微積分復(fù)習(xí)課課件

微積分復(fù)習(xí)課課件2024-01-25微分學(xué)基本概念與運(yùn)算積分學(xué)基本概念與運(yùn)算微分方程初步多元函數(shù)微分學(xué)無窮級數(shù)簡介總結(jié)回顧與拓展延伸目錄CONTENTS01微分學(xué)基本概念與運(yùn)算VS設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量$x$在$x_0$處有增量$Deltax$，$(x_0+Deltax)$也在該鄰域內(nèi)時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時(shí)極限存在，則稱函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)。幾何意義函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$的幾何意義表示函數(shù)曲線在點(diǎn)$P_0(x_0,f(x_0))$處的切線的斜率（導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率）。導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義對于常數(shù)C，其導(dǎo)數(shù)為0，即$(C)'=0$。常數(shù)求導(dǎo)例如$sinx$的導(dǎo)數(shù)為$cosx$，$cosx$的導(dǎo)數(shù)為$-sinx$等。三角函數(shù)求導(dǎo)對于形如$y=x^n$的冪函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為$y'=nx^{n-1}$。冪函數(shù)求導(dǎo)對于形如$y=a^x$的指數(shù)函數(shù)（其中a為常數(shù)且a>0，a≠1），其導(dǎo)數(shù)為$y'=a^xlna$。指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)對于形如$y=log_ax$的對數(shù)函數(shù)（其中a為常數(shù)且a>0，a≠1），其導(dǎo)數(shù)為$y'=frac{1}{xlna}$。對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)0201030405常見函數(shù)求導(dǎo)法則高階導(dǎo)數(shù)定義如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱該函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，記為$f''(x)$或$frac{d^2y}{dx^2}$。類似地，可以定義更高階的導(dǎo)數(shù)。計(jì)算方法逐次求導(dǎo)，每次對前一次求得的導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)。高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在某區(qū)間內(nèi)有定義，$x_0$及$x_0+Deltax$在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$可表示為$Deltay=ADeltax+o(Deltax)$（其中A是不依賴于$Deltax$的常數(shù)），而$o(Deltax)$是比$Deltax$高階的無窮小，那么稱函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$是可微的，且ADeltax稱作函數(shù)在點(diǎn)$x_0$相應(yīng)于自變量增量$Deltax$的微分，記作$dy$，即$dy=ADeltax$。微分在近似計(jì)算、誤差估計(jì)以及最優(yōu)化問題等方面有廣泛應(yīng)用。例如，利用微分進(jìn)行函數(shù)的局部線性逼近（泰勒公式），或者求解函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)等。微分定義應(yīng)用微分概念及應(yīng)用02積分學(xué)基本概念與運(yùn)算定積分的定義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上有界，且$a=x_0<x_1<...<x_{n-1}<x_n=b$是$[a,b]$的一個(gè)分劃，若$lim_{lambdato0}sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$存在，則稱此極限值為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的定積分，記為$int_{a}^f(x)dx$。定積分的性質(zhì)定積分具有線性性、可加性、保號性、絕對值不等式性質(zhì)等。定積分定義及性質(zhì)設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上有原函數(shù)$F(x)$，則稱$F(x)$為$f(x)$在$I$上的一個(gè)原函數(shù)，并稱$intf(x)dx=F(x)+C$（其中$C$為任意常數(shù)）為$f(x)$在$I$上的不定積分。通過湊微分、換元法、分部積分法等方法求解不定積分。不定積分計(jì)算方法不定積分的計(jì)算方法不定積分的定義通過牛頓-萊布尼茲公式、換元法、分部積分法等方法求解定積分。定積分的計(jì)算方法若函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，且$F(x)$是$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)，則$int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$。牛頓-萊布尼茲公式定積分計(jì)算方法設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[a,+infty)$或$(-infty,b]$或$(-infty,+infty)$上有定義，若$lim_{Ato+infty}int_{a}^{A}f(x)dx$或$lim_{Bto-infty}int_{B}^f(x)dx$或$lim_{Ato+infty,Bto-infty}int_{B}^{A}f(x)dx$存在，則稱此極限值為函數(shù)$f(x)$的廣義積分。廣義積分的定義通過換元法、分部積分法等方法求解廣義積分，注意在求解過程中需要判斷積分的斂散性。廣義積分的計(jì)算方法廣義積分簡介03微分方程初步

微分方程概念及分類微分方程定義描述未知函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的方程微分方程分類根據(jù)方程中未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)進(jìn)行分類，如一階、二階等線性與非線性微分方程根據(jù)方程中未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是否為線性組合進(jìn)行分類03積分因子法構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)姆e分因子，使得方程兩邊同時(shí)乘以該因子后，可以化為可分離變量的形式01一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式$y'+p(x)y=q(x)$02解法步驟通過積分因子法將方程轉(zhuǎn)化為可分離變量方程，再求解得到通解一階線性微分方程解法解法步驟通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將高階微分方程降為一階微分方程進(jìn)行求解變量代換法令$y'=p$或$y'=p(y)$，將原方程化為關(guān)于$p$的一階微分方程進(jìn)行求解可降階高階微分方程類型$y''=f(x,y')$或$y''=f(y,y')$可降階高階微分方程解法二階常系數(shù)線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式$y''+py'+qy=f(x)$解法步驟先求解對應(yīng)的齊次方程得到通解，再通過常數(shù)變易法求解非齊次方程得到特解，最后將通解和特解疊加得到原方程的通解常數(shù)變易法在齊次方程的通解中引入適當(dāng)?shù)某?shù)變易，使得該解滿足非齊次方程的初始條件或邊界條件二階常系數(shù)線性微分方程解法04多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)概念及性質(zhì)設(shè)$D$為一個(gè)非空的$n$元有序數(shù)組的集合，$f$為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個(gè)有序數(shù)組$(x1,x2,…,xn)∈D$，通過對應(yīng)規(guī)則$f$，都有唯一確定的實(shí)數(shù)$y$與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則$f$為定義在$D$上的$n$元函數(shù)。