2021年中考數(shù)學人教版三輪沖刺復習:圓切線與相似(二)_第1頁
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文檔簡介

2021年中考數(shù)學人教版三輪沖刺復習:

圓切線與相似(二)

1.如圖1,已知“8是。。的直徑,是。。的弦,點8是弧8的中點.

(1)求證:ABVCD;

(2)如圖2,點E在弧4?上,連接/£DE,CE,CF與直徑Z8交于點尸,若2FAE

=2AFCD,求證:CF=DE\

(3)如圖3,在(2)問的條件下,連接力C,ORLDE千R、點G在/C上,且/力廠G

2.如圖,已知。。為△S6C的外接圓,8c為。。的直徑,作射線8尸,使得必平分/

CBF,過點Z作4918尸于點。

(1)求證:。工為。。的切線;

(2)若6。=1,tan//!8O=2,求。。的半徑.

3.如圖,為。。的直徑,點C在。。上,點。為線段必的延長線上一點,連接。C,

過點。作OEII/C交。。延長線于點E,交6c于點F,且滿足/B=/.E.

(1)求證:。。是。。的切線;

(2)若48=8,AC=4,求斤的長.

4.如圖,ZC是QO的直徑,點8是。。上一點,且8。=34,過點8作交.DC

的延長線于點E.

(1)求證:8E是。。的切線;

(2)若BE=2CE,當4?=6時,求8。的長.

5.如圖,△/6C中,BC=AC=\Q,以8c為直徑作。。交S8于點。,交ZC于點G;

OEL/C于點尸,交C8的延長線于點工

(1)求證:直線&是OO的切線;

(2)若sinNE=£,求C尸的值?

0

D,

G

6.已知為OO的直徑,。為OO上一動點,連接SC,BC,在m的延長線上取一點

D,連接8,使8=C8

(1)如圖】,^AC=AD,求證:8是。。的切線;

(2)如圖2,延長。C交。。于點£連接力£

/)若。。的直徑為萬,Sin8=嚅,求力。的長;

//)若CD=2CE,求cos8的值.

7.如圖1,48是。。的直徑,點尸在。。上,且入=戶8,點例是。。外一點,與

。。相切于點B,連接OM,過點工作ZC//O例交。。于點C,連接BC交于點

D.

(1)填空:/4C;求證:是。。的切線;

(2)若。。=9,。例=16,連接QC,求sin/SPC的值;

24

(3)如圖2,在(2)的條件下,延長08至M使夕7=今,在。。上找一點Q,使

b

得M升的值最小,請直接寫出其最小值為__________________.

b

p

8.△/WC內接于OO,8ZZL/IC于點。,交。。于點£連接4F,£AEB=2(ABE.

(1)如圖1,求證:/4C=BC-

(2)如圖2,作射線CO,交線段8。于點尸,求證:DE=DF;

(3)如圖3,在(2)的條件下,連接80并延長,交OO于點G,連接4G,交弦BE

于點”連接EG、CH,若EG=DH,53=15,求線段C〃的長.

9.AB,片。為0。的弦,AB^AC.

(1)如圖(1),求證:N員4。=Nd。;

(2)如圖(2),6。為。O的弦,過點。作04的垂線交。。于點£連接CE求證:

BD=CE-

(3)如圖(3),在(2)的條件下,連接8交工6于點F,連接OF,AE,若。尸1

AB,尸。=5,5A^=30,求的長.

DD

10.如圖,已知為。。的直徑,C為。。上一點,8G與。。相切于點8交/C的延

長線于點。(點。在線段6G上),SC=8,tan/8OC=得.

O

(1)求。。的直徑;

(2)當OG="|時,過G作GEIIAD,交員4的延長線于點E,證明GE與OO相切.

11.如圖1,在△/8C中,AB=AC,。。是△/SC的外接圓,過C作CO//Z8,CD交

。。于D,連接力。交8c于點E,延長OC至點F,使CF=AC,連接AF.

(1)求證:4尸是。。的切線;

(2)求證:A伊-BR=BE,EC;

(3)如圖2,若點G是的內心,BOBE=64、求8G的長.

12.如圖所示,已知△S8C是等邊三角形,以為直徑作。O,交8c邊于點。交AB

邊于點£作。ELZ8垂足為點尸.

