值Mr和諧振頻率ωr

相對(duì)諧振峰值Mr定義為諧振峰值Mmax與零頻值M(0)之比,即

當(dāng)M(0)=1時(shí),相對(duì)諧振峰值Mr與諧振峰值Mmax在數(shù)值上是相等的。

對(duì)于二階系統(tǒng),當(dāng)0<ζ<0.707時(shí),幅頻特性有峰值出現(xiàn),即

此時(shí),諧振頻率ωr為

由式(3－27)可知,二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量

將式(6－7)代入Mp的計(jì)算式,即可得到欠阻尼二階系統(tǒng)最大超調(diào)量Mp和相對(duì)諧振峰值Mr之間的關(guān)系,即

由式(6－7)和式(3－27)可知,Mr和Mp均由控制系統(tǒng)的阻尼比ζ所確定,它們之間的關(guān)系如圖6－3所示。由圖可見,Mr和Mp均隨ζ的減小而增大。因此對(duì)某一控制系統(tǒng)來說,若在時(shí)域中Mp的值大,則反映到頻域里,Mr的值也大,反之亦然。因此,Mr是度量控制系統(tǒng)振蕩程度的一項(xiàng)頻域指標(biāo),在二階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中,一般取Mr<1.4,此時(shí)該系統(tǒng)對(duì)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量Mp<25%。圖6－3二階系數(shù)Mp、Mr隨ζ變換的關(guān)系曲線

將式(6－8)代入描述控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)的式(3－26)、式(3－27)和式(3－29)中,分別求出上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp和調(diào)整時(shí)間ts與ωr和ζ之間關(guān)系為

4.截止頻率ωb

和帶寬0~ωb

截止頻率ωb是指閉環(huán)頻率特性的幅值M(ω)下降到其零頻值M(0)的70.7%時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率。對(duì)于M(0)=1的系統(tǒng),其對(duì)數(shù)幅值為-3dB時(shí)的頻率就是截止頻率。頻率范圍0~ωb為帶寬。

對(duì)于二階系統(tǒng)來說,截止頻率ωb與無阻尼自然頻率ωn和阻尼比ζ有著一定的關(guān)系,將M(b)=0.707代入二階系統(tǒng):

單位反饋的二階系統(tǒng)的開環(huán)增益交界頻率ωc(幅值穿越頻率)和閉環(huán)截止頻率ωb有一定關(guān)系。令開環(huán)頻率特性:

的幅值等于1(0dB),則有

當(dāng)輸入信號(hào)的頻率高于截止頻率時(shí),輸出急劇衰減,形成系統(tǒng)響應(yīng)的截止?fàn)顟B(tài)。因此,截止頻率或頻帶寬反映系統(tǒng)的濾波特性和系統(tǒng)響應(yīng)的快速性,高的截止頻率意味著系統(tǒng)能

通過高頻輸入信號(hào),系統(tǒng)響應(yīng)快,但不能抑制高頻噪聲。

高階系統(tǒng)頻率響應(yīng)與時(shí)間響應(yīng)指標(biāo)之間不像二階系統(tǒng)那樣存在著確定的關(guān)系,這給高階系統(tǒng)進(jìn)行頻率響應(yīng)分析和設(shè)計(jì)帶來了一定的困難。但是高階系統(tǒng)一般都設(shè)計(jì)成具有一對(duì)

共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。對(duì)于這樣的系統(tǒng),上面討論的二階系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)和時(shí)域性能指標(biāo)之間的關(guān)系,仍具有一定的指導(dǎo)意義。此外,還可以通過經(jīng)驗(yàn)公式來分析和研究高階

系統(tǒng)。

以上公式建立了頻率響應(yīng)指標(biāo)Mr、ωc和時(shí)域響應(yīng)的主要指標(biāo)Mp和ts間的關(guān)系。在研究高階系統(tǒng)時(shí),特別是用頻率法分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)是很有用的。

6.2.3開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系

1.低頻段

低頻段一般指頻率低于開環(huán)Bode圖第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率的頻段,或者說頻率低于中頻段的頻率范圍。頻率特性的低頻段主要影響時(shí)間響應(yīng)的結(jié)尾段。開環(huán)Bode圖低頻段漸近線的斜率反映系統(tǒng)含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)(型別),而它的高度則反映系統(tǒng)的開環(huán)增益。因此低頻漸近線的斜率和高度決定著系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。

2.中頻段

中頻段是指開環(huán)Bode圖增益交界頻率ωc附近的頻段,即ωc前、后轉(zhuǎn)角頻率之間的頻率范圍。中頻段的特征量有增益交界頻率ωc、相位裕度γ、對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率以及中頻帶寬,即ωc與其相鄰兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率的比值等。

現(xiàn)以圖6－4所示的典型Ⅱ型三階系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖來討論中頻段h以及ωc在中頻段中的位置和相位裕量γ的關(guān)系。從圖中可見,該系統(tǒng)在增益交界頻率ωc附近,其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的斜率為-20dB/dec。圖6－4典型三階系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖

由此可得系統(tǒng)的最大相位裕度為

即

式(6－19)和式(6－20)表明,當(dāng)調(diào)節(jié)開環(huán)增益K,使幅值穿越頻率ωc位于ω1和ω2的幾何中點(diǎn)時(shí),系統(tǒng)具有最大的相位裕度。并且中頻段越大,相位裕度的最大值也越大。表6－1給出了不同中頻寬h的最小Mr和最佳頻比的關(guān)系。

