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文檔簡介
2021年中考數(shù)學人教版三輪沖刺復習:
圓切線與相似(二)
1.如圖1,已知“8是。。的直徑,是。。的弦,點8是弧8的中點.
(1)求證:ABVCD;
(2)如圖2,點E在弧4?上,連接/£DE,CE,CF與直徑Z8交于點尸,若2FAE
=2AFCD,求證:CF=DE\
(3)如圖3,在(2)問的條件下,連接力C,ORLDE千R、點G在/C上,且/力廠G
2.如圖,已知。。為△S6C的外接圓,8c為。。的直徑,作射線8尸,使得必平分/
CBF,過點Z作4918尸于點。
(1)求證:。工為。。的切線;
(2)若6。=1,tan//!8O=2,求。。的半徑.
3.如圖,為。。的直徑,點C在。。上,點。為線段必的延長線上一點,連接。C,
過點。作OEII/C交。。延長線于點E,交6c于點F,且滿足/B=/.E.
(1)求證:。。是。。的切線;
(2)若48=8,AC=4,求斤的長.
4.如圖,ZC是QO的直徑,點8是。。上一點,且8。=34,過點8作交.DC
的延長線于點E.
(1)求證:8E是。。的切線;
(2)若BE=2CE,當4?=6時,求8。的長.
5.如圖,△/6C中,BC=AC=\Q,以8c為直徑作。。交S8于點。,交ZC于點G;
OEL/C于點尸,交C8的延長線于點工
(1)求證:直線&是OO的切線;
(2)若sinNE=£,求C尸的值?
0
D,
G
6.已知為OO的直徑,。為OO上一動點,連接SC,BC,在m的延長線上取一點
D,連接8,使8=C8
(1)如圖】,^AC=AD,求證:8是。。的切線;
(2)如圖2,延長。C交。。于點£連接力£
/)若。。的直徑為萬,Sin8=嚅,求力。的長;
//)若CD=2CE,求cos8的值.
7.如圖1,48是。。的直徑,點尸在。。上,且入=戶8,點例是。。外一點,與
。。相切于點B,連接OM,過點工作ZC//O例交。。于點C,連接BC交于點
D.
(1)填空:/4C;求證:是。。的切線;
(2)若。。=9,。例=16,連接QC,求sin/SPC的值;
24
(3)如圖2,在(2)的條件下,延長08至M使夕7=今,在。。上找一點Q,使
b
得M升的值最小,請直接寫出其最小值為__________________.
b
p
8.△/WC內接于OO,8ZZL/IC于點。,交。。于點£連接4F,£AEB=2(ABE.
(1)如圖1,求證:/4C=BC-
(2)如圖2,作射線CO,交線段8。于點尸,求證:DE=DF;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接80并延長,交OO于點G,連接4G,交弦BE
于點”連接EG、CH,若EG=DH,53=15,求線段C〃的長.
9.AB,片。為0。的弦,AB^AC.
(1)如圖(1),求證:N員4。=Nd。;
(2)如圖(2),6。為。O的弦,過點。作04的垂線交。。于點£連接CE求證:
BD=CE-
(3)如圖(3),在(2)的條件下,連接8交工6于點F,連接OF,AE,若。尸1
AB,尸。=5,5A^=30,求的長.
DD
10.如圖,已知為。。的直徑,C為。。上一點,8G與。。相切于點8交/C的延
長線于點。(點。在線段6G上),SC=8,tan/8OC=得.
O
(1)求。。的直徑;
(2)當OG="|時,過G作GEIIAD,交員4的延長線于點E,證明GE與OO相切.
11.如圖1,在△/8C中,AB=AC,。。是△/SC的外接圓,過C作CO//Z8,CD交
。。于D,連接力。交8c于點E,延長OC至點F,使CF=AC,連接AF.
(1)求證:4尸是。。的切線;
(2)求證:A伊-BR=BE,EC;
(3)如圖2,若點G是的內心,BOBE=64、求8G的長.
12.如圖所示,已知△S8C是等邊三角形,以為直徑作。O,交8c邊于點。交AB
邊于點£作。ELZ8垂足為點尸.
(1)求證:。尸是O。的切線;
(2)若△48C的邊長為2,求。尸的長度.
