2022屆高考數(shù)學(xué)高考熱身訓(xùn)練及最后一講（教師版講稿）

2022屆數(shù)學(xué)高考熱身訓(xùn)練及最后一講（絕密）

（教師版講稿）2022-6-4

一'填空題主要考點(diǎn)：

1.集合（簡易邏輯），2.復(fù)數(shù)，3.概率，4.統(tǒng)計(jì)，5.算法、流程圖，6.雙

曲線與拋物線，7.立體幾何，8三角圖像性質(zhì)9.線性規(guī)劃，10.不等式，11.向

量，12.直線和圓，13.函數(shù)導(dǎo)數(shù)，14.數(shù)列。填空題的能力題體現(xiàn)在考試說

明中的。級（8個(gè)）以及3級（36個(gè)）中，近幾年，主要體現(xiàn)在：導(dǎo)數(shù)，三

角計(jì)算，解析幾何（直線與圓），平面向量（基本定理與數(shù)量積），不等式（線

性規(guī)劃'基本不等式或函數(shù)），數(shù)列綜合，函數(shù)綜合等.

二、解答題主要考點(diǎn)：

15.三角與向量，16.立體幾何，17.應(yīng)用題，18.解析幾何，19.函數(shù),

20.數(shù)列

一、填空題：本題共14小題,每小題5分，計(jì)70分.不需寫解答,請把答案寫

在答題紙指定位置上.

1（集合或簡易邏輯）

1.全集。={123,4,5},集合A={1,3,4},8={3,5},則或缶門8）=▲.{1,2,4,5}

【評析】（1）審題：“交”、“并”“補(bǔ)”要注意區(qū)別；（2）集合的理解及規(guī)范表

示，集合思想，集合與充要條件；

1-1.已知集合人={1,。-1},8=12,31,且Ac8制21，則實(shí)數(shù)a的值為▲.3.

1-2.A={x［（x—1）2<3X+7},貝“ADZ的元素個(gè)數(shù)為6,變：AnMAnM

2

1-3函數(shù)/（尤）=x+辦為奇函數(shù)充要條件是°=

a+i）（x-i）2-------------

2（復(fù)數(shù)）

2.已知算數(shù)z滿足（l+i）z=-l+5i,（i是虛數(shù)單位），則其共輒復(fù)數(shù)三=

▲.2-3z

【評析】(1)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念(B級要求)，如：實(shí)部、虛部等，(2)復(fù)數(shù)乘

除法運(yùn)算，模的運(yùn)算性質(zhì)，共根復(fù)數(shù)概念及簡單性質(zhì)。

2-1.若復(fù)數(shù)z滿足z?+4=0,則z=▲.±2i

2-3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i(其中i為虛數(shù)單位)，則z的模為,

z的實(shí)部是一1,在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為▲.

考查復(fù)數(shù)運(yùn)算、模的性質(zhì)見考前提醒。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i與3+2i的模相等，

z的模為2。

3(概率)

3.已知4瓶飲料中有且僅有2瓶是果汁飲料，從這4瓶飲料中隨機(jī)取2瓶，

則所取兩瓶中至少有一瓶是果汁飲料的概率是▲?工

-------------------6

3-1若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)機(jī)、〃作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)

產(chǎn)在直線x+y=5下方的概率為.【說明】點(diǎn)P在直線x+y=5下

方的情況有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六種可能,故其概率

6_

6x66,

3-2在長為12cm的線段相上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段

ACCB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為.

【說明】設(shè)線段AC的長為xcm,則線段C3的長為(12-x)cm,那么矩形的面

積為x(12-x)cm?,由x(i2—x)<32,解得x<4或r>8.又0<x<12,所以該矩形面積

小于32cm2的概率為2.

3

3-3在AA8C中，設(shè)瑟=(2-仁3)元=(2,4)且|畫《4,壯2,則AA8C為直角三角

形的概率為..?.AWC為Rt△的％的值為T,-2,3,而基本事件數(shù)為

7,：.p=~.頻率

4(統(tǒng)計(jì))

1015202530日期

（第4題圖）

4.某鮮花店對一個(gè)月的鮮花銷售數(shù)量（單位：支）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)時(shí)間是4月1

日至4月30日，5天一組分組統(tǒng)計(jì)，繪制了如圖的鮮花銷售數(shù)量頻率分布

直方圖.已知從左到右各長方形的高的比為2：3：4：6：4：1,且第二組

的頻數(shù)為180,那么該月共銷售出的鮮花數(shù)（單位：支）為▲.答案：

1200.

