線性代數(shù)習(xí)題三及答案

鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院200?2007學(xué)年第一學(xué)期

課程考試試卷(A)卷

一、填空題(本題總計16分，每小題2分)

1、排列的逆序數(shù)是

3〃120

u\1U12

2、若=1,貝IJ%3/20=_________

a2\a22

061

00、

3、設(shè)A為三階可逆陣，A-'=210,貝!|A'=

32L

4、若A為mx〃矩陣，則齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是

12345

30412

5、已知五階行列式。=11111貝!I+A42+A43+A3+A45=

11023

54321

6、若n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A的秩為n-l,則其解空間的

維數(shù)為____

7、若a=(lk1)'與夕=(1-21)，正交，則左=

8、若矩陣A的特征值分別為1、-1、2,貝jpe+A-E卜

二、選擇題(本題總計20分，每小題2分)

(1+2)Xj+x2+x3=0

1、若齊次線性方程組"+(1+/1)々+%3=。有非零解，則力的范圍為()

犬]+%+(1+%)*3=0

A.4w0B,2w—3

C.丸±0且彳。一3D.2=0且/1=一3

2、設(shè)n階矩陣A和B滿足AB=0,貝(I()

A.4=0或8=0B.|A|=0現(xiàn)B|=0

C.A+B=OD.|A|+|B|=0

3、設(shè)A為三階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，且|A|=f則|(3A)-J2A[=()

4、向量組％線性相關(guān)且秩為s,貝(J()

A.r=sB.r<s

C.s<rD.s<r

5、設(shè)向量組A能由向量組B線性表示，貝!J()

A.R(8)4R(A)B.R(8)<R(A)

C.R(B)=R(A)D.R(B)>R(A)

6、若A為三階方陣，K|A+2^=0,|2A+E|=0,|3A-4E|=0,則|A|=()

A.8B.-8

44

C.-D.--

33

7、若n元非齊次線性方程組4*=1)的增廣矩陣的秩R(A,b)<〃，則方程組

()

A.有唯一解B.有無窮多解

C.無解D.無法判斷解的情況

8、n階方陣A的秩r〈〃的充要條件為()

A.A有r階子式不等于零

B.A的r+1階子式都為零

C.A的任一個r階子式都不等于零

D.A的任r+1個列向量線性相關(guān)，而有r個列向量線性無關(guān)

9、設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有兩個不同的解為藥,%，則下列向量是方

程組的解是()

A.%+%B.%-%

21

C.—tz,+~a2D.匕%+Z2a2,其中匕，七eR

10、已知n階方陣A、B和C滿足ABC=E,其中E為n階單位矩陣，

則B'=()

A.A-'C-1B.AC

C.CAD.C-IA-'

三、計算題(本題總計56分，5、6每小題10分，其他每小題9分)

'11r(121)

1.已知矩陣人=-i11，B=1-11,求AB2A及B「A.

1-ib.00-1

2.求n階行列式的值

abb…b

bah???b

D=bba???b

bbb???a

3.求矩陣的逆

’123、

A=221

343,

4.求下列非齊次線性方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及此方

程組的通解

x,+x2+x3+x4+x5=2

2占+3X+￡+%—3X=0

V25

x1+2X3+2X4+6X5=6

4X1+5X2+3X3+3X4-x5=4

5,已知向量組％=(1。23)'、。2=(1135廠、4=(1-131丫、

%=(1249)\?5=(1125)，求此向量組的一個最大無關(guān)組,

并把其余向量用該最大無關(guān)組線性表示.

"-110、

6.求矩陣A=-430的特征值和特征向量.

、102,

四、證明題(本題總計8分)

已知向量組(I)。1，。2，。3,(U)%，。2，。3，。4,(ni)%%，。3，。5,如

果各向量組的秩分別為3、3、4.證明：向量組四，%，%，%-%的秩為4.

鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院2006-2007學(xué)年第二學(xué)期

考試試卷答案及評分標(biāo)準(zhǔn)(B)卷

一、填空題(本題總計20分，每小題2分)

/、(1103、

1、——2、0；3、一A或一027；4、E-A；5、R(A)=根；

2441002j

6、m—3;7、2；8、—1；9、0；10、/wl

二、選擇題(本題總計10分，每小題2分)

1、D;2、A;3、C;4、B;5、C

三、計算題(本題總計60分，每小題10分)

1-2_1

1、解：特征方程|A—4同==(/l—2)(4—3)

從而A的特征值為4=2,4=3...................................(4分)

當(dāng)4=2時,由方程(A-2E)x=0得基礎(chǔ)解系g=(-1,1),，

即對應(yīng)于4=2的全部特征向量為及￡*產(chǎn)0)；.....................(7分)

當(dāng)心=3時，由方程(A-3E)x=0得基礎(chǔ)解系Q=(-1，21,

即對應(yīng)于右=3的全部特征向量為左272(^2*0)........................(10

分)

11

111ao

4a?