13.如圖,在Rta/SC中,/C=90°,/。平分NMC,交S8于點二MADE
的外接圓。。與邊相交于點F,過點尸作力8的垂線交片。于戶,交48于例,交。O
于點G,連接GE.
(1)求證:8c是OO的切線;
(2)若sin/G=&②=16,求O。的直徑.
b
14.如圖,在△/I8C中,AB=AC,以Z8為直徑的。。分別交工C,8c于點。,E,點F
在工。的延長線上,連接6尸,(BAC=2(CBF.
(1)求證:直線8廠是。。的切線;
(2)若04=67=3,求△SC廠的面積.
15.問題:如圖1,。。中,S6是直徑,4C=8C,點。是劣弧8c上任一點(不與點8、
C重合),求證:包鏟為定值.
思路:和差倍半問題,可采用截長補短法,先證明△/C慮△88.按思路完成下列證
明過程.
證明:在片。上截取點£使/E=8。,連接C£
運用:如圖2,在平面直角坐標系中,OO與x軸相切于點片(3,0),與y軸相交于
B、C兩點,且8c=8,連接48、O}B.
(1)。8的長為
(2)如圖3,過/、s兩點作oa與V軸的負半軸交于點例,與。出的延長線交于點
N,連接力用、MN,當。Q的大小變化時,問員W-6N的值是否變化,為什么?如果
不變,請求出8/W-8N的值.
參考答案
1.證明:⑴如圖1,連接OC,OD,
.?.8是弧8的中點,
'1-CD=BE>
,NCOB=ZDOB,
■1,OC=OD,
081CD,
即ABLCD;
解:(2)如圖2連接ZC,㈤,4。,
設/FCD=x,
?:/_FAE=2(FCD、
Z_FAE=2x,
又/_EAD=/_FCD=x、
ZDAB=NFAE—/_EAD=x,
???48是直徑,ACLCD,
??.4?垂直平分8,
FC-FD,ZCAB-ZDAB-x,
/.ZFCD=ZFDC—x,
??.NCAD=ZDFE=2/_FCD=2x,
又(DEF=(CAD=2x,
.?.ZDFE=ZDEF,
:.DF=DE、
?:DF=CF、
.?.CF=DE;
解:⑶如圖3,連接4?交々于。,過尸作/W廠交力。于用,
則/例/7?=90°,
設CG=2a,
垂直平分8,
.t.AC=AD-2ct+5,
/_ADC=/_ACD=9QQ-x,
ZADF=ZADC-ZFDC=90°-2x,
:./_FMD=90°-ZADF=2%,
ZMFA=ZFMD-ZDAB=2x-x=x,
/MFA—/_DAB—xy
:.AM=MF,
AM-MF-m,貝ijZ?/W=2a+5-/7?,
?/ZACF=ZACD-ZFCD=90°-2x,
又//尸G=45°,
/_CGF-/_CAB^-ZAFG=45°+x,
ZCFG=180°-ZCGF-ZACF=45°+x,
/.ZCGF=ZCFG,
CG=CF=2(7,
DF—DE=2a
一:D心D%M戶,
.-.m2+4a2=(2O+5-/77)20,
■:/_AEC=/.ADC-2x,
LAFE=(CFB=90°-lx,
AAFE=AAEC,
:.AF=AE,
..乂在)的中垂線上,
同理,。在寧的中垂線上,
所以是&的中垂線,
:.FQ=EQ=^=2,
???SAMFD4MD,FQ=1HF,DF,
:.2am=3(2牛5-rri)②,
聯(lián)立①②得,
16a2-10(7-75=0,
?5戰(zhàn)15
.?a巧或不
?/a>0,
a=—,m=—,
24
?:ORIDE,
15
OE=qDE=a=萬,
■■DG=7DE2-EG2=V25-9=4,
連接如圖4,
OA=OE,
ZOEA=ZBAE-2x,
?..ZOED=Z/4FO-ZCED-ZOEA=90-x+2x-2x=90°-x,
:./_EOR=90°一(OER=x、
在RtZXOG。中,
DG二4二1
ton/OCT=tanx=CG=3+5'2
又tanZEOR=tanx=器,,
:.OR=2ER=5.