4-1將參加夏令營的500名學(xué)生編號為001,002,…，500,采用系統(tǒng)抽樣的方

法抽取一個(gè)容量為50的樣本,且隨機(jī)抽得的號碼為003,這500甲乙

9895

名學(xué)生分住在三個(gè)營區(qū)，編號從001到200在第一營區(qū)，從201

到355在第二營區(qū)，從356到500在第三營區(qū)，則第三個(gè)營區(qū)”

nJJ1

被抽中的人數(shù)為.

4-2甲、乙兩名同學(xué)在五次考試中數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)用莖葉圖

表示如圖所示，則甲、乙兩名同學(xué)成績較穩(wěn)定(方差較小)的

是.【答】乙.

—1—1

【說明】x甲=￡98+99+105+115+118)=107,xc=§(95+106+108+

112+114)=107.

s多=|[(98-107)2+(99-107)2+(105-107)2+(115-107)2+(118-107)2]=

66.8,

si=1[(95-107)2+(106-107)2+(108-

-------------開始

107)2+(112—107)2+(114—107)2]=44.即”

乙較穩(wěn)定.'-4I\yA4-RI

Whilei<5

|B-A-B|

5（流程圖）a<-a-k-b

b<—a+2b|A一A-8|

5.如圖程序運(yùn)行的結(jié)果是—▲

輸出A,B.

EndWhile

結(jié)束

PrinthI

（第5題圖）

（第5題）

5-1如圖是一個(gè)算法流程圖.若輸入A=3,B=5,則輸出A,B的值分別為

▲.

6.頂點(diǎn)在原點(diǎn)且以雙曲線三-曠2=1的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線方程是▲.

【評析】圓錐曲線基本量及幾何意義；注意兩種有心圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及標(biāo)

準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。如：天津高考題：拋物線y=ad的

準(zhǔn)線方程為無=L，則實(shí)數(shù)a的值為▲；

4

【說明】注意漏解和增解，提醒學(xué)生認(rèn)真審題。長軸(實(shí)軸)長為2a,而不

是。等都是易錯(cuò)點(diǎn)，準(zhǔn)線和漸近線的區(qū)別。

漸近線、準(zhǔn)線錯(cuò)題

7(立體幾何)7.給出下列命題：

(1)若兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面；

(2)若兩個(gè)平面平行，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定垂直于另一個(gè)平

面；

(3)若兩個(gè)平面垂直，那么垂直于其中一個(gè)平面的直線一定平行于另一個(gè)平

面；

(4)若兩個(gè)平面垂直，那么垂直于它們交線的直線一定垂直于其中一個(gè)平面.

則其中所有真命題的序號是▲.

7-1.底面邊長為2,側(cè)棱與底面成60。的正四棱錐的側(cè)面積為▲.4叔

7-2設(shè)a,b為不重合的兩條直線，a4為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：

(1)若aua,。a,a,6是異面直線，那么。〃a;(2)若a〃a且/?〃a,則a〃6；

(3)若共面，那么a//b;(4)若a_La,b\\13,且a||A,則a〃夕.

正確命題的序號

7-3如圖，三棱柱ABC-ABC的所有棱長均等于1，且

幺43=幺AC=6(),則該三棱柱的體積是▲.

變：1、該三棱柱的全面積是.

2、若A，A,8,C是球面上四點(diǎn)，則球的表面積(第11題)

為_________

8(三角)

8.已知/(x)=3sin(2x-E),若存在ce(O,二)，使/(x+a)=-/(a-x)對一切實(shí)數(shù)％怛成

62

立，貝卜=▲,工

2

變式：f(x+a)--f(x-a)>/(x+a)=/(a-x)呢？周期、軸對稱，(?€(0,乃)呢？

PM-PN=O,貝?。荨?4.

