數(shù)理統(tǒng)計Ⅱ教學課件

數(shù)理統(tǒng)計Ⅱ2024-01-20BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目錄CONTENTS緒論概率論基礎統(tǒng)計量及其分布參數(shù)估計假設檢驗方差分析與回歸分析BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01緒論定義數(shù)理統(tǒng)計是應用概率論的結果，更深入地分析研究統(tǒng)計資料，通過對某些現(xiàn)象的頻率的觀察來發(fā)現(xiàn)該現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律性，并做出一定精確度的判斷和預測；將這些研究的某些結果加以歸納整理，逐步形成一定的數(shù)學概型。意義數(shù)理統(tǒng)計方法是其他數(shù)學方法的基礎和前提，為相關領域的課題研究提供科學的依據(jù)和有效的工具。數(shù)理統(tǒng)計的定義與意義數(shù)理統(tǒng)計的研究對象與任務研究對象數(shù)理統(tǒng)計以概率論為基礎，研究大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。任務研究如何有效地收集、整理和分析帶有隨機影響的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議。描述性統(tǒng)計推斷性統(tǒng)計統(tǒng)計建模統(tǒng)計檢驗數(shù)理統(tǒng)計的研究方法01020304對收集到的數(shù)據(jù)進行整理、歸類、分組、繪圖等，以直觀的方式描述數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。在描述性統(tǒng)計的基礎上，利用概率論的理論和方法，對總體進行推斷和預測。根據(jù)實際問題建立統(tǒng)計模型，利用模型對數(shù)據(jù)進行擬合和預測。對模型或假設進行檢驗，判斷其是否符合實際情況或是否具有統(tǒng)計顯著性。BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02概率論基礎由樣本空間、事件域和概率測度構成的三元組，用于描述隨機試驗的基本框架。概率空間隨機事件事件的關系與運算樣本空間的子集，表示某些特定結果構成的集合。包括包含、相等、和事件、積事件、差事件等概念及運算規(guī)則。030201概率空間與隨機事件隨機變量定義在樣本空間上的實值函數(shù)，用于將隨機試驗的結果數(shù)量化。離散型隨機變量取值可數(shù)的隨機變量，如二項分布、泊松分布等。連續(xù)型隨機變量取值充滿某個區(qū)間的隨機變量，如正態(tài)分布、均勻分布等。分布函數(shù)與概率密度描述隨機變量取值規(guī)律的重要工具，包括分布函數(shù)、概率密度函數(shù)等概念。隨機變量及其分布描述隨機變量平均取值水平的指標，簡稱期望。數(shù)學期望描述隨機變量取值波動程度的指標，反映數(shù)據(jù)的離散程度。方差衡量兩個隨機變量線性相關程度的指標，用于分析多維隨機變量的相關性。協(xié)方差與相關系數(shù)更高階的數(shù)字特征，用于更全面地刻畫隨機變量的分布特性。矩與協(xié)方差矩陣隨機變量的數(shù)字特征03它們在統(tǒng)計學中的應用大數(shù)定律和中心極限定理是數(shù)理統(tǒng)計學的重要基石，為參數(shù)估計、假設檢驗等統(tǒng)計推斷方法提供了理論支持。01大數(shù)定律揭示了大量隨機現(xiàn)象平均結果的穩(wěn)定性，即當試驗次數(shù)足夠多時，頻率趨于概率。02中心極限定理闡明了大量獨立隨機變量之和的分布漸近于正態(tài)分布的規(guī)律，為統(tǒng)計分析提供了重要依據(jù)。大數(shù)定律與中心極限定理BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03統(tǒng)計量及其分布一致性隨著樣本量的增加，統(tǒng)計量的值逐漸接近被估計的總體參數(shù)值。統(tǒng)計量的定義統(tǒng)計量是基于樣本數(shù)據(jù)計算出來的量，用于描述樣本特征或推斷總體參數(shù)。它不依賴于任何未知參數(shù)，是數(shù)據(jù)分析中的基礎工具。無偏性統(tǒng)計量的期望值等于被估計的總體參數(shù)值。有效性對于同一總體參數(shù)的兩個無偏估計量，方差較小的估計量更有效。統(tǒng)計量的定義與性質(zhì)描述數(shù)據(jù)的平均水平，其分布通常接近正態(tài)分布（中心極限定理）。均值方差與標準差偏度與峰度次序統(tǒng)計量衡量數(shù)據(jù)的離散程度，方差服從卡方分布（當樣本來自正態(tài)分布總體時）。描述數(shù)據(jù)分布形態(tài)的統(tǒng)計量，用于檢驗數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布。如中位數(shù)、四分位數(shù)等，用于描述數(shù)據(jù)的位置特征，其分布與樣本量及總體分布有關。