數(shù)學(xué)人教A版必修3學(xué)案3-1-3概率的基本性質(zhì)

3．1.3概率的基本性質(zhì)[目標(biāo)]1.了解事件的關(guān)系與運(yùn)算；2.理解互斥事件、對(duì)立事件的概念；3.掌握概率的基本性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)求一些簡(jiǎn)單事件的概率．[重點(diǎn)]事件的關(guān)系、運(yùn)算及概率的基本性質(zhì)．[難點(diǎn)]概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)一事件的關(guān)系與運(yùn)算[填一填][答一答]1．下列說(shuō)法正確嗎？(1)在擲骰子的試驗(yàn)中{出現(xiàn)1點(diǎn)}?{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}；(2)不可能事件記作?，顯然C??(C是任一事件)；(3)事件A也包含于事件A，即A?A.提示：以上說(shuō)法都正確，研究事件的關(guān)系可以類(lèi)比集合間的關(guān)系．2．并事件、交事件和集合的并集、交集意義一樣嗎？提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意義一樣．例如，并事件包含三種情況：事件A發(fā)生，事件B不發(fā)生；事件A不發(fā)生，事件B發(fā)生；事件A，B同時(shí)發(fā)生，即事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生．3．事件A與事件B互斥的含義是什么？提示：事件A與事件B互斥的含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中都不會(huì)同時(shí)發(fā)生．4．互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系是怎樣的？提示：互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．知識(shí)點(diǎn)二概率的幾個(gè)基本性質(zhì)[填一填]1．概率的取值范圍為[0,1]．2．必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0.3．概率加法公式：如果事件A與B為互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特例：若A與B為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)，P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.[答一答]5．若P(A)＋P(B)＝1，事件A與事件B是否一定對(duì)立，試舉例說(shuō)明．提示：事件A與事件B不一定對(duì)立．例如：拋擲一枚均勻的骰子，記事件A為出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)或3點(diǎn)，則P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.當(dāng)出現(xiàn)2點(diǎn)時(shí)，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件B不互斥，顯然也不對(duì)立．6．(1)若A，B為互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，則P(B)＝0.3.(2)甲、乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?.8，兩人下成和棋的概率是0.5，則甲獲勝的概率為0.3.解析：(1)因?yàn)锳，B為互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．所以P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.(2)設(shè)“甲勝”為事件A，“和棋”為事件B，其發(fā)生的概率分別是P(A)，P(B)，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，所以P(A)＝0.8－P(B)＝0.8－0.5＝0.3.故甲獲勝的概率是0.3.類(lèi)型一互斥事件與對(duì)立事件的判斷[例1]一位射擊手進(jìn)行一次射擊．事件A：命中的環(huán)數(shù)大于7環(huán)；事件B：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；事件C：命中的環(huán)數(shù)小于6環(huán)；事件D：命中的環(huán)數(shù)為6,7,8,9,10環(huán)．判斷下列各對(duì)事件是否是互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由．(1)事件A與B.(2)事件A與C.(3)事件C與D.[解](1)不是互斥事件，更不可能是對(duì)立事件．理由：事件A：命中的環(huán)數(shù)大于7環(huán)，包含事件B：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)，二者能夠同時(shí)發(fā)生，即A∩B＝{命中環(huán)數(shù)為10環(huán)}．(2)是互斥事件，但不是對(duì)立事件．理由：事件A：命中的環(huán)數(shù)大于7環(huán)，與事件C：命中的環(huán)數(shù)小于6環(huán)不可能同時(shí)發(fā)生，但A∪C＝{命中環(huán)數(shù)為1,2,3,4,5,8,9,10環(huán)}≠I(mǎi)(I為全集)．(3)是互斥事件，也是對(duì)立事件．理由：事件C：命中的環(huán)數(shù)小于6環(huán)，與事件D：命中的環(huán)數(shù)為6,7,8,9,10環(huán)不可能同時(shí)發(fā)生，且C∪D＝{命中環(huán)數(shù)為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10環(huán)}＝I(I為全集)．互斥事件、對(duì)立事件的判斷方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生；②對(duì)立事件首先是互斥事件，且一次試驗(yàn)中必有一個(gè)要發(fā)生．(2)利用集合觀點(diǎn)設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B.①若事件A與B互斥，則集合A∩B＝?；②若事件A與B對(duì)立，則集合A∩B＝?且A∪B＝Ω.