8-3計(jì)算卡tanlCT+4夜cos80。的值等于

【角星析】V6tan10°+472cos80°=^2(^tanl00+4sinl0°)=^^sinlO+2sin20

vOo1U

V§sinl00+2sin(30°—10°)

)=也

=Rcos10°

8-4.將函數(shù)/(尤)=2sin[2x+q的圖像向右平移儀e>0)個(gè)單位，再將圖像上每一

點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍,所得圖像關(guān)于直線對稱,則。的最小值

為▲.

8-5已知△ABC中，3（CA+CB）AB=4AB2,則%5=______________.

id.rijD

8.（雙曲線與拋物線）

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A為雙曲線/-丁=4的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和

點(diǎn)C在雙曲線的右支上，△ABC是等邊三角形，則△A3C的面積為

▲—.【答案】126

【評析】考查雙曲線的方程及幾何性質(zhì).雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性

質(zhì)雖然是A級要求，

但考查頻率較高，復(fù)習(xí)時(shí)要梳理好知識點(diǎn)，要在解題中注重形與數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.

圓錐曲線基本量及幾何意義；注意兩種有心圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及標(biāo)準(zhǔn)方程的

統(tǒng)一形式；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。如：天津高考題：拋物線y=/的準(zhǔn)線方程為

x=-,則實(shí)數(shù)a的值為▲；

4

注意漏解和增解，提醒學(xué)生認(rèn)真審題。長軸（實(shí)軸）長為2a,而不是a等都

是易錯(cuò)點(diǎn)，準(zhǔn)線和漸近線的區(qū)別。漸近線、準(zhǔn)線錯(cuò)題

9.（函數(shù)性質(zhì)）

9.已知定義在集合A上的函數(shù)f（x）=log2（x-l）+log2（2x+l）,其值域?yàn)椋?,1],貝l」A=

▲?（1，f]

【評析】考查對數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域和值域.函數(shù)復(fù)習(xí)中要進(jìn)一步加強(qiáng)概念的

理解，就定義域和值域問題的研究，既要關(guān)注由定義域確定值域，也要關(guān)注

由值域研究定義域.

9-1設(shè)a,AeR,若函數(shù)/（X）=F：2X+3,為偶函數(shù)，則他的值為

▲—?【答案】-6

【評析】考查函數(shù)的奇偶性，分段函數(shù)，三次函數(shù)等.復(fù)習(xí)中要能多角度認(rèn)識

函數(shù)單調(diào)性、奇偶性，

特別注意借助函數(shù)圖象加深對函數(shù)性質(zhì)的理解.

9-2定義在R上的函數(shù)人X)滿足咒X)+危+5)=16,當(dāng)％￡(—1,

則函數(shù)危)在［0,2014］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.604

【說明】由/(x)+/(x+5)=16,可知/(x—5)+/(%)=16,則/(x+5)-f(x-5)=0,所

以/W是以10為周期的周期函數(shù).在一個(gè)周期(-1,9］上，函數(shù)/(x)=Y—2,在

xe(-1,4］區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，在xe(4,9］區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，故/(x)在一個(gè)周期上僅

有3個(gè)零點(diǎn)，由于區(qū)間(3,2013］中包含201個(gè)周期，又xe［0,3］時(shí)也存在一個(gè)零

點(diǎn)x=2,故/(x)在［0,2013］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3x201+1=6(M

9-3已知函數(shù)=,若/(/(-2))>//)，則k的取值范圍

(x-1)2x>0

是?(log(9,4)

2

10(不等式)若x>0,v>0.則至耳的最小值為▲.近

10-1.(1)不等式(x-2)Jx-l20的解集是▲.［2,+oo)u{l}

(2)(Ixl-1)0-2)>0的解集為▲.(―1,1)U(2,+8)

(3)設(shè)偶函數(shù)/(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)，且/(2)=1,則不等式*/(x)-1］<0的

解集為▲.

10-2已知函數(shù)/(%)=4+2%—1|,若tzVOV—1,且共4)=/(份，貝ij的

取值范圍是.