由表6－1可以看出,初步設(shè)計(jì)時(shí),可認(rèn)為

一般選h在7~12之間,如果希望進(jìn)一步增大穩(wěn)定儲(chǔ)備,h可增至15~18。由此確定ζ、ωn、Mp和ts等的值。

3.高頻段

所謂高頻段是指頻率大于ω2而小于20ωc的區(qū)域。因?yàn)槿绻D(zhuǎn)折頻率大于20ωc,則該轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)于相位裕度只有3°的影響,故可忽略不計(jì)。高于20ωc的頻率區(qū)稱為小參數(shù)區(qū),如伺服功率放大器、電子測(cè)量線路的頻帶都必須落在這個(gè)區(qū)域。一般來說,設(shè)計(jì)中頻率的值比ωc大100為宜。高頻區(qū)Bode圖呈很陡的斜率下降有利于降低噪聲,也就是說控制系統(tǒng)應(yīng)是一個(gè)低通濾波器。

6.3控制系統(tǒng)的誤差分析和計(jì)算

6.3.1偏差、誤差和穩(wěn)態(tài)誤差在傳遞函數(shù)的方框圖中,偏差信號(hào)E(s)是指參考輸入信號(hào)X(s)和反饋信號(hào)B(s)之差(見圖6－5),即誤差信號(hào)ε(s)是指被控量的期望值Yα(s)與被控量的實(shí)際值Y(s)之差,即圖6－5典型控制系統(tǒng)的方框圖

對(duì)于如圖6－5所示的控制系統(tǒng),在參考輸入X(s)和干擾N(s)聯(lián)合作用下的輸出為

6.3.2輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

在下面的分析中,我們首先假定組成控制系統(tǒng)的元件都是理想線性元件,且僅僅討論在參考輸入作用下系統(tǒng)的誤差。由前所述,偏差和誤差之間存在著確定的關(guān)系,同時(shí),在

單位反饋系統(tǒng)中,偏差和誤差相等,因而我們?cè)诖酥饕懻摲€(wěn)態(tài)偏差ess(t)。

下面分別討論參考輸入為單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)和單位拋物線函數(shù)時(shí)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。

1.單位階躍函數(shù)輸入

當(dāng)參考輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為

式中,Kp為位置偏差函數(shù),其值為

在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中,若給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差(誤差),利用式(6－32)就可計(jì)算出要求的Kp值。例如,在單位階躍輸入條件下要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差不大于2%,即允許ess≤2%,

2.單位斜坡函數(shù)輸入

當(dāng)參考輸入為單位斜坡函數(shù)時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為

式中,Kv為速度偏差系數(shù),其值為

由此可見,在單位斜坡函數(shù)作用下,0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)為無窮大,Ⅰ型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)為有限值;Ⅱ型以及Ⅱ型以上系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)等于零,故Ⅱ型系統(tǒng)又稱二階無差系統(tǒng)。

3.單位拋物線函數(shù)輸入

當(dāng)參考輸入為單位拋物線函數(shù)時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為

式中,Ka為加速度偏差系數(shù),其值為

由此可見,在單位拋物線函數(shù)輸入條件下,只有Ⅲ型及Ⅲ型以上的系統(tǒng),其穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)才等于零。

綜合以上分析結(jié)果,將計(jì)算公式與系統(tǒng)型別關(guān)系列于表6－2。．

(1)對(duì)于同一系統(tǒng),在不同的參考輸入作用下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)是不同的。

(2)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)與系統(tǒng)的型別有關(guān)。在相同的參考輸入作用下,系統(tǒng)的型別越高,則穩(wěn)態(tài)精度也越高。

(3)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)隨開環(huán)增益的增大而減小。

6.3.3干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

對(duì)于如圖6－5所示的系統(tǒng),在干擾作用下,其偏差可由式(6－27)求得

例6－3如圖6－6所示系統(tǒng)的方框圖,求當(dāng)輸入信號(hào)為X(t)=1(t),干擾信號(hào)N(t)=1(t)時(shí),系統(tǒng)的總的穩(wěn)態(tài)偏差ess和總的穩(wěn)態(tài)誤差εss。圖6－6某系統(tǒng)的方框圖

例6－4某直流他勵(lì)伺服電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的方框圖如圖6－7所示,試求由干擾轉(zhuǎn)矩TN(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差。圖6－7某系統(tǒng)方框圖

解該系統(tǒng)為一恒值調(diào)節(jié)系統(tǒng),Kc是測(cè)速負(fù)反饋系數(shù),因此這是一個(gè)非單位反饋系統(tǒng),先求擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)偏差

eNss,然后再求其穩(wěn)態(tài)誤差εNss。

假設(shè)G1(s)=1,該系統(tǒng)為一階系統(tǒng)。圖中R為電動(dòng)機(jī)電樞電阻,CM為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù),TN(t)是擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩。因此干擾作用為階躍干擾,其穩(wěn)態(tài)偏差為

從物理意義上看,在干擾作用點(diǎn)與偏差信號(hào)之間加上積分環(huán)節(jié),就等于加入了靜態(tài)放大倍數(shù)為∞的環(huán)節(jié),因此其穩(wěn)態(tài)誤差(偏差)等于零。同樣可以證明,若在干擾作用點(diǎn)后面增加積分環(huán)節(jié),則不能使穩(wěn)態(tài)誤差(偏差)等于零。

應(yīng)當(dāng)指出,我們前面討論的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差(偏差)是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進(jìn)行的,對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng),也就不存在穩(wěn)態(tài)誤差(偏差)問題。

6.3.4提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的措施

由上述內(nèi)容可知,提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度,就是要減小控制系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)和干擾信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差(偏差)。人們往往可以通過增大開環(huán)放大倍數(shù)或串入積分環(huán)節(jié)(提高系統(tǒng)的型次)的方式來實(shí)現(xiàn)。但無論是加大系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)還是提高系統(tǒng)的型次,都有可能導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)