[變式訓(xùn)練1]從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中任意取出3個(gè)球，下列事件：①“取出2個(gè)紅球和1個(gè)白球”與“取出1個(gè)紅球和2個(gè)白球”；②“取出2個(gè)紅球和1個(gè)白球”與“取出3個(gè)紅球”；③“取出3個(gè)紅球”與“取出的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球”；④“取出3個(gè)紅球”與“取出3個(gè)白球”．其中是對(duì)立事件的有(D)A．①④ B．②③C．③④ D．③解析：從袋中任意取出3個(gè)球，可能的情況有：“3個(gè)紅球”“2個(gè)紅球、1個(gè)白球”“1個(gè)紅球、2個(gè)白球”“3個(gè)白球”，由此可知①②④中的兩個(gè)事件都不是對(duì)立事件．對(duì)于③，“取出的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球”包含“2個(gè)紅球、1個(gè)白球”“1個(gè)紅球、2個(gè)白球”“3個(gè)白球”三種情況，故“取出3個(gè)紅球”與“取出的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球”是對(duì)立事件．故選D.類(lèi)型二事件的運(yùn)算[例2]擲一枚骰子，下列事件：A＝{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}，B＝{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}，C＝{點(diǎn)數(shù)小于3}，D＝{點(diǎn)數(shù)大于2}，E＝{點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)記eq\x\to(H)為事件H的對(duì)立事件，求eq\x\to(D)，eq\x\to(A)C，eq\x\to(B)∪C，eq\x\to(D)＋eq\x\to(E).[解](1)A∩B＝?，BC＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}．(2)A∪B＝{出現(xiàn)1,2,3,4,5或6點(diǎn)}，B＋C＝{出現(xiàn)1,2,4或6點(diǎn)}．(3)eq\x\to(D)＝{點(diǎn)數(shù)小于或等于2}＝{出現(xiàn)1或2點(diǎn)}；eq\x\to(A)C＝BC＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}；eq\x\to(B)∪C＝A∪C＝{出現(xiàn)1,2,3或5點(diǎn)}；eq\x\to(D)＋eq\x\to(E)＝{出現(xiàn)1,2,4或5點(diǎn)}．進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義；二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.[變式訓(xùn)練2]一個(gè)口袋中有完全相同的2個(gè)白球，3個(gè)黑球，4個(gè)紅球．記事件A：“取出一個(gè)球是白球”；事件B：“取出一個(gè)球是黑球”；事件C：“取出一個(gè)球是紅球”；事件D：“取出一個(gè)球是白球或黑球或紅球”．說(shuō)出A∪B，A∩B，A∪D，B∩D，C∩D各為什么事件．解：A∪B表示“取出一個(gè)球?yàn)榘浊蚧蚝谇颉保瓵∩B表示“取出一個(gè)球既是白球又是黑球”．A∪D表示“取出一個(gè)球?yàn)榧t球或白球或黑球”．B∩D表示“取出一個(gè)球?yàn)楹谇颉保瓹∩D表示“取出一個(gè)球?yàn)榧t球”．類(lèi)型三互斥事件與對(duì)立事件的概率命題視角1：互斥事件概率加法公式的應(yīng)用[例3]擲一枚均勻的正六面體骰子，設(shè)A表示事件“出現(xiàn)2點(diǎn)”，B表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則P(A∪B)等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D.eq\f(1,3)[解析]∵P(A)＝eq\f(1,6)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，事件A與B互斥，由互斥事件的概率加法公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).[答案]B解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要抓住1一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的不同結(jié)果，由這些結(jié)果分別構(gòu)成不同的事件；2這些事件中的任何兩個(gè)事件都構(gòu)成互斥事件；3互斥事件Am，An構(gòu)成的事件A的概率PA＝PAm＋PAn；4推廣到由兩兩互斥的n個(gè)事件Ai其中i＝1，2，…，n構(gòu)成的事件A，PA＝PA1＋PA2＋PA3＋…＋PAn.[變式訓(xùn)練3]拋擲一骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為“出現(xiàn)1點(diǎn)”，B為“出現(xiàn)2點(diǎn)”，已知P(A)＝P(B)＝eq\f(1,6)，求出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)的概率．解：設(shè)事件C為“出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)”，因?yàn)槭录嗀、B是互斥事件，由C＝A∪B得：P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)，∴出現(xiàn)1點(diǎn)或出現(xiàn)2點(diǎn)的概率是eq\f(1,3).命題視角2：對(duì)立事件概率的應(yīng)用[例4](1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲射擊一次中靶的概率是0.45，那么甲射擊一次不中靶的概率為_(kāi)_______．(2)一名射手在某次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計(jì)算這個(gè)射手在這次射擊中：①射中10環(huán)或7環(huán)的概率；②射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)的概率．[解析](1)P(甲射擊一次不中靶)＝1－P(甲射擊一次中靶)＝1－0.45＝0.55.(2)解：①設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于在這次射擊訓(xùn)練中，事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，故事件A與事件B是互斥事件，“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B.