【評析】(1)畫示意圖的意識、習(xí)慣(解答題也是如此)！

(2)不等式的解法——利用實(shí)數(shù)相關(guān)性質(zhì)等價(jià)轉(zhuǎn)化；或“以形助數(shù)”，尤其注

意一元二次不等式的求解

11(充要條件)

11.設(shè)實(shí)數(shù)a>l,b>\,貝是"Ina—ln6>a-6”成立的▲條件.【答

案】充要

(請用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必

要”中之一填空)

【評析】考查充要條件的概念及函數(shù)的單調(diào)性.轉(zhuǎn)化的途徑有二：一是變形為

通過斜率研究；一是變形為lna-a>lnb-b,通過構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx-x單調(diào)性研

究.補(bǔ)講充要條件證明方法。

12(平面向量)

12.在中，3=45°,M,N分別為邊AC,AB的中點(diǎn)，且兩.而=2國.通，

則爵+等的值為▲?【答案】2點(diǎn)

【評析】本題主要考查三角形和平面向量數(shù)量積等知識與運(yùn)算，考查運(yùn)用所學(xué)

知識分析問題與解決

問題的能力.

方法一：設(shè)麗=c,BC=a.麗?/=2西??？苫癁?/p>

■^(a2—c2)=2(a.c—寺/),即+c。)=2a,c,

22

由3=45?？傻?|(|fl|+|c|)=V2|al-|c|,

即占1=2夜，所以鏢+普=2忘.

acBCBA

方法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)'.

A(^~c,^-c)9C(a,O),M

M嗎c*,4c),N吟c,*c)._

BTC*

由麗7./=2標(biāo).麗，可得

3(c、2-<z2)=2(^c2-^-ac)=c2->/2ac,

化簡得/+。2=2/四，即H=2也，所以第+普=20.

acBCBA

13(基本不等式)

13.已知實(shí)數(shù)％,y,Z滿足x+y+z=O,x2+y2+z2=\,則z的最大值是▲.

思路一：(基本不等式)借助等量關(guān)系求變量，容易想到利用基本不等式，

這也是解決此類問題的常用方法.由，得仁丁?+/)由巨匕中

x2+y2+z2=\［\-z2=x2+y2V22

得V+y2z魚身，所以1一隈片，解得故z的最大值是逅.

2233

思路二：(判別式法)從方程角度，該題是解的存在性問題，據(jù)此可得

y=-(x+z),x2+j2+z2=1Wx2+(x+z)2+z2-1=0,化簡得2x?+2zr+2z?-1=0,因

為此方程有根，所以除4i-酩z-DNO,得z2“，故z的最大值是遠(yuǎn).

33

(1V

13-1.已知函數(shù)/⑴?5)X<Q,若/(7(-2))>/出，則左的取值范圍

(x-1)2x>0

是?(log,9,4)

2

13-2已知函數(shù)/(x)是定義在正實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意x>0,都

有/V(x)-lnx］=l+e,若則川尸?e.

【說明】"r)-lnx必為常數(shù)函數(shù)，否則存在兩個(gè)不同數(shù)，其對應(yīng)值均為1+e,

與單調(diào)函數(shù)矛盾.所以可設(shè)/(x)-lnx=c.貝!J/(x)=lnx+c.將C代入，得/(c)=l+e,

即lnc+c=l+e.

y=lnx+x是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)C=e時(shí)，lnc+c=l+e成立，/(x)=lnx+e.則

")=e.

13-4定義在R上的函數(shù)段)滿足五%)十危+5)=16,當(dāng)X￡(—1,4］時(shí)，段)三x2—2，,

則函數(shù)段)在［0,2014］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.604

【說明】由/(x)+/(x+5)=16,可知f(x-5)+/(x)=16,則/(x+5)—/(x—5)=0,所

以/(x)是以10為周期的周期函數(shù).在一個(gè)周期(-1,9］上，函數(shù)2,在

xe(-1,4］區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，在xe(4,9］區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，故/⑶在一個(gè)周期上僅

有3個(gè)零點(diǎn)，由于區(qū)間(3,2013］中包含201個(gè)周期，又xe［0,3］時(shí)也存在一個(gè)零

點(diǎn)x=2,故/(x)在［0,2013］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3x201+1=604.

