2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)北師大版必修4教學(xué)教案：3.2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)

3.2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)

［教材分析］兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是三角函數(shù)變換的

重要公式，而三角變換是三角運(yùn)算的靈魂和核心，在三

角變換中，角的變換是基本變換，必須引起足夠的重視,

在解題中通過(guò)善于抓住角的變換，應(yīng)用和差角公式，使

問(wèn)題迎刃而解。

［教學(xué)目標(biāo)］1、通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生會(huì)用兩角和與差的三角函數(shù)公式，

了解公式的意義和特點(diǎn)。靈活運(yùn)用公式.

2、三角函數(shù)變換是三角運(yùn)算的靈魂與核心，在三角變

換中角的變換是基本變換，通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生掌握常見(jiàn)

的角的變換技巧。

3、在學(xué)習(xí)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察和分析問(wèn)題的能力，提

高學(xué)生的運(yùn)算能力，落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)；并讓學(xué)生體會(huì)

到數(shù)學(xué)的“巧”與“活”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

［重點(diǎn)和難點(diǎn)］重點(diǎn)：角的基本變換與和差角公式靈的活應(yīng)用。

難點(diǎn)：角的變換中角的范圍的確定。

［教學(xué)方法］以“導(dǎo)學(xué)案”為依托的自主、探究、合作交流的學(xué)習(xí)

方式

［教學(xué)用具］多媒體平臺(tái)

［教學(xué)過(guò)程］

教學(xué)教學(xué)內(nèi)容師生設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)活動(dòng)

1、復(fù)習(xí)并默寫公式

cos(tz-7?)=cosacos/?+sincrsin/3

cos0+/?)=cosacos/?-sinasin°我們

已經(jīng)

課sin(cr±/3)=sinacos/?±cosasind學(xué)習(xí)

前

過(guò)兩讓學(xué)生回

自,.A、tana±tanf3

tan(a±p)=----------------—角和憶公式，了

主1=Ftancctan(3

與差解公式的

探?！朗琖]+攵

3/?,TI,%￡z)的三意義。

究

角函

2、探究公式特點(diǎn)。

數(shù)公

(1)公式的內(nèi)在聯(lián)系。式,請(qǐng)

(2)符號(hào)：正弦正常；余弦變態(tài)。同學(xué)

（3）角：廣義角。例如4+/=（。+三）+（4一三）回憶

44公式，

想想

公式

有什

么特

點(diǎn)？

蘇軾在《題西林壁》中寫道：“橫看成嶺側(cè)成峰，

情遠(yuǎn)近高低各不同”。蘇軾在欣賞廬山之美，而我們激發(fā)學(xué)生

旦

樂(lè)的兩角和與差的三角函數(shù)公式，更是猶如一位少的學(xué)習(xí)興

引趣。

入女，如美似幻，輕紗遮面，需要我們從多角度去欣

賞她、認(rèn)識(shí)她、理解她。這節(jié)課我們繼續(xù)研究和差

角公式的應(yīng)用。

O

探究1（通過(guò)角的變換應(yīng)用公式解決給值求值問(wèn)題）觀察

歸納：引導(dǎo)學(xué)生

1、求sin15。的值。

新學(xué)會(huì)觀察，

學(xué)會(huì)分析

解：sinl50=sin（45o-30°）

問(wèn)題。

=sin450cos300-cos45°sin300

課V6—V2

2

①所

求角=

.JT12/冗冗、特殊

2、已大口COS(F6Z)=,--，一)，

41344角+特

求coscr的值。殊角

解：.-.(?+-)e(0,-)

4442

n12n5

乂：cos(a+—)=—sin(a+—)=—

413413

「itJI

cos?=cos(a+—)——通過(guò)練習(xí)，

[44.使學(xué)生會(huì)

JIJInJT靈活運(yùn)用

=cos(a+—)cos—+sin(a+—)sin—知識(shí)。讓學(xué)

4444

生體會(huì)到

1772

新數(shù)學(xué)中的

~26②所“巧”與

求角=/CTO

已知引導(dǎo)學(xué)生

角+特學(xué)會(huì)觀察，

課殊角學(xué)會(huì)尋找

113

3、己矢口cosc=—,cos(o<—/?)=—^9解決問(wèn)題

的途徑。培

且0v尸vavg求cos尸的值。養(yǎng)學(xué)生解

決問(wèn)題的

能力。

③所

求角=

已知

角+已

知角

探究2:給值求角(選名稱很關(guān)鍵。即選擇

區(qū)間范圍內(nèi)單調(diào)的函數(shù)名稱)。

利用以上

的解決問(wèn)

題的方法，

113

1、己矢口cosa=；y,cos(kz—/?)=培養(yǎng)學(xué)生

的遷移能

iit、

且0v尸vav,，求/?。力。

2.已知a,月均為銳角，且cos@+/7)=(^

sin(a一尸)=,求2/?