(1)求證:。尸是O。的切線;

(2)若△48C的邊長為2,求。尸的長度.

13.如圖,在Rta/SC中,/C=90°,/。平分NMC,交S8于點二MADE

的外接圓。。與邊相交于點F,過點尸作力8的垂線交片。于戶,交48于例,交。O

于點G,連接GE.

(1)求證:8c是OO的切線;

(2)若sin/G=&②=16,求O。的直徑.

b

14.如圖,在△/I8C中,AB=AC,以Z8為直徑的。。分別交工C,8c于點。,E,點F

在工。的延長線上,連接6尸,(BAC=2(CBF.

(1)求證:直線8廠是。。的切線;

(2)若04=67=3,求△SC廠的面積.

15.問題:如圖1,。。中,S6是直徑,4C=8C,點。是劣弧8c上任一點(不與點8、

C重合),求證:包鏟為定值.

思路:和差倍半問題,可采用截長補短法,先證明△/C慮△88.按思路完成下列證

明過程.

證明:在片。上截取點£使/E=8。,連接C£

運用:如圖2,在平面直角坐標系中,OO與x軸相切于點片(3,0),與y軸相交于

B、C兩點,且8c=8,連接48、O}B.

(1)。8的長為

(2)如圖3,過/、s兩點作oa與V軸的負半軸交于點例,與。出的延長線交于點

N,連接力用、MN,當。Q的大小變化時,問員W-6N的值是否變化,為什么?如果

不變,請求出8/W-8N的值.

參考答案

1.證明:⑴如圖1,連接OC,OD,

.?.8是弧8的中點,

'1-CD=BE>

,NCOB=ZDOB,

■1,OC=OD,

081CD,

即ABLCD;

解:(2)如圖2連接ZC,㈤,4。,

設/FCD=x,

?:/_FAE=2(FCD、

Z_FAE=2x,

又/_EAD=/_FCD=x、

ZDAB=NFAE—/_EAD=x,

???48是直徑,ACLCD,

??.4?垂直平分8,

FC-FD,ZCAB-ZDAB-x,

/.ZFCD=ZFDC—x,

??.NCAD=ZDFE=2/_FCD=2x,

又(DEF=(CAD=2x,

.?.ZDFE=ZDEF,

:.DF=DE、

?:DF=CF、

.?.CF=DE;

解:⑶如圖3,連接4?交々于。,過尸作/W廠交力。于用,

則/例/7?=90°,

設CG=2a,

垂直平分8,

.t.AC=AD-2ct+5,

/_ADC=/_ACD=9QQ-x,

ZADF=ZADC-ZFDC=90°-2x,

:./_FMD=90°-ZADF=2%,

ZMFA=ZFMD-ZDAB=2x-x=x,

/MFA—/_DAB—xy

:.AM=MF,

AM-MF-m,貝ijZ?/W=2a+5-/7?,

?/ZACF=ZACD-ZFCD=90°-2x,

又//尸G=45°,

/_CGF-/_CAB^-ZAFG=45°+x,

ZCFG=180°-ZCGF-ZACF=45°+x,

/.ZCGF=ZCFG,

CG=CF=2(7,

DF—DE=2a

一:D心D%M戶,

.-.m2+4a2=(2O+5-/77)20,

■:/_AEC=/.ADC-2x,

LAFE=(CFB=90°-lx,

AAFE=AAEC,

:.AF=AE,

..乂在)的中垂線上,

同理,。在寧的中垂線上,

所以是&的中垂線,

:.FQ=EQ=^=2,

???SAMFD4MD,FQ=1HF,DF,

:.2am=3(2牛5-rri)②,

聯(lián)立①②得,

16a2-10(7-75=0,

?5戰(zhàn)15

.?a巧或不

?/a>0,

a=—,m=—,

24

?:ORIDE,

15

OE=qDE=a=萬,

■■DG=7DE2-EG2=V25-9=4,

連接如圖4,

OA=OE,

ZOEA=ZBAE-2x,

?..ZOED=Z/4FO-ZCED-ZOEA=90-x+2x-2x=90°-x,

:./_EOR=90°一(OER=x、

在RtZXOG。中,

DG二4二1

ton/OCT=tanx=CG=3+5'2

又tanZEOR=tanx=器,,

:.OR=2ER=5.