14.設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列｛斯｝,滿足的4=2014,且存在正整數(shù)2,

使0,小4,M成等比數(shù)列，則公差d的所有可能取值之和為▲.

【解析】本題主要考等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個(gè)最基本的數(shù)列.求解時(shí)應(yīng)注意

基本量的方法，注意目標(biāo)意識的應(yīng)用，注意減元意識的滲透.無窮整數(shù)數(shù)

歹!J,意味著公差d非負(fù).

解:易知d=。,成立.

當(dāng)d〉0時(shí)，%4=q+534=2014nq=2014—53d

4=。54+(%-54=2014+(4-54M

2

a54=%4=(2014-534乂2014+(攵-54M=53(38-引[2014+(攵-54M=2014x2014

(38-d12014+(&-54d)]=38x2014

-(k-54)d2=0n(A—54M=38(左一107)

Ad—54d=38d—38x107=(4—38次=54—38x107

54d—38x10754(d—38)+54x38—38x10738x5338x53

=54+54+GN*又

d—38—d—38J-3838—d

q=2014-534=53(38-d)〉0n38-d>038—4=1,2,19

...0<38—d<38

d>Q.?4=37,36,19

二、解答題：本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明,證明過

程或演算步驟,請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).

在中，角A,B,。所對的邊分別為mb,c,tanc=迎生嗯.

cosA4-cosB

(1)求c；

(2)若△ABC的外接圓直徑為1,求的取值范圍.

解：⑴因?yàn)閠anC=sinA+sin8即sinC_sin4+sin8

cosA+cosBcosCcosA+cosB

J所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,

即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,

得sin(C-A)=sin(B-C).................................4

分

所以C-A=8-C,或C-A=T-(B-C)(不成立).

即2C=A+B,得C4...............................................7

分

⑵法一：由C=].=1+a,B=]-a,0<A,B<冬,知段<a<與.

因a=2RsinA=sinA,b=2RsinB=sinB,

9分

故a+b=(sinA+sinB)=sin傳+a)+sin傳-a)=x/3COS2

--<a<—9-<cosa<1?—<a+b<y/3...............................................14

3322

分

法—a+0=sinA+sinB=sinA+sin(T-A)=]sinA+三cosA=Gsin(A+令...11分

.2.7171.7T57C1./A亢、<3仄.....1AZk

0MvA<—,—<AH—<—，一<sin(>4H—)<1,—<〃+/?<\J314刀

3666262

法三：c=2RsinC=*,.,.；=/+從"=(a+6)2",由基本不等式得a+bwG(當(dāng)

且僅當(dāng)a=A時(shí)取等號)，又由兩邊之和大于第三邊得4+6>走，.?.3

22

變式：(1)AABC為銳角三角形呢？(2)求〃+尸的取值范圍，(4)若

cos(B+馬=二求sinA的值.(4)求三角形面積最大值。

63

（2）由C=^,^A=^+a,B=^-a,0<A,B<冬,知-界a若.

因a=2RsinA=sinA,b=2/?sin8=sin8,

故/+〃=sin?A+sin?B=…產(chǎn)+1-cos2g

=1-^cos（冬+2a）+cos（專-2a）=1+^-cos2a-

由-.vac。,知一孕<2a<冬，一｝<cos2aW1,故曰</+從W,

JJJJ4*?乙

15.（本小題滿分14分）

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PC，8c=4,AC=2.M為BC的中點(diǎn),

N為AC上一點(diǎn)，且MN〃平面兩5,MN=&.p

求證：（1）直線四〃平面刖；/款

（2）平面他CJ_平面PMV./1I\

證明：（1）因?yàn)镸V〃平面如?，AflVu平面MC,/,%[!\

//\

平面PABn平面ABC^AB,-------M-----"c

所以MN〃AB.................3分（第15題）

因?yàn)镸Vu平面加V,AB<z平面癡V,

所以他〃平面PMV.........................................6

分

（2）因?yàn)镸為8C的中點(diǎn)，MN//AB,

所以N為AC的中點(diǎn)................................8

分

因?yàn)?C=4,AC^2,所以A/C=2,NC=1,

由于MN=Q,所以MN2+NC2=MC2,

所以WAC...........................................10

分

因?yàn)樘?PC,AN=CN,所以PNJ.AC,

又MN,PNu平面PMN,MNCPN=N,

所以AC，平面

PMN................................12分

因?yàn)锳Cu平面他C,

所以平面ABC，平面

PMN...........................................................................................14分

