中考數(shù)學一輪復習考點題型歸納與分層訓練專題13 二次函數(shù)(原卷版)

專題13二次函數(shù)【專題目錄】技巧1：二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的六種關(guān)系技巧2：二次函數(shù)圖像信息題的四種常見類型技巧3：求二次函數(shù)表達式的常見類型【題型】一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【題型】二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系【題型】三、二次函數(shù)的對稱性【題型】四、二次函數(shù)的最值【題型】五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【題型】六、二次函數(shù)平移問題【題型】七、二次函數(shù)解決實際問題【考綱要求】1、理解二次函數(shù)的有關(guān)概念，會用描點法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認識二次函數(shù)的性質(zhì)．2、會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸，并能掌握二次函數(shù)圖象的平移．3、熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，并能用它解決有關(guān)的實際問題．【考點總結(jié)】一、二次函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù)的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．注意：(1)二次項系數(shù)a≠0；(2)ax2＋bx＋c必須是整式；(3)一次項可以為零，常數(shù)項也可以為零，一次項和常數(shù)項可以同時為零；(4)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)．二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)圖象(a＞0)(a＜0)開口方向開口向上開口向下對稱軸直線x＝－eq\f(b,2a)直線x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))增減性當x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減小；當x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大當x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大；當x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減小最值當x＝－eq\f(b,2a)時，y有最小值eq\f(4ac－b2,4a)當x＝－eq\f(b,2a)時，y有最大值eq\f(4ac－b2,4a)【考點總結(jié)】二、二次函數(shù)的性質(zhì)1、拋物線的頂點式，對稱軸是平行于軸的直線。2、當時，拋物線在軸的上方（除頂點外），它的開口向上，并且向上無限伸展；當時，拋物線在軸的下方（除頂點外），它的開口向下，并且向下無限伸展。3、當時，在對稱軸（）的左側(cè)，隨著的增大而減??；在對稱軸（）的右側(cè)，隨著的增大而增大；當時，函數(shù)的值最小（是0）；當時，在對稱軸（）的左側(cè)，隨著的增大而增大；在對稱軸（）的右側(cè)，隨著的增大而減小；當時，函數(shù)的值最大（是0）。4、二次函數(shù)與的圖像形狀相同，可以看作是拋物線整體沿軸平移了個單位（當時，向右平移個單位；當時，向左平移個單位）得到的。【考點總結(jié)】三、二次函數(shù)與的關(guān)系二次函數(shù)與的關(guān)系一般地，由的圖像便可得到二次函數(shù)的圖像：的圖像可以看成先沿軸整體左（右）平移了個單位（當時，向右平移個單位；當時，向左平移個單位），再沿軸整體上（下）平移了個單位（當時，向上平移個單位；當時，向下平移個單位）。因此，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，它的開口方向、對稱軸和頂點坐標與的值有關(guān)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)拋物線頂點坐標對稱軸直線直線位置由和的符號確定由和的符號確定開口方向向上向下增減性在對稱軸的左側(cè)，隨著的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，隨著的增大而增大。在對稱軸的左側(cè)，隨著的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，隨著的增大而減小。最值當時，最小值為當時，最大值為開口大小|a|越大,開口越小，|a|越小,開口越大?！咀⒁狻慷魏瘮?shù)ax2+bx+c=0①a決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的a完全一樣.a>0時，拋物線開口向上；a<0時，拋物線開口向下；a的絕對值越大，開口越小.②b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線SKIPIF1<0，故：A.b=0時，對稱軸為y軸；B.SKIPIF1<0>0（即a,b同號）時，對稱軸在y軸左側(cè)；C.SKIPIF1<0<0（即a,b異號）時，對稱軸在y軸右側(cè).(口訣:“左同右異”）【技巧歸納】技巧1：二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的六種關(guān)系【類型】一、a與圖像的關(guān)系1．如圖，四個函數(shù)的圖像分別對應(yīng)的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，則a，b，c，d的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞c＞dB．a(chǎn)＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．b＞a＞d＞c【類型】二、b與圖像的關(guān)系2．若二次函數(shù)y＝3x2＋(b－3)x－4的圖像如圖所示，則b的值是()A．－5B．0C．3D．43．當拋物線y＝x2－nx＋2的對稱軸是y軸時，n______0；當對稱軸在y軸左側(cè)時，n______0；當對稱軸在y軸右側(cè)時，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)【類型】三、c與圖像的關(guān)系4．下列拋物線可能是y＝ax2＋bx的圖像的是()5．若將拋物線y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4個單位長度后得到的圖像如圖所示，則c＝________．【類型】四、a，b與圖像的關(guān)系6．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，則下列說法中不正確的是()A．a(chǎn)＞0B．b＜0C．3a＋b＞0D．b＞－2a【類型】五、a，c與圖像的關(guān)系7．二次函數(shù)y＝(3－m)x2－x＋n＋5的圖像如圖所示，試求eq\r(（m－3）2)＋eq\r(n2)－|m＋n|的值．【類型】六、b，c與圖像的關(guān)系8．【中考·六盤水】已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則()A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞0【類型】七、a，b，c與圖像的關(guān)系9．在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，則符合條件的圖像是()10．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下四個結(jié)論：①abc＝0，②a＋b＋c＞0，③a＞b，④4ac－b2＜0.其中正確的結(jié)論有()A．1個B．2個C．3個D．4個技巧2：二次函數(shù)圖像信息題的四種常見類型【類型】一、根據(jù)拋物線的特征確定a，b，c及與其有關(guān)的代數(shù)式的符號1．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA＝OC.則下列結(jié)論：①abc＜0；②eq\f(b2－4ac,4a)＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－eq\f(c,a).其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．4B．3C．2D．1【類型】二、利用二次函數(shù)的圖像比較大小2．二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖像如圖，若點A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函數(shù)圖像上，且x1<x2<1，則y1與y2的大小關(guān)系是()A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2【類型】三、利用二次函數(shù)的圖像求方程的解或不等式的解集3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像如圖所示，則當函數(shù)值y＞0時，x的取值范圍是()A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞34．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3的圖像經(jīng)過點A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．【類型】四、根據(jù)拋物線的特征確定其他函數(shù)的圖像5．二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖像如圖所示，那么一次函數(shù)y＝ax＋b的圖像大致是()6．如圖，A(－1，0)，B(2，－3)兩點在一次函數(shù)y1＝－x＋m與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx－3的圖像上．(1)求m的值和二次函數(shù)的表達式；(2)設(shè)二次函數(shù)的圖像交y軸于點C，求△ABC的面積．技巧3：求二次函數(shù)表達式的常見類型【類型】一、由函數(shù)的基本形式求表達式題型1：利用一般式求二次函數(shù)表達式1．