圖4
A
圖3
圖2
圖1
2.(1)證明:連接oa
??.8C為。。的直徑,BA平分2CBF,ADLBF,
,NZ06=/MC=9O°,/_DBA=/_CBA\
-:/_OAC/.OCA,
ZDAO—ZDAB+/_BAO=/_BAO^/_OAC—90°,
.??。/為。。的切線.
(2)解:':BD=],tan//l5£?=2,
:.AD=2,
/45=VAD2+BD2=V22+12=臟'
.*.cosZDBA=^-\
5
???/IS為。。的直徑,
:.^ACB=90°,
.../。力6/8=90°.
?.28=N£
.?./6NC4O=90°,
---OA=OC,
/_CAO^/.ACO,
,/日N48=90°,
OEIIAC,
ZACD=ZE,
AAC!>/.ACO=9GQ,
,/。8=90°,
.1.OCLDE,
是o。的切線;
(2)解:?.Y8為。。的直徑,
.?.N"6=90°,
OEIIAC,
:.£OFB=£ACB=90",
AB—8,AC=4,
?1?BC=VAB2-AC2=V82-42=4V3.
■:ACIIOF,OA=OB,
:.CF=BF=》C=2M,
B=/_E,/_ACB=ZCFE,
:AACBsXCFE、
,ACBC
"CF"EE'
,4_W3
-2?=EF,
:.EF=6.
4.(1)證明:連接OB、OD,如圖1所示:
■:AB=DB,AO=DO,60=8。,
:.^ABO^^DBO(SSS),
;.2ABO=ZDBO,
*.*OA=OB、ZBDC—ZBACy
ZABO-ZBAC=ZBDC,
ZDBO=ZBDC,
,OBIIDE,
':BEVDC,
BE]OB,
??.8萬是。。的切線;
(2)解:延長80交工。于點尸,如圖2所示:
由(1)可知,2ABO=2DBO,
,:AB=BD、
:.BFLAD,AF=DF=^AD=3,
■:ZBAF=ZBCE,LAFB=£E=9b,BE=2CE,
XABFsXCBE,
.BFBEQ
AFCE
BF=2AF=&
在白△/8尸中,由勾股定理得:AB=VAF2+BF2=732+62=3^5,
.e.BD=AB—
5.(1)證明:連接
\'BC=ACi
/ABC=/A,
■:BO=DO,
/_ABC=ABDO,
.1.Z/l=ZBDO,
.'.DOUAC,
又.:EFIAC、
AEDO=AEFC=9GQ,
:.OD]_EF,
是。。半徑,
???)是OO的切線;
(2)解:?.?8C=10,
OD—OC—5
在RtzXQO中,
???sin/E端小
■W0E專
,EC=0E£C差+5岑,
■:ODIIAC,
:.4EDOSXEFC,
,ODOE
"FC"EC'
25
,5~T
"FC-45'
V
:.FC=9.
Z5=ZD,
':AC=AD,
/_D=/.ACD,
AB=/.ACD,
■:OA=OC,
/.BAC=/.OCA,
.?./8為。。的直徑,
:.^ACB=90°,
.-.Z^+Z5/40=90°,
OC4=90°,
08=90°,
0clCD,
??.CO是。。的切線;
解:(2)/)連接OC,
■:^ACB=90°,/45=J10.sin8=^S,
10
在Rt^/ICS中,AC=AB?3\ryB,
?,."c=VI511
22=22=31
在"△"C8中,BC=7AB-AC7(Vio)-i
■1?OB=CO,
NOCB=/_B,
,.28=/。,
ZOCB-ZD,
ZCBO=ZDBC,
:.4COBSXDCB、
,OB_BC
一而而
:.C^=OB?BD,
???/8=萬,
:.OA=08=蟲2
2_
.-.BD=32x-p==^!^-,
V105
:.AD=BD-AB=4^;
5
//)連接co,
■:CD=2CE,
設CE=k,
.CD=BC=2k,
:.DE=3k,
ZE=Z8,ZOCB-N8=N
:ADA—XCOB,
.AD_DE_3k
"OC"BC"2k'
設。。的半徑為乙
:.ADA,
37
.1.BD=A[>AB=尹2r=-^r,
,:XCOBsXDCB,
.OB二BC
"BC"BO"
:.BC^=OB。BD,
(2N)2=rx^r,
BC=2k=迎£
2
V14
???cos5=BC_2r_V14-
AB=2r=4
7.解:(1)-:ACIIOM,
:ABODSXBAC、
,QDQB1
"AC"AB
:.OD=—AC.