17.（本小題滿分14分）

根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，某工藝品廠的日產(chǎn)量最多不超過20件，每日產(chǎn)品廢品率p

2

與日產(chǎn)量x（件）之間近似地滿足關(guān)系式p=17（日產(chǎn)品廢

A-60,I0WxW20,xeN*

540

品率=-X1OO%）-已知每生產(chǎn)一件正品可贏利2千元，而生產(chǎn)一

件廢品則虧損1千元.（該車間的日利潤y=日正品贏利額-日廢品虧損額）

（1）將該車間日利潤y（千元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；

（2）當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤最大？最大日利潤是幾千元？

【評析】：對應(yīng)用題（1）反復(fù)讀題，提取有效信息?。?）注意所引進(jìn)變量的取

值范圍（如：是正實(shí)數(shù)、還是正自然數(shù)）、各個(gè)量的單位、近似運(yùn)算的要示；

（3）轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，對數(shù)學(xué)模型處理的規(guī)范性要求不可忽視（如用導(dǎo)數(shù)

方法求最值，借助列表，說明單調(diào)性等都是必須的過程）；（4）作答不可少，

不給扣分的機(jī)會

17.（1）由題意可知，

24x-2x2

1WxW9,xwN*,

15-x

y=2x(1一p)-px=<4分

5.d

.鏟一兩10WxW20,xeN".

24x-2x2十0

(2)考慮函數(shù)/(x)=

5x3

-x--,10/W20,

.3180

9。

當(dāng)1WxW9時(shí),r(x)=2-令f'(x)=0,得x=15-3石.

(15F)2

當(dāng)l《x<15-3/時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)在口,15-38上單調(diào)增

當(dāng)15-3石9時(shí),/'(x)<0,函數(shù)〃力在(15-3/,9］上單調(diào)減.

當(dāng)15-3君<xW9時(shí)，/1(x)<0,函數(shù)/(x)在(15-3石,9］上單調(diào)減.

所以當(dāng)x=15-3石時(shí)，)(X)取得極大值，也是最大值,

又x是整數(shù)，/⑻*，/⑼=9,所以當(dāng).8時(shí)，/(x)有最大值……10

分

當(dāng)10WxW20時(shí)，/'(x)=--—=100-X<0,所以函數(shù)/(x)在［10,20］上單調(diào)減,

36060

所以當(dāng).1。時(shí)，〃X)取得極大值竽，也是最大值.

由于岑〉?，所以當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為10件時(shí)，日利潤最大.

答：當(dāng)該車間的日產(chǎn)量為10件時(shí)，日禾I」?jié)欁畲?，最大日禾I」?jié)櫴敲笄г?……

9

14分

18.(本小題滿分16分)

o2/q

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，+方=1的離心率為竽，兩

個(gè)頂點(diǎn)分別為A1(—2,0),A2(2,0).過點(diǎn)0(1,0)的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn),

直線AXM與NA2的交點(diǎn)為G.

(1)求實(shí)數(shù)。，。的值;

(2)當(dāng)直線MN的斜率為1時(shí)，若橢圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)尸】，尸2使得△戶1?和

△尸2“N的面積為5,求S的取值范圍;

(3)求證：點(diǎn)G在一條定直線上.

(第18題圖)

18.解析：（1）由題設(shè)可知a=

2............1分

因?yàn)閑=半，即:=坐，所以

又因?yàn)?2=。2—。2=4—3=1,所以h—

1?...........2分

（2）由題設(shè)可知，橢圓的方程為，+9=1,直線MN的方程為y=%—1.