所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.②“射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)”從正面考慮有以下幾種情況：射中6環(huán)，5環(huán)，4環(huán)，3環(huán)，2環(huán)，1環(huán)，0環(huán)．但由于這些概率都未知，故不能直接求解．可考慮從反面入手．“射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)”的反面是“射中的環(huán)數(shù)大于或等于7環(huán)”，即7環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)，由于這兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生，故是對(duì)立事件，故可用對(duì)立事件轉(zhuǎn)化的方法處理．設(shè)“射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)”為事件E，則事件eq\x\to(E)為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”．又“射中7環(huán)”，“射中8環(huán)”，“射中9環(huán)”，“射中10環(huán)”彼此互斥．故P(eq\x\to(E))＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，從而P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－0.97＝0.03.所以射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)的概率為0.03.[答案](1)0.55(2)見(jiàn)解析應(yīng)用對(duì)立事件解題的注意點(diǎn)(1)找準(zhǔn)對(duì)立事件．(2)要有應(yīng)用對(duì)立事件求概率的意識(shí)，當(dāng)事件本身包含的情況較多，而其對(duì)立事件包含的結(jié)果較少時(shí)，就應(yīng)該利用對(duì)立事件間的關(guān)系求解，即“正難則反”思想的應(yīng)用．[變式訓(xùn)練4]學(xué)生的視力下降是十分嚴(yán)峻的問(wèn)題，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查某校1000名在校生，其中有200名學(xué)生裸眼視力在0.6以下，有450名學(xué)生祼眼視力在0.6～1.0，剩下的能達(dá)到1.0及以上，問(wèn)：(1)這個(gè)學(xué)校在校生眼睛需要配鏡或治療(視力不足1.0)的概率為多少？(2)這個(gè)學(xué)校在校生眼睛合格(視力達(dá)到1.0及以上)的概率為多少？解：(1)因?yàn)槭录嗀(視力在0.6以下)與事件B(視力在0.6～1.0)為互斥事件，所以事件C(視力不足1.0)的概率為P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(200,1000)＋eq\f(450,1000)＝0.65.(2)事件D(視力達(dá)到1.0及以上)與事件C為對(duì)立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝0.35.所以該學(xué)校在校生眼睛合格的概率為0.35.1．許洋說(shuō)：“本周我至少做完三套練習(xí)題．”設(shè)許洋所說(shuō)的事件為A，則A的對(duì)立事件為(B)A．至多做完三套練習(xí)題B．至多做完二套練習(xí)題C．至多做完四套練習(xí)題D．至少做完四套練習(xí)題2．高二某班級(jí)中抽出三名學(xué)生，設(shè)事件甲為“三名學(xué)生全不是男生”，事件乙為“三名學(xué)生全是男生”，事件丙為“三名學(xué)生至少有一名是男生”，則(A)A．甲與丙互斥 B．任何兩個(gè)均互斥C．乙與丙互斥 D．任何兩個(gè)均不互斥解析：從高二某班級(jí)中抽出三名學(xué)生，設(shè)事件甲為“三名學(xué)生全不是男生”，事件乙為“三名學(xué)生全是男生”，事件丙為“三名學(xué)生至少有一名是男生”，在A中，事件甲與丙是互斥事件，故A正確；在B中，事件乙和丙有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；在C中，事件乙和丙有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；在D中，事件甲與丙是互斥事件，故D錯(cuò)誤．故選A.3．若事件A，B互斥，P(A)＝3P(B)，P(A＋B)＝0.8，則P(A)＝0.6.解析：∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．又P(A)＝3P(B)，∴P(A＋B)＝3P(B)＋P(B)＝4P(B)＝0.8.∴P(B)＝0.2，P(A)＝0.6.4．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)不大于4的概率為eq\f(2,3).解析：向上的點(diǎn)數(shù)為5或6的概率為eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)，又向上的點(diǎn)數(shù)不大于4的對(duì)立事件為向上的點(diǎn)數(shù)為5或6.所以所求概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5．在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績(jī)?cè)?0分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，計(jì)算：(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績(jī)的概率；(2)小明考試及格的概率．解：分別記小明的成績(jī)“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”為事件B，C，D，E，這四個(gè)事件彼此互斥．(1)小明的成績(jī)?cè)?0分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)方法1：小明考試及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.方法2：小明考試不及格的概率是0.07，所以，小明考試及格的概率是P(考試及格)＝1－0.07＝0.93.——本課須掌握的三大問(wèn)題1．互斥事件和