常用統(tǒng)計量及其分布抽樣分布當樣本量足夠大時，不論總體分布如何，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布。中心極限定理抽樣定理在給定置信水平和樣本量的情況下，可以構造出總體參數(shù)的置信區(qū)間，用于估計總體參數(shù)的可能取值范圍。描述從同一總體中隨機抽取的多個樣本統(tǒng)計量的分布。常見的抽樣分布有t分布、F分布和卡方分布。抽樣分布與抽樣定理BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04參數(shù)估計利用樣本矩來估計總體矩，從而獲得參數(shù)的估計值。矩估計法根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，選擇使得樣本出現(xiàn)概率最大的參數(shù)值作為估計值。最大似然估計法通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，從而得到參數(shù)的估計值。最小二乘法點估計123利用樣本數(shù)據(jù)構造一個區(qū)間，使得這個區(qū)間包含總體參數(shù)真值的概率等于預先給定的置信水平。置信區(qū)間構造一個包含待估計參數(shù)的樞軸量，并根據(jù)樞軸量的分布性質(zhì)確定置信區(qū)間的端點。樞軸量法通過重復抽樣生成大量樣本，并計算每個樣本的統(tǒng)計量，從而得到統(tǒng)計量的分布及置信區(qū)間。Bootstrap方法區(qū)間估計無偏性估計量的數(shù)學期望等于被估計的總體參數(shù)，即估計量在多次抽樣下的平均值接近總體參數(shù)真值。有效性對于同一總體參數(shù)的兩個無偏估計量，有更小方差的估計量更有效。一致性隨著樣本量的增加，估計量的值逐漸趨近于總體參數(shù)的真值。估計量的評價標準BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05假設檢驗原假設與備擇假設在假設檢驗中，原假設（$H_0$）通常表示沒有差異或沒有效應，而備擇假設（$H_1$）表示存在差異或有效應。檢驗統(tǒng)計量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出的一個數(shù)值，用于決定是否拒絕原假設。拒絕域是檢驗統(tǒng)計量取值的范圍，當檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域時，我們拒絕原假設。顯著性水平（$alpha$）是事先設定的一個概率值，用于確定拒絕原假設的臨界值。P值是觀察到的數(shù)據(jù)與原假設不一致的程度，當P值小于或等于顯著性水平時，我們拒絕原假設。檢驗統(tǒng)計量與拒絕域顯著性水平與P值假設檢驗的基本思想用于檢驗單個正態(tài)總體均值是否等于某個給定值。單樣本t檢驗當總體標準差已知時，用于檢驗單個正態(tài)總體均值是否等于某個給定值。單樣本Z檢驗用于檢驗單個正態(tài)總體方差是否等于某個給定值?？ǚ綑z驗單個正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗兩獨立樣本t檢驗用于檢驗兩個獨立正態(tài)總體均值是否存在顯著差異。配對樣本t檢驗用于檢驗兩個相關正態(tài)總體均值是否存在顯著差異，通常用于前后測量或配對實驗設計。F檢驗用于檢驗兩個正態(tài)總體方差是否存在顯著差異。兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗03Kruskal-WallisH檢驗：用于檢驗多個獨立樣本的分布是否存在顯著差異。01符號檢驗：用于檢驗兩個相關樣本的中位數(shù)是否存在顯著差異。02秩和檢驗（Mann-WhitneyU檢驗）：用于檢驗兩個獨立樣本的分布是否存在顯著差異。非參數(shù)假設檢驗BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA06方差分析與回歸分析通過比較不同水平下樣本均值的差異，推斷總體均值是否存在顯著差異。原理步驟應用場景提出假設、構造檢驗統(tǒng)計量、確定顯著性水平、計算檢驗統(tǒng)計量觀測值和P值、作出統(tǒng)計決策。用于研究單一因素對因變量的影響，如不同施肥量對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響。單因素方差分析步驟提出假設、構造檢驗統(tǒng)計量、確定顯著性水平、計算檢驗統(tǒng)計量觀測值和P值、作出統(tǒng)計決策。應用場景用于研究兩個因素對因變量的交互作用，如不同品種和施肥量對農(nóng)作物產(chǎn)量的影響。原理同時考慮兩個因素對因變量的影響，通過比較不同水平組合下樣本均值的差異，推斷總體均值是否存在顯著差異。雙因素方差分析原理通過建立一個自變量和一個因變量之間的線性關系模型，研究它們之間的相關關系。步驟確定回歸模型、估計模型參數(shù)、進行模型檢驗、利用模型進行預測。應用場景用于預測和控制一個因變量受一個自變量影響的程度，如預測銷售額與廣告投入之間的