設(shè)M（%i，yD，N3，＞2），聯(lián)立方程組J4+'I消去y可得5/一8%=0,

〔尸%一1

8

解得尤1=0,%2=亍

QQ

將％1=0,%2=區(qū)，代入直線的方程，解得M=-1,竺=亍

________________Q

所以MN—，（—產(chǎn)+⑴一絲產(chǎn)=5

小..........4分

設(shè)與直線MN平行的直線m方程為y=%+一

聯(lián)立方程組Ia+'=l,消去y可得5^+8忒+4B—4=0,

Iy—x~\-X

若直線機(jī)與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則滿足△=64萬-20（4萬-4）=0,解得％

=±巾........6分

當(dāng)直線m為y=L小時(shí)，直線/與根之間的距離為后=

地

小,

當(dāng)直線m為y=%+小時(shí)，直線/與根之間的距離為.」T—血=

嫄

4........8分

也

設(shè)點(diǎn)C到MN的距離為d,要使△CMN的面積為S的點(diǎn)C恰有兩個(gè)，

則需滿足&vd〈d2,即厄」vdv曲」.

r14rLLrr4小一4

因1為S=1d?MN=三小d,所以一弓一<S<

44+4八

八餐一?.......10分

(3)方法一設(shè)直線AtM的方程為y=Z](%+2),直線A2N的方程為y=%2(%

-2).

聯(lián)立方程組14+’1,消去y得(1+4島2濡+]6由2%+]6防2—4=0,

ly=%i(%+2)

解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(言富，-TZ7T7).

1I4/Cj1I4/C1

同理,可解得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(岸,

—4^2

1+4心2)12分

4kl-422

1+4由21+4茯

由M,D,N三點(diǎn)共線，有2,化簡得伏2—33(4%的

2—幽2~8Z:2-2

1+4212T1+必22T

+1)=0.

由題設(shè)可知由與k2同號，所以％2

3鬲.14分

憶器黑，解得交點(diǎn)G的坐標(biāo)為低筌,道).

聯(lián)立方程組

...,,_..2(俗+22)2(%1+321)

將k?=3k\代入點(diǎn)G的橫坐標(biāo)'倚XG=/=爾

所以點(diǎn)G恒在定直線％=4

上..........16分

方法二顯然，直線MN的斜率為0時(shí)不合題意.

設(shè)直線MN的方程為x^my+1.

令m=0,解得M(l,孚)，N(l,一坐)或M(l,—)?N(l,)?

當(dāng)M(l,)?Ml，一當(dāng)時(shí)，直線AM的方程為y=票;+坐，直線4N

的方程為曠=jx-5.

y=￡x+害

聯(lián)立方程組J,解得交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4,73）；

〔》一213

當(dāng)M（l,一坐），N（l,坐）時(shí)，由對稱性可知交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4,一?。?

若點(diǎn)G恒在一條定直線上，則此定直線必為％=

4........12分

下面證明對于任意的實(shí)數(shù)m,直線A.M與直線A2N的交點(diǎn)G均在直線x

=4上.

設(shè)M(jq,y),N(%2，＞2)，G(4,yo).

Vi-0y0即產(chǎn)黑

由點(diǎn)Ai，M,G三點(diǎn)共線，有

x\+24+2’

再由點(diǎn),N,G三點(diǎn)共線，有肥=晨，即產(chǎn)鼻.

6y2y2

所以①

‘%i+2X2-2,

將xi—my\+1,x2—my2+1代入①式，化簡得2沖42—3。1+m)=

0.②14分

聯(lián)立方程組（1+"=1,消去％得（加+4曠+2沖—3=0,

1%=沖+1

-2m

從而有、1+竺=m2+4，""m2+4*

將其代入②式,有2,扁一3.薪駕=°成立.

