湘教版數學七年級下冊2.2.1 平方差公式 同步課件

2.2乘法公式2.2.1平方差公式1.使學生理解和掌握平方差公式.2.會利用公式進行計算，能夠掌握平方差公式的一些應用.3.經歷探索平方差公式的過程，增強了數和符號的意識，培養(yǎng)學生發(fā)現問題、提出問題的能力.4.在探索和交流的過程中，培養(yǎng)學生與人協作的習慣，質疑的精神.【教學重點】弄清平方差公式的來源及其結構特點，能用自己的語言說明公式及其特點.【教學難點】準確理解和掌握公式的結構特征.多項式與多項式是如何相乘的？(x

＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn思考計算下列各式，你能發(fā)現什么規(guī)律：(a+1)(a-1)=a2-a+a-12=

，(a+2)(a-2)=a2-2a+2a-22=

，(a+3)(a-3)=a2-3a+3a-32=

，(a+4)(a-4)=a2-4a+4a-42=

.a2-12a2-22a2-32a2-42同學們通過觀察這幾個式子的左右兩邊，有什么發(fā)現嗎？左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式的兩項中，有一項相同，另一項互為相反數；右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方減去互為相反數項的平方。我們用多項式乘法來推導一般情況：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.(a+b

)(

a

-

b

)=a2-

ab+ab

-b2=

.a2-b2(a+b

)(

a

-

b

)=a2-b2平方差公式

兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差.1、公式特征:2、使用公式應該注意:相乘的兩個括號中有一對相同的數（式子），有一對互為相反數的數（式子）找清哪個是相同的，即公式中的a；哪個是互為相反數的，即公式中的b3、平方差公式對我們的幫助:可以使我們在計算這種類型的多項式乘法時直接用公式更加快速和簡便1、口答下列各題：(l)(－a+b)(a+b)=_________.(2)(a－b)(b+a)=_________.(3)(－a－b)(－a+b)=________.(4)(a－b)(－a－b)=_________.a2－b2a2－b2b2－a2b2－a22、練一練相同項相反項結果(x+y)(x-y)(3x-5)(3x+5)（-2a-b)(b-2a)(-7m+8n)(-8n-7m)(2a-6b)(-2a-6b)x-6b-7m-2a3x-b,b-5,58m,-8m2a,-2a(-6b)2-(2a)2(-7m)2-(8m)2(-2a)2-b2(3x)2-52x2-y2y,-y討論如圖（1），將邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形，并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成如圖（2）所示的長方形，你能用這兩個圖解釋平方差公式嗎？ab（1）aba-b（2）圖（2）中的面積為：(a+b)(a-b)，圖（1）中的剩余部分的面積為a2-b2.由題可知，圖（2）的面積為圖（1）剩余部分的面積，所以(a+b)(a-b)=a2-b2.對于滿足平方差公式特征的多項式的乘法，可以利用該公式進行簡便計算.（1）(2x+1)(2x-1)；

（2）(x+2y)(x-2y).【例1】運用平方差公式計算：分析：第（1）題，可以把“2x”看成平方差公式中的“a”，“1”看成“b”；第（2）題，可以把“x”看成平方差公式中的“a”，“2y”看成“b”.解：（1）(2x+1)(2x-1)=(2x)2-12=4x2-1.（2）(x+2y)(x-2y)=x2-(2y)2=x2-4y21、利用平方差公式計算：(1)(5＋6x)(5－6x)；(2)

(x－2y)(x＋2y)；(3)

(－m＋n)(－m－n).解：(1)原式

＝52－(6x)2＝25－36x2.(2)原式

＝

x2－(2y)2＝

x2－4y2.(3)原式

＝(－m)2－n2＝

m2－n2.注意：1.先把要計算的式子與公式對照；

2.哪個是

a?哪個是

b?【例2】運用平方差公式計算：（1）；（2）(4a+b)(-b+4a).解：（1）（2）(4a+b)(-b+4a)

=(4a+b)(4a-b)=(4a)2-b2

=16a2-b2.將括號內的式子轉化為平方差公式形式.自主探究想一想：(1)計算下列各式，并觀察他們的共同特點：6×8=4814×16=22469×71=48997×7=49

15×15=225

70×70=4900

(2)從以上的過程中，你發(fā)現了什么規(guī)律？請用字母

表示這一規(guī)律，你能說明它的正確性嗎？(a?1)(a+

1)=a2

?

1，【例3】計算：1002×998解：1002×998=(1000+2)(1000-2)=10002-22=1000000-4=9999962、計算：(1)103×97；(2)118×122.解：103×97=(100＋3)(100－3)=1002－32=10000－9=9991.解：118×122=(120－2)(120＋2)=1202－22=14400－4=14396.注意：不能直接應用公式的，要適當變形才可以應用.1.下列式子可用平方差公式計算嗎?為什么?

如果能夠，怎樣計算

?(1)(a+b)(

a

b)；(2)(a?b)(b?a)；(3)(a+2b)(2b+a)；

(4)

(a?b)(a+b)；(5)(

2x+y)(y?2x).(不能)(不能)(不能)(能)(不能)?(a2

?b2)=

?a2

+b22、下面各式的計算對不對？如果不對，應怎樣改正？（1）(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－2；（2）(－2x－1)(2x－1)＝4x2－1．解：（1）(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－4；（2）(－2x－1)(2x－1)＝(-1-2x)(-1+2x)＝1-4x2

3、計算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2；(2)(2x－5)(2x+5)

－2x(2x－3).解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4.(2)原式

=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25.4.運用平方差公式計算：（2）(3a+b)(3a-b)；（1）(m+2n)(m-2n)；（4）(-1+5a)(-1-5a).（3）=9a2-b2=m2-4n2

=1-25a2.=

x2-y2(1)(a+3b)(a-

3b)；解：原式

=(2a+3)(2a－3)=(2a)2－32=4a2－9.=a2－9b2.解：原式

=a2－(3b)2(2)(3+2a)(－3+2a)；5.利用平方差公式計算：(3)(－2x2－y)(－2x2+y)；解：原式

=(－2x2)2－y2=4x4－y2.(4)(－5+6x)(－6x－5).解：原式

=(－5+6x)(－5－6x)=(－5)2－(6x)2=25－36x2.6、先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，

其中

x＝1，y＝2.解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)

＝4x2－y2－(4y2－x2)

＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.

當

x＝1，y＝2時，原式＝5×12－5×22＝－15.方法總結：利用平方差公式先化簡再求值，一般不要先直接代入數值計算．解：(1)原式＝(50＋1)(50－1)＝502－12

＝2500－1＝2499.(3)原式＝(9x2－16)－(6x2＋5x－6)

＝3x2－5x－10.(1)51×49；(3)(3x+4)(3x-

4)-

(2x+3)(3x-

2).(2)13.2×12.8；7.利用平方差公式計算：(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22

＝169－0.04＝168.96.（1）202×198；（2）49.8×50.2.8.計算：解:（1）202×198=(200+2)(200-2)=40000–4