3n5冗3

l、sin(--F6T)=—,cos(——B)=一,

41345

通過(guò)練習(xí)，

j[3幾

H.0<a<—</3<一，求cos@+￡)的值。鞏固所學(xué)

44知識(shí)，對(duì)熟

練運(yùn)用所

學(xué)的解題

方法。

2、已知tan%tan6是方程一+3岳+4=0

練習(xí)兩肝艮，且a,,求a+分。

解：根據(jù)韋達(dá)定理：tana+tan/?=-373,

式7i

tancrtan^=4二;a,6石心展萬(wàn)）

TT

a,（3G（--,0）

a+￡￡（?萬(wàn)，0）

/0、tana+tan/?大

tan（。+尸）=---------=V3

1-tancrtan/?

c2）

:.a+[3=—

請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勎覀冞@節(jié)課你有什么收獲，還存

在什么困惑？通過(guò)小結(jié)，

小

三前函數(shù)變換是三角運(yùn)算的靈魂與核心，讓學(xué)生在

結(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程

與

在三角變換中角的變換是基本變換，本節(jié)課我有所體會(huì)，

布

解題思路

置們學(xué)習(xí)了常用的角的變換技巧（1、特殊角+特殊角；

更清晰。

作

已知角+特殊角；已知角+已知角。2、注意角的正

業(yè)

負(fù)、函數(shù)名的確定及前的范圍），通過(guò)角的變換應(yīng)

用和差角公式，解決了三角函數(shù)中給值求值、給值

求角兩類問(wèn)題。

作業(yè)：習(xí)題3-2A組7復(fù)習(xí)題三B組9

板課題：和差角公式的應(yīng)用

書(shū)探究1練習(xí)：

設(shè)探究2小結(jié)：

計(jì)

教學(xué)反思：讓學(xué)生課前自主完成預(yù)習(xí)學(xué)案，教師可以通過(guò)提問(wèn)的方式

檢查學(xué)生的完成情況與掌握情況，根據(jù)學(xué)生的情況靈活確定本節(jié)課的

教學(xué)定位。課堂合作探究列出兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)歸納先讓學(xué)生歸納，

教師補(bǔ)充完善。典型例題教師根據(jù)情況，至少板書(shū)一個(gè)例題給學(xué)生以

示范，來(lái)規(guī)范學(xué)生答題。

教學(xué)

322兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)

課題

課程

新課

類型

課時(shí)一課時(shí)

3.2.2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)

是北師大版全日制普通高中教科書(shū)必修四第三章第二節(jié)的內(nèi)容。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函

的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式以及平面向量，在此基礎(chǔ)上，兩角差的余弦公式作為最基本公式，通過(guò)它可推

出其它的三角函數(shù)公式.兩角差的余弦公式是本節(jié)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，作為本章的

二節(jié)課，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合作、交流，探索兩角差的余弦公式，為后續(xù)簡(jiǎn)單的恒等變換的學(xué)習(xí)打

基礎(chǔ)。課本先利用向量的數(shù)量積推出兩角差的余弦，由此體現(xiàn)了從特殊到一般這一典型的數(shù)學(xué)思維過(guò)彳

同時(shí)提示了公式的特點(diǎn)及推導(dǎo)途徑.由兩角差的余弦公式推導(dǎo)其余三角公式，主要是采用比較靈活的

教材形轉(zhuǎn)化策略來(lái)完成的.例如以一#代產(chǎn)得到兩角和的余弦公式；在兩角和差的余弦公式中，利用誘導(dǎo)

分析

/兀）（兀）

sin——a=cosacos——a=sina

式12J,12J就可得到兩角和差的正弦公式；在兩角和的正余弦公式中，

*=產(chǎn)就可得二倍角公式，再由正、余弦公式相除得到正切公式.課本中的實(shí)例為學(xué)生體驗(yàn)用數(shù)學(xué)知

解決實(shí)際問(wèn)題，有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

學(xué)生在第一章已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式以及平面向量，但只對(duì)有特殊關(guān)系的兩

