考向一三角恒等變形-牡丹江一中

2017屆高三理科數(shù)學(xué)二輪學(xué)案（教師版）數(shù)列PAGEPAGE10考向二數(shù)列的應(yīng)用講高考【考綱要求】熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式；掌握非等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和的常用方法；數(shù)列的綜合應(yīng)用?！久}規(guī)律】高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查仍將以常用方法求和為主，尤其是錯(cuò)位相減法及裂項(xiàng)求和，題型延續(xù)解答題的形式．預(yù)測(cè)2017高考對(duì)數(shù)列求和仍是考查的重點(diǎn)．?dāng)?shù)列的應(yīng)用以及數(shù)列與函數(shù)等的綜合的命題趨勢(shì)較強(qiáng)，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注．例1：(2012年湖北18題)已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為.（Ⅰ）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，或.故，或.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，分別為，，，不成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，，分別為，，，成等比數(shù)列，滿足條件.故記數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，滿足此式.綜上，例2:已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和例3：【2015江蘇高考，11】數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和為【答案】回顧1：已知數(shù)列滿足：，數(shù)列滿足.（Ⅰ）證明數(shù)列是等差數(shù)列并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.回顧2：已知數(shù)列前n項(xiàng)和為成等差數(shù)列.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）數(shù)列滿足，求證：.2、講基礎(chǔ)1．?dāng)?shù)列求和的方法技巧(1)公式法：直接應(yīng)用等差、等比數(shù)列的求和公式求和．(2)錯(cuò)位相減法這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．(3)倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和．(4)裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和．(5)分組轉(zhuǎn)化求和法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，可先分別求和，然后再合并．2．?dāng)?shù)列的綜合問題(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．(2)數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、解析幾何等知識(shí)的綜合．(3)增長(zhǎng)率、分期付款、利潤(rùn)成本效益的增減等實(shí)際應(yīng)用問題．?dāng)?shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，反映的事物背景陌生，知識(shí)涉及面廣，因此要解好應(yīng)用題，首先應(yīng)當(dāng)提高閱讀理解能力，將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言或數(shù)學(xué)符號(hào)，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后再用數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)推理予以解決.【誤區(qū)警示】1．應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，注意項(xiàng)的對(duì)應(yīng)．2．正確區(qū)分等差與等比數(shù)列模型，正確區(qū)分實(shí)際問題中的量是通項(xiàng)還是前n項(xiàng)和．例1、(2016·山東卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)令cn＝eq\f(（an＋1）n＋1,（bn＋2）n)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】：(1)由題意知當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝11，符合上式．∴an＝6n＋5.設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝b1＋b2，,a2＝b2＋b3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(11＝2b1＋d，,17＝2b1＋3d，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝4，,d＝3.))∴bn＝3n＋1.(2)由(1)知cn＝eq\f(（6n＋6）n＋1,（3n＋3）n)＝3(n＋1)·2n＋1.又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，兩式作差，得－Tn＝3×2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋\f(4（1－2n）,1－2)－（n＋1）×2n＋2))＝－3n·2n＋2，∴Tn＝3n·2n＋2.3.講典例例1：(2016·四川卷)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}(2)設(shè)雙曲線x2－eq\f(y2,aeq\o\al(2,n))＝1的離心率為en，且e2＝eq\f(5,3)，證明：e1＋e2＋…＋en>eq\f(4n－3n,3n－1).(2)證明：由(1)可知，an＝qn－1，∴雙曲線x2－eq\f(y2,aeq\o\al(2,n))＝1的離心率en＝eq\r(1＋aeq\o\al(2,n))＝eq\r(1＋q2（n－1）).由e2＝eq\r(1＋q2)＝eq\f(5,3)解得q＝eq\f(4,3).∵1＋q2(k－1)>q2(k－1)，∴eq\r(1＋q2（k－1）)>qk－1(k∈N*)．于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝eq\f(qn－1,q－1)，故e1＋e2＋…＋en>eq\f(4n－3n,3n－1).例2、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則的最小值為______.例3：數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則．例4、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)(an＋1，Sn)在直線3x＋2y－3＝0上．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．【趁熱打鐵1】.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n2＋2n.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若點(diǎn)(bn，an)在函數(shù)y＝log2x的圖象上，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【趁熱打鐵2】.數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（Ⅰ）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.（Ⅲ）若，，求不超過的最大的整數(shù)值．【趁熱打鐵3】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于n＝1，2，3，…，有an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3an＋5，an為奇數(shù)，,eq\f(an,2k)，其中k是使an＋1為奇數(shù)的正整數(shù)，an為偶數(shù)．))（Ⅰ）當(dāng)a3＝5時(shí)，a1的最小值為；（Ⅱ）當(dāng)a1＝1時(shí)，S1＋S2＋…＋S10＝．【趁熱打鐵4】中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了()A．192里B．96里C．48里D．24里【答案】：B【解析】：【趁熱打鐵5】已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且滿足f(x)＝f(x＋3)，f(－2)＝－3.若數(shù)列{an}中，a1＝－1，且前n項(xiàng)和Sn滿足eq\f(Sn,n)＝2×eq\f(an,n)＋1，則f(a5)＋f(a6)＝________．【答案】：3【解析】：∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.∵f(x)＝f(x＋3)，∴f(x)是以3為周期的周期函數(shù)．∵Sn＝2an＋n，∴Sn－1＝2an－1＋(n－1