圖4

A

圖3

圖2

圖1

2.(1)證明:連接oa

??.8C為。。的直徑,BA平分2CBF,ADLBF,

,NZ06=/MC=9O°,/_DBA=/_CBA\

-:/_OAC/.OCA,

ZDAO—ZDAB+/_BAO=/_BAO^/_OAC—90°,

.??。/為。。的切線.

(2)解:':BD=],tan//l5£?=2,

:.AD=2,

/45=VAD2+BD2=V22+12=臟'

.*.cosZDBA=^-\

5

???/IS為。。的直徑,

:.^ACB=90°,

.../。力6/8=90°.

?.28=N£

.?./6NC4O=90°,

---OA=OC,

/_CAO^/.ACO,

,/日N48=90°,

OEIIAC,

ZACD=ZE,

AAC!>/.ACO=9GQ,

,/。8=90°,

.1.OCLDE,

是o。的切線;

(2)解:?.Y8為。。的直徑,

.?.N"6=90°,

OEIIAC,

:.£OFB=£ACB=90",

AB—8,AC=4,

?1?BC=VAB2-AC2=V82-42=4V3.

■:ACIIOF,OA=OB,

:.CF=BF=》C=2M,

B=/_E,/_ACB=ZCFE,

:AACBsXCFE、

,ACBC

"CF"EE'

,4_W3

-2?=EF,

:.EF=6.

4.(1)證明:連接OB、OD,如圖1所示:

■:AB=DB,AO=DO,60=8。,

:.^ABO^^DBO(SSS),

;.2ABO=ZDBO,

*.*OA=OB、ZBDC—ZBACy

ZABO-ZBAC=ZBDC,

ZDBO=ZBDC,

,OBIIDE,

':BEVDC,

BE]OB,

??.8萬是。。的切線;

(2)解:延長80交工。于點尸,如圖2所示:

由(1)可知,2ABO=2DBO,

,:AB=BD、

:.BFLAD,AF=DF=^AD=3,

■:ZBAF=ZBCE,LAFB=£E=9b,BE=2CE,

XABFsXCBE,

.BFBEQ

AFCE

BF=2AF=&

在白△/8尸中,由勾股定理得:AB=VAF2+BF2=732+62=3^5,

.e.BD=AB—

5.(1)證明:連接

\'BC=ACi

/ABC=/A,

■:BO=DO,

/_ABC=ABDO,

.1.Z/l=ZBDO,

.'.DOUAC,

又.:EFIAC、

AEDO=AEFC=9GQ,

:.OD]_EF,

是。。半徑,

???)是OO的切線;

(2)解:?.?8C=10,

OD—OC—5

在RtzXQO中,

???sin/E端小

■W0E專

,EC=0E£C差+5岑,

■:ODIIAC,

:.4EDOSXEFC,

,ODOE

"FC"EC'

25

,5~T

"FC-45'

V

:.FC=9.

Z5=ZD,

':AC=AD,

/_D=/.ACD,

AB=/.ACD,

■:OA=OC,

/.BAC=/.OCA,

.?./8為。。的直徑,

:.^ACB=90°,

.-.Z^+Z5/40=90°,

OC4=90°,

08=90°,

0clCD,

??.CO是。。的切線;

解:(2)/)連接OC,

■:^ACB=90°,/45=J10.sin8=^S,

10

在Rt^/ICS中,AC=AB?3\ryB,

?,."c=VI511

22=22=31

在"△"C8中,BC=7AB-AC7(Vio)-i

■1?OB=CO,

NOCB=/_B,

,.28=/。,

ZOCB-ZD,

ZCBO=ZDBC,

:.4COBSXDCB、

,OB_BC

一而而

:.C^=OB?BD,

???/8=萬,

:.OA=08=蟲2

2_

.-.BD=32x-p==^!^-,

V105

:.AD=BD-AB=4^;

5

//)連接co,

■:CD=2CE,

設CE=k,

.CD=BC=2k,

:.DE=3k,

ZE=Z8,ZOCB-N8=N

:ADA—XCOB,

.AD_DE_3k

"OC"BC"2k'

設。。的半徑為乙

:.ADA,

37

.1.BD=A[>AB=尹2r=-^r,

,:XCOBsXDCB,

.OB二BC

"BC"BO"

:.BC^=OB。BD,

(2N)2=rx^r,

BC=2k=迎£

2

V14

???cos5=BC_2r_V14-

AB=2r=4

7.解:(1)-:ACIIOM,

:ABODSXBAC、

,QDQB1

"AC"AB

:.OD=—AC.