2
連接oc
zOAC=/BOM,zACO=NCOM,
■:OA=OC,
/OAC—ZACO,
ZBOM=ZCOM,
在△OCM與△08例中,
'OC=OB
.ZBOM=ZCOM,
OM=OM
△OCM^£\OBM(5AS);
又?.■例8是。。的切線,
:.AOCM=AOBM=90°,
,用C是。。的切線;
(2)-:MB,〃C是。。的切線,
:.OM1BC,
:.^ODB=^ODC=90°,
■:OCLMC,
.,./。。例=90°,
.1.ZCOM=Z.DCM,
:.XMCD^XCOD、
,ODCD9CD
----=----,即Bn----=----
CDMDCD16
CD=BD=12,
在中,。8=心口2+0口2={122+92=15,
.?.sin//紇=毀旦
OB5
3
:.3\V\Z_APC=sin/48C=y;
(3)如圖2,
由(2)知/8=30,OM=25,8例=20,00=08=15,
..QQ.153
,而WT
??.o例上取點。,使廖皓
(JUb
-.OD=9,。為定點,
?.?空鏢《,且/OOQ=NQO用,
OQ0M5
△ODQsXOQW恒成立,
2
.?.求必升抵欣?的值最小,相當于求O6QN最小,
5
當。、Q、M共線時,OQ+QN最小,
:.NG^—MQ=DN,作DH'ON于息H,可得。A=9x2=2,Z?//=9x—=—,
55555
.zu1二272472
555
???DN=VNH2+DH2=
即■的最小值為寫
b5
8.解:(1)證明:該上ABE=m,
/_AEB=2乙ABE,
.?./_AEB=2m,
ZACB=ZAEB=2/77,
?:BD1AD,
:./_BDA=/_BDC=9h,
:〃BAD=9U°-m,/.CBD=90°-2/77,
??.N/8C=90°-m,
:.乙BAD=(ABC、
=CB\
(2)連接CEOB,如圖:
設£OCB=n,
?:OB=OC,
.0.ZOBC-ZOCB—/?,
80c=180。-2n,
:.^BAC=90°-n,
ZABE=n,
ZACE-NABE-n=/_OCB,
而N的二NC4gAC=BC,
:./\FBC^!\EAC{AAS),
/.CF=CE,
???CDIEF、
??.DF=DE\
(3)連接/月CG,延長C尸交48于/,過C作CM18G于",過〃作“K1CG
于珞如圖:
??.8G為直徑,
:./_BAH=90°,
:./_EHG=(AHB=/_BAC、
??.四邊形/8CG內接于OO,
:.Z_KGH=/_ABC,
ZEHG=ZKGH,
?:/_HEG=Z.HKG=9b°,HG=GH,
?,AEHSXKGH<AAS),
/.EG=HK,
?「EG=HD,
HK=HD,
??,CH平分(DCG,
-CLLAB,
:"ACL=2BCL,
:./_FCH=A5°,
由(2)可知,Z^C=90°-2/7,£HCB=450+n,
BH=紇,
:.^BAH^/\CBM{AAS),
CM=AH-BL=AL,
.,.tanZ/5£?=-^-,
設。W=4a,貝iJ8/U=8a
設貝ijOC=。8=8。-/?,
中,cW+oi/uOC2可得z9=3a
4.
.e.tanZ/WOC=tanZBCD--,
3
設8=6力貝ij。尸=34BF=5t,
S&BCF=]5,
:.—?BF?CD=15
2
t—1,
:,AD=4,DH=2,
■-CH=VCD2+DH2=2Vw-
9.解:(1)連接O8、oc,
圖1
???BO=CO,AO=AOyAB=AC,
:./\ABO^!\ACO(SSS),
r.N8/40=/C4O;
(2)點。是圓心,
?1-AD=AE>
■:AB=AC,
?■?BA=CA.