多元函數(shù)定義包括有界性、單調(diào)性、周期性、連續(xù)性等。多元函數(shù)的性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則偏導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$處的偏導(dǎo)數(shù)記作$f_x(x0,y0)$或$frac{partialz}{partialx}|_{(x0,y0)}$，$f_y(x0,y0)$或$frac{partialz}{partialy}|_{(x0,y0)}$。偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則包括鏈?zhǔn)椒▌t、乘積法則、商的法則等。如果函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$處的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示為$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A$和$B$不依賴于$Deltax$和$Deltay$而僅與$x$和$y$有關(guān)，$rho=(Deltax)^2+(Deltay)^2)^{1/2}$，則稱函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$處可微，而$ADeltax+BDeltay$稱為函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$處的全微分。全微分的定義在近似計(jì)算、誤差估計(jì)等方面有廣泛應(yīng)用。全微分的應(yīng)用全微分概念及應(yīng)用多元函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x0,y0)$的某鄰域內(nèi)有定義，若對于該鄰域內(nèi)異于$(x0,y0)$的任意點(diǎn)$(x,y)$，都有$f(x,y)<f(x0,y0)$（或$f(x,y)>f(x0,y0)$），則稱函數(shù)在點(diǎn)$(x0,y0)$處取得極大值（或極小值）。多元函數(shù)極值的求法包括必要條件、充分條件等。同時(shí)需要掌握一些特殊類型的極值問題，如條件極值等。多元函數(shù)極值問題05無窮級數(shù)簡介常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性判斷方法通過比較級數(shù)的通項(xiàng)與已知收斂或發(fā)散的級數(shù)通項(xiàng)，來判斷原級數(shù)的收斂性。利用級數(shù)相鄰兩項(xiàng)的比值的極限來判斷級數(shù)的收斂性。通過求級數(shù)通項(xiàng)的n次方根的極限來判斷級數(shù)的收斂性。將級數(shù)通項(xiàng)表示為某函數(shù)的積分，通過判斷該積分的收斂性來判斷級數(shù)的收斂性。比較判別法比值判別法根值判別法積分判別法將函數(shù)表示為冪級數(shù)形式，即將其展開為無窮級數(shù)。冪級數(shù)展開收斂域確定冪級數(shù)的性質(zhì)通過求解冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間，進(jìn)而確定冪級數(shù)的收斂域。了解冪級數(shù)的和函數(shù)、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等性質(zhì)，以便更好地應(yīng)用冪級數(shù)。030201冪級數(shù)展開與收斂域確定將周期函數(shù)表示為傅里葉級數(shù)形式，即將其展開為無窮級數(shù)，包括正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。傅里葉級數(shù)展開通過狄利克雷充分條件等判斷傅里葉級數(shù)的收斂性。收斂性判斷舉例說明傅里葉級數(shù)在信號分析、圖像處理等領(lǐng)域的應(yīng)用，如頻譜分析、濾波器等。應(yīng)用舉例傅里葉級數(shù)展開與應(yīng)用舉例06總結(jié)回顧與拓展延伸微分學(xué)基礎(chǔ)導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則與公式關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧高階導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用積分學(xué)基礎(chǔ)關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的計(jì)算法則與公式定積分的概念與性質(zhì)關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧定積分的計(jì)算與應(yīng)用微分方程初步微分方程的基本概念關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧一階微分方程及其解法可降階的高階微分方程微分方程的應(yīng)用舉例關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧03隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，未正確應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t。01導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的易錯(cuò)點(diǎn)02復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，中間變量的處理不當(dāng)。易錯(cuò)難點(diǎn)剖析與糾正123參數(shù)方程求導(dǎo)時(shí)，未正確區(qū)分參數(shù)與自變量的關(guān)系。積分計(jì)算中的易錯(cuò)點(diǎn)不定積分計(jì)算時(shí)，忽視常數(shù)C的存在。易錯(cuò)難點(diǎn)剖析與糾正010203定積分計(jì)算時(shí)，未正確確定積分上下限。積分換元時(shí)，未正確進(jìn)行變量代換。微分方程求解中的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)難點(diǎn)剖析與糾正01忽視微分方程的定義域。02忽視微分方程的初始條件。03錯(cuò)誤使用微分方程的通解公式。易錯(cuò)難點(diǎn)剖析與糾正利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際變化，如邊際成本、邊際收益等。邊際分析利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)