11100???Q]0

--c-.

2、解：。用%—0n----en-l----c\

qan

0an-\???00

an0000

(5分)

111)

=(-1)2%-------------4%…(10

I4%an)

分)

'010、T00、

3、解：由4=100B=001,求得|A卜忸|=一1,

W°L、010；

"0-10、'-100、

A*=-1008*=00

,00-I,0-I0J

010,100、

從而A?100,B-001（5分）

0017107

-10、

故X=A'CB-'13-4(10

J0-2>

分）

4、解：對增廣矩陣B施行初等行變換

111111、q11112、

3211-33為-3/j0-1-2-2—60

B=

012260q-5/j012260

5433-157、0-1-2-2—60>

10-1-1-51

n+/2012260

r)+r2000000

ri-r2

/jx(-l)

0000007

x,-^+x+5X+1

即得：45（4分）

x2--2X3-2X4—6X5

?。ㄆc,無4，毛尸分別為（1，0,01,（0,1,0/,（0,0,1/得基礎(chǔ)解系為:

=（1,-2,1,0,0/,<2=（1,-2,0,1,0/,<3=（5,-6,0,0,1/............................（7

分）

另外取七=%=&=0得方程組的一個解〃=（1，0,0,0,0）T..............................（9

分）

原方程組的通解為：》=匕4+&?2+匕&+〃，其中匕，女2，&€《.....（10

分）

5、解：設(shè)矩陣

‘-12-11-2、

11-21-4,.

-642-2-4v7

、63-97-9,

通過初等行變換，得到其行最簡形矩陣為：

（10-10-3^1

（00000）

分）

故矩陣A的1、2、4列即%a2,4為A的列向量組的一個最大無關(guān)組；…（8

分）

且

一3、

（10

3J

分）

6、解：由AT=」A*nA*=|A|AT,................................（3

分）

#（3A）*=|3A|（3A）-1=33|A|-A-'=-18A-1.......................（6

分）3

所以A"）+（3A）*=|12A-'-18A-||=|-6A-'|..................（8

分）

=（—6）[A[=（—6）3介

108（10

分）

四、證明題（本題總計10分）

證：（1）因為鬼，…,見線性無關(guān)，所以％，…,4T線性無關(guān)，而%,…,%T線性相

關(guān)，故％可由向量組里，。3,…,4T線性表示；.....................（4分）

（2）反證法：假設(shè)?！翱捎上蛄拷M%,。2,…,%T線性表示，由（1）知名可由

向量組%,線性表示，從而％可由向量組。2,…,%T線性表示，則

線性相關(guān)，這與后〃-1個向量％,…,％線性無關(guān)矛盾.故%不能由向量

組線性表

示......................................................（10分）

鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院200?2007學(xué)年第一學(xué)期

課程考試試卷（B）卷

一、填空題（本題總計20分,每小題2分）

9、排列的逆序數(shù)是____

a\\a2l0

a\\a\2—

10、=3,則4a124a220

a2\a22

051

<12.-12、

02-13

11、設(shè)A為四階矩陣,A二,叫A*卜________

0032

、00。1J

12、已知n階方陣A、B和C滿足ABC=E,其中E為n階單位矩陣,

則AT=

13、若A為〃?x〃矩陣，則非齊次線性方程組Ax=b有無窮個解的充要

條件是

r

14、已知四維列向量％=（2513）,、a2=（101510）>

a3=（41-11）',且3（%-x）+2（%+x）=5（￡Z3+x）,貝1]x=

15、若n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的秩為〃-5,則其解空間

的維數(shù)為—

16、已知向量c=（2-120）r,則版|=

17、若a=（l2一3》與夕=（k-11），正交，貝！U=

18、若矩陣A的特征值分別為1、2、3,則性2-2A+7E|=

二、選擇題（本題總計20分，每小題2分）

QX]+/+X3=°

11、若齊次線性方程組卜+法2+與=0有非零解，則

xx+2bxz+=0

A.a=—lB.。工1且人工0

C?aw-1D.a=1或人=0

12、設(shè)n階矩陣A的行列式等于D,則卜5Al=

A.5DB.-5D

C.(-5)"DD.(―5嚴(yán)。

13、以下等式正確的是

14、設(shè)向量組B能由向量組A線性表示，則

A.R(B)WR(A)B.R(B)<R(A)