角的三角函數(shù)關(guān)系通過(guò)誘導(dǎo)公式變換有一定的了解。對(duì)任意兩角和、差的三角函數(shù)知之甚少。本課時(shí)

學(xué)情

對(duì)的學(xué)生是高一年級(jí)的學(xué)生，學(xué)生對(duì)探索未知世界有主動(dòng)意識(shí)，對(duì)新知識(shí)充滿探求的渴望，但應(yīng)用已

分析

知識(shí)解決問(wèn)題的能力還處在初期，需進(jìn)一步提高。

L能夠利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式；

教學(xué)

2.能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式.

重點(diǎn)

3、能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式

教學(xué)

4、能夠靈活運(yùn)用兩角和的正、余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明.

難點(diǎn)

1.知識(shí)與技能

（1）能夠推導(dǎo)兩角差的余弦公式；

（2）能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；

（3）能夠運(yùn)用兩角和的正、余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明；

2過(guò).程與方法

教學(xué)通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，通過(guò)向量的手段證明兩角差的余弦公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)向量作為一種有效手段

目標(biāo)同時(shí)掌握兩角差的余弦函數(shù)，然后通過(guò)誘導(dǎo)公式導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；講

例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)；理解掌握兩角和與差的

角函數(shù)的各種變形，提高逆用思維的能力.

《新課標(biāo)》指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)即要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要關(guān)注他們學(xué)習(xí)的過(guò)程

教學(xué)以，根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，我在教學(xué)中充分運(yùn)用了啟發(fā)、引導(dǎo)、讓

方法生自主探究和交流等教學(xué)方法，讓學(xué)生在師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的過(guò)程中，完成對(duì)知識(shí)的

索。

從學(xué)生已有的認(rèn)知水平、認(rèn)知能力出發(fā)，經(jīng)過(guò)觀察分析、自主探究、推導(dǎo)證明、歸納總結(jié)等環(huán)節(jié)

學(xué)法

理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)有梯度的練習(xí)、變式訓(xùn)練、分層作業(yè)，學(xué)生逐步提高對(duì)知識(shí)掌握。

滲透

教學(xué)

利用多媒體課件形象動(dòng)態(tài)的演示功能，提高教學(xué)的直觀性和趣味性。

手段

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

1.平面向量數(shù)量積的定義是什么呢？

2.若向量。=。［,必)石=(x2,y2),如何求兩向

用第二章向量的知

量的數(shù)量積？

入本節(jié)課內(nèi)容，使

教師提問(wèn)體會(huì)知識(shí)之間的相

系，新的知識(shí)的學(xué)

復(fù)習(xí)鞏固

能為我們研究其他

3.寫出下面式子的值：

學(xué)生回憶、回答帶來(lái)更簡(jiǎn)捷的方法

⑴sin30°=(2)cos30°=發(fā)學(xué)生學(xué)以致用的

sin450-cos450-態(tài)度。

sin60=cos60=

sin90=cos90=

sin120-cosl20-

通過(guò)學(xué)生熟悉的特

的三角函數(shù)值倆探

問(wèn)題1：對(duì)于30°,45',60°,90°等特殊角的三角函

式的結(jié)構(gòu)是比較

的，在學(xué)生對(duì)公式

數(shù)值可直接寫出，利用誘導(dǎo)公式還可以求出120°

構(gòu)特性有了直觀感

等角的三角函數(shù)值，那么如何求cosl5°的值？基本了解的基礎(chǔ)上

發(fā)學(xué)生猜想、探索

的欲望.

思考1:15°能否寫成兩個(gè)特殊角的和或差的形式？教師提問(wèn)

新課導(dǎo)入

思考2:cosl50=cos(450-300)=cos45°-cos300^AL^?

當(dāng)學(xué)生覺(jué)得解決問(wèn)

思考3:究竟cos15"=?學(xué)生思考，分析，回答困難時(shí)，教師可引

生把15。轉(zhuǎn)化為45

思考4:cos(45°-30°)能否用45°和30°的角的三角函等形式，于是轉(zhuǎn)變

求兩個(gè)角的差的

數(shù)值來(lái)表示?如果能，那么一般情況下cos(a-￡)

值，這樣自然而然

出課題.

能否用角夕的三角函數(shù)值來(lái)表示?這就是本

節(jié)課要探討的問(wèn)題.