■1-BD=CE>
BD=CE\
(3)連接AD,過點。作。用1/IC于點M,
圖2
在△樂?尸和△,!尸中,
?1,ZBFD=ZCAF,ZBDC=ZCAB,
;.4BDM4CAF,
,DFBD
"AF'AC"
由(1)知:/_BAO=/_CAO,AO=AO,AOFA=AOMA=90°,
:.^AOF^/\AOM{ASA),
AF=AMy
-:AB=AC1BD=CE、
由(2)知,XADB9XAEC(SSS),
…$4AEC=S&ADB=30,
,.巫山,AC=AB,
AFAC
,DFDB
"AF"AB'
在和△/比?中,/_OFA=ZOMA,
貝ijBD=DE,
,DFDE
"AF"AB'
':AF-AM,
,DFJE
?項話,
:.DE=6.
10.解:(1),??/8為。。的直徑,C為。。上一點,
:.^ACB=90°,
???8G與。。相切于點8,
:.^ABD=90°,
ABDC+ABAC,N/8C+/&4c=90°,
ZBDC=ZABC,
4
;tan/8DC=±,
3
4
/.tanZ/45C=—.
3
AC=8,
.AC_A
"BC-1'
"BC"I'
BC—6,
???由勾股定理得:48=。
???。。的直徑為10;
(2)過點。作DF1GE于F,過點。作OHLGE于H交工。于M,
GEWAD,
ZG=NBDC、
4.
.'.tanZG=tanZ5DC=—,
3
?,.設DF—4x,FG=3x,
?.3.
,由勾股定理得:(4x)2+(3x)2=尊,
4
解得:x=~2^
DF=4x=2,
GEIIAD,DF1GE,OH1GE,
:.DF=MH=2、OMIAM,
又二。為中點,
OM=—BC=3,
2
.1.OH=5,
又,:。。的直徑為10,從而半徑r=5,
OH=r,
.?.FG與。。相切.
11.解:(1)如圖1,連接04,
圖1
■:AB=AC,
?"AB~AC'Z.ACB=Z.B,
:.OALBC,
■:CA=CF,
ZCAF=ZCFA,
■:CDIIAB,
ZBCD=ZB,
AACB=/.BCD,
:.^ACD=ZC//H-Z64=2/CAF,
■:/_ACB=/.BCD,
:.(ACD=2(ACB,
ZCAF=ZACB,
:.AFHBC,
:.OA]_AF,
???工廠為。。的切線;
(2)-:/_BAD=ABCD=/_ACB,
i\AB?ACBA,
,AB_BE
'BC'AB'
,.A序=BC?BE=BE[BB-CE)=B^+BE?CE,
:.A"BR=BE?EC;
(3)由(2)知:AB^=BC*BE,
.:B6BE=64,
AB—8,
如圖2,連接2G
圖2
:BAG=BAD^/_DAG、/_BGA=/_GAC^Z,ACBy
.「點G為內心,
.0./_DAG—/_GAC,
又0/4G=NG4G//C8,/_BAD=/_ACB、
NBAG—/_BGAy
BG-AB=8.
12.(1)證明:如圖,連接。。
?1-OD=OC,
ZC=zODC,
?.?△/SC是等邊三角形.
B—/_C—60°,
/_ODC,
:.ABHOD,
r.//孫NO。尸=180°,
■:DFLAB,
/_AFD=/_ODF=90。,
FD]OD,
一.?點。在OO上.
??.OF是。。的切線;
(2)解:???△Z8C的邊長為2,
OC=1,
在△O0C中,OD=OC,zC=60°
.?.△O0C是等邊三角形.
OD—DC—1,
/.BD=BC-DC=1,
DFIAB、
:"DFB=90°,
:./_BDF=30°,
???BF-|BD-1,
在中,DF2=BD2-BF2=1AM,
44
DF平.
13.解:(1)連接O。,
?:ADLDE,
??/三是。。的直徑,即點。在片三上,
又?.?工。是NMC的平分線,
/_CAD—/_BAD,
?:OA=OD,
Z_BAD—/_ADO,
:.CAD=Z.ADO,
:.OD\\AC,
??.NO08=NC=9O°,
;,OD_LBC,
.?.8。是。。的切線;
(2)\'ODWAC.
NDOB—/EAF,
?/ZG=ZEAF,
/_DOB=ZG,
4
二.sin/008=sin/G=—,
5
4
/.tanZ。。6=ton/G=—,
3
沒OD=3k,貝iJ8O=4Zr,OB=
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