已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像與y軸交于點C(0，－6)，與x軸的一個交點坐標是A(－2，0)．(1)求二次函數(shù)的表達式，并寫出頂點D的坐標；(2)將二次函數(shù)的圖像沿x軸向左平移eq\f(5,2)個單位長度，當y<0時，求x的取值范圍．題型2：利用頂點式求二次函數(shù)表達式2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，當x＝1時，有最大值8，其圖像的形狀、開口方向與拋物線y＝－2x2相同，則這個二次函數(shù)的表達式是()A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋63．已知某個二次函數(shù)的最大值是2，圖像頂點在直線y＝x＋1上，并且圖像經(jīng)過點(3，－6)．求這個二次函數(shù)的表達式．題型3：利用交點式求二次函數(shù)表達式4．已知拋物線與x軸交于A(1，0)，B(－4，0)兩點，與y軸交于點C，且AB＝BC，求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式．題型4：利用平移法求二次函數(shù)表達式5．把二次函數(shù)y＝2x2的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的表達式是___________．6．已知y＝x2＋bx＋c的圖像向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的圖像的表達式為y＝x2－2x－3.(1)b＝________，c＝________；(2)求原函數(shù)圖像的頂點坐標；(3)求兩個圖像頂點之間的距離．題型5：利用對稱軸法求二次函數(shù)表達式7．如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝1，且與x軸的一個交點為(3，0)，那么它對應(yīng)的函數(shù)表達式是________________．8．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，點A的坐標為(2，0)，點C的坐標為(0，3)，拋物線的對稱軸是直線x＝－eq\f(1,2).(1)求拋物線的表達式；(2)M是線段AB上的任意一點，當△MBC為等腰三角形時，求點M的坐標．題型6：靈活運用方法求二次函數(shù)的表達式9．已知拋物線的頂點坐標為(－2，4)，且與x軸的一個交點坐標為(1，0)，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式．【類型】二、由函數(shù)圖像中的信息求表達式10．如圖，是某個二次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可知，該二次函數(shù)的表達式是()A．y＝x2－x－2B．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋2C．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋1D．y＝－x2＋x＋211．某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等．如圖中的折線ABD，線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1(單位：元)，銷售價y2(單位：元)與產(chǎn)量x(單位：kg)之間的函數(shù)關(guān)系．(1)請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義；(2)求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達式；(3)當該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【類型】三、由表格信息求表達式12．若y＝ax2＋bx＋c，則由表格中信息可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是()x－101ax21ax2＋bx＋c83A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋813．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)自變量x和函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：x…－eq\f(3,2)－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)…y…－eq\f(5,4)－2－eq\f(9,4)－2－eq\f(5,4)0eq\f(7,4)…則該二次函數(shù)的表達式為______________．【類型】四、幾何應(yīng)用中求二次函數(shù)的表達式14．某校校園內(nèi)有一個大正方形花壇，如圖甲所示，它由四個邊長為3米的小正方形組成，且每個小正方形的種植方案相同．其中的一個小正方形ABCD如圖乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五邊形EFBCG區(qū)域上種植花卉，則大正方形花壇種植花卉的面積y與x的函數(shù)圖像大致是()【類型】五、實際問題中求二次函數(shù)表達式15．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩墻足夠長)，用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB，BC兩邊)，設(shè)AB＝xm，花園的面積為Sm2.(1)求S與x之間的函數(shù)表達式；(2)若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界，不考慮樹的粗細)，求花園面積的最大值．【題型講解】【題型】一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)例1、二次函數(shù)SKIPIF1<0的部分圖象如圖所示，則下列選項錯誤的是（）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圖象上的兩點，則SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．方程SKIPIF1<0有兩個不相等的實數(shù)根D．當SKIPIF1<0時，y隨x的增大而減小【題型】二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系例2、如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（4，0），其對稱軸為直線x＝1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③當x＞2時，y隨x的增大而增大；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型】三、二次函數(shù)的對稱性例3、拋物線SKIPIF1<0與x軸的一個交點坐標為SKIPIF1<0，對稱軸是直線SKIPIF1<0，其部分圖象如圖所示，則此拋物線與x軸的另一個交點坐標是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】四、二次函數(shù)的最值例4、點P(m，n)在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y＝x2+ax+4的圖象上．則m﹣n的最大值等于（）A．SKIPIF1<0 B．4 C．﹣SKIPIF1<0 D．﹣SKIPIF1<0【題型】五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例5、已知二次函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數(shù)，SKIPIF1<0）的SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的部分對應(yīng)值如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<002SKIPIF1<060SKIPIF1<0SKIPIF1<06下列結(jié)論：①SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，函數(shù)最小值為SKIPIF1<0；③若點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在二次函數(shù)圖象上，則SKIPIF1<0；④方程SKIPIF1<0有兩個不相等的實數(shù)根．其中，正確結(jié)論的序號是__________________．（把所有正確結(jié)論的序號都填上）【題型】六、二次函數(shù)平移問題例6、把函數(shù)SKIPIF1<0的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型】七、二次函數(shù)解決實際問題例7、如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長度不限）的矩形空地ABCD，為美化環(huán)境，用總長為100m的籬笆圍成四塊矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計）．（1）若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE＝3BE；（2）在（1）的條件下，設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．二次函數(shù)（達標訓練）一、單選題1．（2022·廣東廣州·一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象開口向下，且經(jīng)過第三象限的點P．若點P的橫坐標為﹣1，則一次函數(shù)y＝（a﹣b）x+b的圖象大致是（）A． B． C． D．2．（2022·山東煙臺·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc>0；②若(?3，y1)，(4，y2)在拋物線上，則y1<y2；③當?1<x<3時，y<0時；④8a+c>0．其中正確的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④3．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模）二次函數(shù)y=?x2+4x+7的頂點坐標和對稱軸分別是（