所以，當(dāng)初為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線4M與直線&N的交點(diǎn)G均在直線％=4

上...........16分

18.【評析】對解析幾何題，要力求多拿分！

第（1）問：注意提醒學(xué)生分清橢圓的類型，焦點(diǎn)在y軸上，以及橢圓中的基

本量的關(guān)系。若是軌跡問題；也可以直接借助幾何直觀說明其軌跡。

第（2）問：可以從特殊到一般的思路，類比的思想，用」換上的技巧可以減

k

少計(jì)算量。利用各個(gè)條件，構(gòu)造方程或方程組，構(gòu)造方程時(shí)，注意幾何直觀的

應(yīng)用，如求切斜率，可以用待定系數(shù)法，也可以借助切線段、半徑所在的直角

三角形直接求出傾角的正切值。

第（3）問：函數(shù)值域的求法，轉(zhuǎn)化與換元的思路，解析幾何近兩年考的比較

多的是定點(diǎn)、定值問題，這種求范圍的文題，值得大家注意。

19.（本小題滿分16分）

已知。，人是不相等的正數(shù)，在。，b之間分別插入加個(gè)正數(shù)0,。2,…，

即和正數(shù)"，口，…,

bm,使a,a\,做,…，am,8是等差數(shù)列，a,b\,bz,???,hm,b是等比

數(shù)列.

（1）若m=5,管=1，求￡的值；

（2）若。=M（2￡N*,222）,如果存在〃（〃￡N*,6W.W加）使得%一5=①，

求A的最小值及此時(shí)m的值；

（3）求證：n<m）.

19.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為夕，

r?,b-a6b

=

貝^~6-'q=\a

a~\~b

。3—Cl+3d2，byaq

...........................................................2分

因?yàn)楦?1，所以2a—5y[ab+2。=0,解得,=4或

1

4分

4,

A—1tA一1

(2)因?yàn)?UZ=Q+(m+l)d,所以d=，從而得a〃=a+\~raxn

m+l6Zm+1

]n

因?yàn)?kz=axg〃7+i,所以（y=Am+L從而得

n

(2—1)(幾—5)

因?yàn)閍〃-5=b〃.所以鬲X〃=QX2"/+1.

m+1

鹿

因?yàn)椤＃?。，所?+—=

m+1

m-v1

（*）..............................6分

因?yàn)榫舖,〃金N*,所以1+-二%J」為有理數(shù).

要使（*）成立，則義后T必須為有理數(shù).

因?yàn)閚W/71,所以〃＜加+1.

n

若2=2,則義肝T為無理數(shù)，不滿足條件.

同理，2=3不滿足條

件.8分

-^―且且2n

當(dāng)丸=4時(shí)，4根+1=2m+1.要使2機(jī)+1為有理數(shù)，則座7必須為整數(shù).

加十1

又因?yàn)閚<m,所以僅有2n=m-\-\滿足條件.

35-5)

所以1+—工1=2，從而解得〃=15,機(jī)=29.

m+1

綜上，丸最小值為4,此時(shí)m為

29............................................................10分

(3)證法一：設(shè)c”>0,S”為數(shù)列｛金｝的前〃項(xiàng)的和.

先證：若｛金｝為遞增數(shù)列，貝IJ｛?。秊檫f增數(shù)列.

證明：當(dāng)〃￡N*時(shí)，

因?yàn)椤笆?—>5”+曰=哼1S〃，所以學(xué)〈黑，即數(shù)歹吟｝為遞

增數(shù)列.

同理可證，若｛金｝為遞減數(shù)列，則｛號｝為遞減數(shù)

歹U............................................................12分

①當(dāng)Qa時(shí)，q>L當(dāng)〃￡N*,后加時(shí)，落吟.

qq(q""一])aq(<y"-1)

q—\1即吟〃1+1產(chǎn),時(shí)一a

即

m+1n

b-a

因?yàn)?。b〃=aqn,d=

m+1

bn—a

所以-,即a+〃d>h〃，an>bn.

②當(dāng)。Vq時(shí)，OVgVl,當(dāng)〃￡N*,時(shí)，.<~.

/m+1n

aq(qm+i-])aq0—1)

q—\<7—1

即

因?yàn)镺VqVl,所以的二丁>四尸.以下同①.

11n

綜上，an>兒("￡N*,nW

tn)............................................................16分

證法二：設(shè)等差數(shù)列。，0,。2,…，即，6的公差為d,等比數(shù)列。，",

。2，…，bm，分的公比為4,

b=2a(2>0,2W1).

]

A—1

得=

由題意,d—m+\a，QClXlTlH_19

A—1幾

所以ci=ci~\~nd=