2

連接oc

zOAC=/BOM,zACO=NCOM,

■:OA=OC,

/OAC—ZACO,

ZBOM=ZCOM,

在△OCM與△08例中,

'OC=OB

.ZBOM=ZCOM,

OM=OM

△OCM^£\OBM(5AS);

又?.■例8是。。的切線,

:.AOCM=AOBM=90°,

,用C是。。的切線;

(2)-:MB,〃C是。。的切線,

:.OM1BC,

:.^ODB=^ODC=90°,

■:OCLMC,

.,./。。例=90°,

.1.ZCOM=Z.DCM,

:.XMCD^XCOD、

,ODCD9CD

----=----,即Bn----=----

CDMDCD16

CD=BD=12,

在中,。8=心口2+0口2={122+92=15,

.?.sin//紇=毀旦

OB5

3

:.3\V\Z_APC=sin/48C=y;

(3)如圖2,

由(2)知/8=30,OM=25,8例=20,00=08=15,

..QQ.153

,而WT

??.o例上取點。,使廖皓

(JUb

-.OD=9,。為定點,

?.?空鏢《,且/OOQ=NQO用,

OQ0M5

△ODQsXOQW恒成立,

2

.?.求必升抵欣?的值最小,相當于求O6QN最小,

5

當。、Q、M共線時,OQ+QN最小,

:.NG^—MQ=DN,作DH'ON于息H,可得。A=9x2=2,Z?//=9x—=—,

55555

.zu1二272472

555

???DN=VNH2+DH2=

即■的最小值為寫

b5

8.解:(1)證明:該上ABE=m,

/_AEB=2乙ABE,

.?./_AEB=2m,

ZACB=ZAEB=2/77,

?:BD1AD,

:./_BDA=/_BDC=9h,

:〃BAD=9U°-m,/.CBD=90°-2/77,

??.N/8C=90°-m,

:.乙BAD=(ABC、

=CB\

(2)連接CEOB,如圖:

設£OCB=n,

?:OB=OC,

.0.ZOBC-ZOCB—/?,

80c=180。-2n,

:.^BAC=90°-n,

ZABE=n,

ZACE-NABE-n=/_OCB,

而N的二NC4gAC=BC,

:./\FBC^!\EAC{AAS),

/.CF=CE,

???CDIEF、

??.DF=DE\

(3)連接/月CG,延長C尸交48于/,過C作CM18G于",過〃作“K1CG

于珞如圖:

??.8G為直徑,

:./_BAH=90°,

:./_EHG=(AHB=/_BAC、

??.四邊形/8CG內接于OO,

:.Z_KGH=/_ABC,

ZEHG=ZKGH,

?:/_HEG=Z.HKG=9b°,HG=GH,

?,AEHSXKGH<AAS),

/.EG=HK,

?「EG=HD,

HK=HD,

??,CH平分(DCG,

-CLLAB,

:"ACL=2BCL,

:./_FCH=A5°,

由(2)可知,Z^C=90°-2/7,£HCB=450+n,

BH=紇,

:.^BAH^/\CBM{AAS),

CM=AH-BL=AL,

.,.tanZ/5£?=-^-,

設。W=4a,貝iJ8/U=8a

設貝ijOC=。8=8。-/?,

中,cW+oi/uOC2可得z9=3a

4.

.e.tanZ/WOC=tanZBCD--,

3

設8=6力貝ij。尸=34BF=5t,

S&BCF=]5,

:.—?BF?CD=15

2

t—1,

:,AD=4,DH=2,

■-CH=VCD2+DH2=2Vw-

9.解:(1)連接O8、oc,

圖1

???BO=CO,AO=AOyAB=AC,

:./\ABO^!\ACO(SSS),

r.N8/40=/C4O;

(2)點。是圓心,

?1-AD=AE>

■:AB=AC,

?■?BA=CA.