）A．SKIPIF1<0，x＝2 B．SKIPIF1<0，x＝2 C．SKIPIF1<0，x＝－2 D．SKIPIF1<0，x＝24．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）將拋物線SKIPIF1<0向左平移2個單位長度，在向上平移1個單位長度，則平移后得到的拋物線解析式是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·福建福州·一模）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題6．（2022·河南·駐馬店市第二初級中學模擬預測）觀察函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖像，寫出一條它們的共同特征：______．7．（2022·甘肅·一模）已知拋物線SKIPIF1<0的部分圖像如圖所示，則方程SKIPIF1<0的解是___________三、解答題8．（2022·浙江麗水·一模）如圖，拋物線SKIPIF1<0與x軸相交于點SKIPIF1<0，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的解析式．(2)點SKIPIF1<0是拋物線上不同的兩點．①若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系．②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．二次函數(shù)（提升測評）一、單選題1．（2022·內(nèi)蒙古·包頭市第三十五中學三模）已知二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，m為實數(shù)），其中正確的結(jié)論有（

）個．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2022·廣東·揭陽市實驗中學模擬預測）在二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像上有點SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0的大小關(guān)系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）三模）二次函數(shù)SKIPIF1<0與一次函數(shù)SKIPIF1<0在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（

）A． B．C． D．4．（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）三模）二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖所示，則一次函數(shù)SKIPIF1<0與反比例函數(shù)SKIPIF1<0在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是（

）A．B．C．D．5．（2022·浙江嘉興·一模）已知SKIPIF1<0是二次函數(shù)SKIPIF1<0圖象上的點，則下列說法一定正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0