問(wèn)題2：如圖示，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為中

心，單位長(zhǎng)度為半徑作單位圓，又以原點(diǎn)為頂點(diǎn),教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)

x軸非負(fù)半軸為始邊分別作角45°,30°設(shè)它們的圖形進(jìn)行分析、思

終邊分別交單位圓于點(diǎn)能否用的

Pi,P2,45°,30°考.

正弦、余弦來(lái)表示點(diǎn)的坐標(biāo)？角表示

課堂探究Pi,P245°-30°

的是什么？

問(wèn)題3：角(45°-30°)既然是這兩個(gè)向量

OR與0g的夾角，那么這兩個(gè)向量的數(shù)量積如

何表示？有幾種表示方法？學(xué)生進(jìn)一步思考討

論，嘗試解決，教

師根據(jù)學(xué)生回答進(jìn)

OP?OP=|O^||OA|COS(450-30°)

}2行點(diǎn)評(píng)，師生共同讓學(xué)生在z

得出結(jié)論。向量方法推導(dǎo)

=cos(45°-30°).f

差的余弦公式f

程中，體會(huì)向量?

OP^OPy=cos45°cos30°+sin45°sin30°

想方法和向量彳

工具的價(jià)值.

問(wèn)題4：由此你能得出什么結(jié)論？

cos(45°-30°)

=cos45°cos300+sin45°sin30°

問(wèn)題5：若把45°,30°分別換為角a,/3,你會(huì)

得到什么結(jié)論？

cos(a-/3)

=cos6zcosy0+sincrsin/3

我們稱上式為兩角差的余弦公式，記作

Ca-°

問(wèn)題6：公式cos(a-/3)=cos6Zcos夕+sinasin/?

教師提問(wèn)

讓學(xué)生在2

學(xué)生思考討論、分

析向量方法推導(dǎo)1

課堂探究

差的余弦公式f

程中，體會(huì)向量I

想方法和向量彳

工具的價(jià)值.

師生共同討論得出

結(jié)論

由圖2可知，a=P-0+2k7r(keZ);

于是，

a-(3=2k7v±0(kGZ).

/.cos@-/3)=cos6.

即cos(。-力)=costzcos/7+sin<zsin/3.

問(wèn)題7：我們知道減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的教師提問(wèn)、引導(dǎo)

相反數(shù)，利用誘導(dǎo)公式試求cos(a+B)=?

讓學(xué)生體會(huì)數(shù)，

學(xué)生思考，解決問(wèn)合的思想，并由.

cosQ+尸)=cos[a-(一夕)]

題，共同得到相關(guān)發(fā)直接推導(dǎo)出1

公式.和的余弦公式

=cosecos(-夕)+sinasin(一￡)E

路，幫助學(xué)生理j

量法

=cos<zcos^—sintzsin/3

結(jié)論：兩角和與差的余弦公式ca±fj：

cos^z±/?)=cos?cos^+sinasin/3

注意：

1.公式中兩邊的符號(hào)正好相反(一正一負(fù)).

2.式子右邊同名三角函數(shù)相乘再加減，且余弦在

課堂探究

前正弦在后.

問(wèn)題8：

(Dsin(a+〃)=?

利用誘導(dǎo)公

⑵sin(a-4)=?

教師提問(wèn)、提示、

sine=cos（-——a

TT引導(dǎo)2

解：(l)sin(a+/?)=cos與一(。+尸)]

以實(shí)現(xiàn)正弦轉(zhuǎn)彳

余弦，然后再

=cos[(|-<z)-y0]

COS0+尸）公式匚

學(xué)生思考、分析、

7T、_.7T_

=cos(Z^--a)cosp+sin(--a)sinp板演解題思路過(guò)程導(dǎo)。在整個(gè)推導(dǎo).

中，利用提問(wèn)激

=sinc^cos/J+coscrsinJ3

生的思維，引導(dǎo)

的思考方向，且?

(2)sin(a-/7)=sin[cr+(-2)]

生意識(shí)到新舊夕

之間緊密的關(guān)聯(lián)

=sinacos(一尸)+cosasin(一夕)

此推導(dǎo)過(guò)程師小

=sincrcos/?-cosasin/3

共同完成，為接

兩角和與差的正弦公式：其他公式的探5

1.兩角和的正弦公式：好示范.

sin(a4-=sinacosp+cosasinp,簡(jiǎn)記為

探究?jī)山遣畹摹?/p>

Sa+p,

公式的過(guò)程由L

2.兩角差的正弦公式：獨(dú)立完成，再交

然后課堂展示，

sin(a-yff)=sinacos)ff-cosasin/7,簡(jiǎn)記為

是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)］

析問(wèn)題、解決問(wèn),

S”?