C.R(B)=R(A)D.R(B)>R(A)

15、矩陣A、B、C滿足C=AB,則

A.7?(A)</?(C)B.R(B)〈R(C)

C.R(A)<R(C)且尺(B)WR(C)D.砥04尺。)且尺(0〈陽15)

16、設(shè)A為三階矩陣，A'為A的伴隨矩陣,且|A|=；,則|(4A)-'-3A*|=

A.更B.3

2727

C.-D.--

22

17、設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有兩個不同的解為四,a2,則下列向量

是方程組的解是

A.a}+a2B.3a1一2a2

22

C.D.匕%+Z2a2,其中匕，％2￡R

18、若n元非齊次線性方程組4乂=1>的增廣矩陣的秩R(Ab)<“，則方

程組

A.有唯一解B.有無窮多解

C.無解D.無法判斷解的情況

19、n階方陣A的元素全為n,則A的秩為

A.0B.1

C.〃—1D.n

20、若A為三階方陣，K|A+2E|=0,|2A+E|=0,|3A-4E|=0,則閶=

A.8B.-8

三、計算題(本題總計50分，每小題10分)

7.計算n階行列式

122…2

222…2

D.二223…2

222…n

8.求矩陣A的逆

124、

A=312

121J

9.求非齊次線性方程組對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及原方程組的

通解

——冗2+333+%4=—1

當(dāng)-

<3%+3X2-85X4=7

10.已知向量組%=(1-104)，、%=(2156)，、

a3=(1-1-20)/a4=(30714廠、a5=(4-1310)"求

此向量組的一個最大無關(guān)組，并把其余向量用該最大無關(guān)組線性表示.

‘1-10、

11.求矩陣A=240的特征值和特征向量.

、421,

四、證明題(本題總計10分)

已知矩陣A,.,和Bg“滿足AB=E,其中E為m階單位矩陣，且根<〃，

證明：A的行向量組和B的列向量組都線性無關(guān).

鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院2006—2007學(xué)年第一學(xué)期

考試試卷答案及評分標(biāo)準(zhǔn)(B)卷

一、填空題(本題總計20分，每小題2分)

1.18；2.12；3.216或63；4.BC；5.R(A)=R(A,b)<n；6.(1,2,3,4丫

7.5；8.3；9.5；10.420

選擇題（本題總計20分，每小題2分）

1.D；2.C；3.D；4.A；5.D；6.D；7.B；8.D；9.B；10.C

三、計算題（本題總計50分,每小題10分）

1.計算n階行列式

122??22

222-?22

223-?22

D,,

222-?n—\2

222■?2n

12222

22222

…00100

（2分）

i=3,…,”???

000〃-30

0000n-2

122-?22

0-2—2,,—2-2

乃一2八001--00

（6分）

000??n-30

000??0n-2

=一2（〃一2）!（10分）

2.求A的逆矩陣

124

A=312

121

124100124100

解：（A：E）=3120100-5-10-310（2

12100100-3-101

分）

_j_2

1000

-55

010_1_10（6

155

1

001

-3

分）

]_2

0

55

12

0（10分）

155

12

0

3-3

3.求非齊次線性方程組對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及非齊次方程組

的通解

—X]-+3Xj+X4———1

<3*1+3%—8X3-5*4=7

+x2-2X3-3X4=5

--I-1311-3-11

解：33-8-501-24

11-2-35J|_001-24

11-3-11110-713

001-24?001-24（2分）

00000J100000

取尤2,相為自由未知量得齊次線性方程組的解:

%1=-2+7匕

x3=2X4

r-n（7、

令得基礎(chǔ)解系:,:

（4分）

D10）VJ。2

loJ⑴

門3、

0

令得非齊次線性方程組的特解〃*=，則通解為

,04

X=ki+h+h，k&R（4分）

102242

<ojbJ

o

■12134'

、-11-10-1

4.4=（%,%，%，。4,

5705-273

4601410

"12134一

01011八

cC（2分）

00-22-2

00000

-1002r

01011八

,,（4分）

001—11

00000

R（A）=3,at,a2,a3就是向量組的一個極大無關(guān)組（6分）

貝!1a4=2al+a2-a3（8分）

a5=a1+a2+?3（10分）

1-10'

5.求三階矩陣A=240的特征值和特征向量

421

1—/I-10

解：|A—2國=24-20=（1-2）（2-2）（Z-3）=0（1分）

421-2

解得4=1，4二=2,4=3（4分）

‘0-10]（100、

4=1時，A—E=230?010

、420）H