■1-BD=CE>

BD=CE\

(3)連接AD,過點。作。用1/IC于點M,

圖2

在△樂?尸和△,!尸中,

?1,ZBFD=ZCAF,ZBDC=ZCAB,

;.4BDM4CAF,

,DFBD

"AF'AC"

由(1)知:/_BAO=/_CAO,AO=AO,AOFA=AOMA=90°,

:.^AOF^/\AOM{ASA),

AF=AMy

-:AB=AC1BD=CE、

由(2)知,XADB9XAEC(SSS),

…$4AEC=S&ADB=30,

,.巫山,AC=AB,

AFAC

,DFDB

"AF"AB'

在和△/比?中,/_OFA=ZOMA,

貝ijBD=DE,

,DFDE

"AF"AB'

':AF-AM,

,DFJE

?項話,

:.DE=6.

10.解:(1),??/8為。。的直徑,C為。。上一點,

:.^ACB=90°,

???8G與。。相切于點8,

:.^ABD=90°,

ABDC+ABAC,N/8C+/&4c=90°,

ZBDC=ZABC,

4

;tan/8DC=±,

3

4

/.tanZ/45C=—.

3

AC=8,

.AC_A

"BC-1'

"BC"I'

BC—6,

???由勾股定理得:48=。

???。。的直徑為10;

(2)過點。作DF1GE于F,過點。作OHLGE于H交工。于M,

GEWAD,

ZG=NBDC、

4.

.'.tanZG=tanZ5DC=—,

3

?,.設DF—4x,FG=3x,

?.3.

,由勾股定理得:(4x)2+(3x)2=尊,

4

解得:x=~2^

DF=4x=2,

GEIIAD,DF1GE,OH1GE,

:.DF=MH=2、OMIAM,

又二。為中點,

OM=—BC=3,

2

.1.OH=5,

又,:。。的直徑為10,從而半徑r=5,

OH=r,

.?.FG與。。相切.

11.解:(1)如圖1,連接04,

圖1

■:AB=AC,

?"AB~AC'Z.ACB=Z.B,

:.OALBC,

■:CA=CF,

ZCAF=ZCFA,

■:CDIIAB,

ZBCD=ZB,

AACB=/.BCD,

:.^ACD=ZC//H-Z64=2/CAF,

■:/_ACB=/.BCD,

:.(ACD=2(ACB,

ZCAF=ZACB,

:.AFHBC,

:.OA]_AF,

???工廠為。。的切線;

(2)-:/_BAD=ABCD=/_ACB,

i\AB?ACBA,

,AB_BE

'BC'AB'

,.A序=BC?BE=BE[BB-CE)=B^+BE?CE,

:.A"BR=BE?EC;

(3)由(2)知:AB^=BC*BE,

.:B6BE=64,

AB—8,

如圖2,連接2G

圖2

:BAG=BAD^/_DAG、/_BGA=/_GAC^Z,ACBy

.「點G為內心,

.0./_DAG—/_GAC,

又0/4G=NG4G//C8,/_BAD=/_ACB、

NBAG—/_BGAy

BG-AB=8.

12.(1)證明:如圖,連接。。

?1-OD=OC,

ZC=zODC,

?.?△/SC是等邊三角形.

B—/_C—60°,

/_ODC,

:.ABHOD,

r.//孫NO。尸=180°,

■:DFLAB,

/_AFD=/_ODF=90。,

FD]OD,

一.?點。在OO上.

??.OF是。。的切線;

(2)解:???△Z8C的邊長為2,

OC=1,

在△O0C中,OD=OC,zC=60°

.?.△O0C是等邊三角形.

OD—DC—1,

/.BD=BC-DC=1,

DFIAB、

:"DFB=90°,

:./_BDF=30°,

???BF-|BD-1,

在中,DF2=BD2-BF2=1AM,

44

DF平.

13.解:(1)連接O。,

?:ADLDE,

??/三是。。的直徑,即點。在片三上,

又?.?工。是NMC的平分線,

/_CAD—/_BAD,

?:OA=OD,

Z_BAD—/_ADO,

:.CAD=Z.ADO,

:.OD\\AC,

??.NO08=NC=9O°,

;,OD_LBC,

.?.8。是。。的切線;

(2)\'ODWAC.

NDOB—/EAF,

?/ZG=ZEAF,

/_DOB=ZG,

4

二.sin/008=sin/G=—,

5

4

/.tanZ。。6=ton/G=—,

3

沒OD=3k,貝iJ8O=4Zr,OB=

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