能力，培養(yǎng)學(xué)生,

比思想去解決1

的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué).

用剛獲得的知i

解決問(wèn)題的意識(shí)

學(xué)生體會(huì)代換*

作用.

例1不查表，求cos75°,cosl5°的值.

解:cos750=cos(45°+30°)

=cos450cos300-sin45°sin30°

V2V3V21

------X--------------X-

2222

V6-V2

4

cosl5°=cos(45°-30°)

=cos45°cos300+sin45°sin30"

V2V3V21

=-----X-------1-------X—學(xué)生獨(dú)立思考、分

2222

析、講解解題思路、如何將已知角轉(zhuǎn)化

_V6+V2整理解題過(guò)程個(gè)特殊角的和與差

4決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵

例題分析

例2已知教師根據(jù)學(xué)生的回

4TC537r、答情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)

sina=￡(—,^),cosyff=G()

求cos(a-/?),cos0+0的值.

解：由sina=—,ae(工,》),

52

A.,i------------------3

得cosa=-Jl-sin2a=;

5學(xué)生獨(dú)立思考解題

思路，回答解題過(guò)

53%直接應(yīng)用公

又由COS夕=4)，程

例題分析132加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式

2

Wsin/3--y/l-cosp-理解和應(yīng)用.

所以教師點(diǎn)評(píng)

cosQ一夕)=cosacos力+sinasin

=(二3)x(-S2)A+2xI(?-上)

513513

33

zzz??

65'

cos@+/7)=costzcos/7-sin?sin/3

,3—5、4(12、63

51351365

小結(jié)：

B.1.求%。的正弦值、余弦值，注意。，

￡的取值范圍.

C.2.代入公式.

熟練公式運(yùn)用，

知識(shí)理解，力口

1.求下列各式的值：憶。從直接套了

式，變式運(yùn)用公

(l)cosl05°;

研究公式特點(diǎn)1

(2)cos(I2)；個(gè)層次的問(wèn)題解

促進(jìn)學(xué)生新的專

(3)sinlO5";認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成

/八.z257r、

(4)sin(I?)?

學(xué)生思考、分析，并板演

解題過(guò)程

課堂訓(xùn)練2.求下列各式的值：

(l)cos2150-sin215°;

教師巡堂了解，點(diǎn)評(píng)

(2)sin95°sin35°+cos95°cos35°.

進(jìn)一步加深學(xué)，

37C公式的理解，使

3.已知sin。=一，。￡(一,乃),求

42掌握公式的正用

777T用，變角使用，

$山(，+^),cos(，一§)的值.

學(xué)生的數(shù)學(xué)思2

力，體現(xiàn)思維的

意識(shí).

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你

還有什么困惑？通過(guò)總結(jié)，培養(yǎng)

1.兩角和與差的余弦、正弦公式：學(xué)生回顧知識(shí)并回?cái)?shù)學(xué)交流和表〕

答，教師根據(jù)學(xué)生能力，養(yǎng)成及時(shí)

(l)cos@-/?)=cosacos￡+sinasinp

課堂小結(jié),回答情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)的良好習(xí)慣，并，

和補(bǔ)充完整。學(xué)知識(shí)納入己:

⑵cos@+0=cosacos/?-sinasin/7.

認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

(3)sin(cr+/?)=sintzcosp+costzsin0

(4)sin(cif-/?)=sin6zcos/?-coscrsin(3

Sa士廣的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩角和、差的正弦，右

邊是前一角的正弦與后一角余弦的積與前一角的

余弦與后一角正弦的積的和、差.

2.利用公式可以求非特殊角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)三

角函數(shù)式和證明三角恒等式.應(yīng)用公式時(shí)要靈活

使用，并要注意公式的逆向使用.

使學(xué)生進(jìn)一步二

1、必做題：課本P123習(xí)題3-2A組和鞏固本節(jié)課E

第2題(1)(2)(3)(4)點(diǎn)內(nèi)容，設(shè)計(jì)選，

作業(yè)布置第3題.學(xué)生獨(dú)立完成是為了培養(yǎng)學(xué)/