河南省南陽(yáng)市鄧州市城區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年下學(xué)期九年級(jí)開學(xué)尖子生數(shù)學(xué)試卷（含答案）

-2024學(xué)年第二學(xué)期河南省鄧州市城區(qū)重點(diǎn)中學(xué)開學(xué)尖子生九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，每小題３分，共３０分）1．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半徑為5，則的長(zhǎng)為（）A．B．C．π D．2．如圖，關(guān)于x的函數(shù)y的圖象與x軸有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，分別是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），對(duì)此，小華認(rèn)為：①當(dāng)y＞0時(shí)，﹣3＜x＜﹣1；②當(dāng)x＞﹣3時(shí)，y有最小值；③點(diǎn)P（m，﹣m﹣1）在函數(shù)y的圖象上，符合要求的點(diǎn)P只有1個(gè)；④將函數(shù)y的圖象向右平移1個(gè)或3個(gè)單位長(zhǎng)度經(jīng)過原點(diǎn)．其中正確的結(jié)論有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．如圖，有一張矩形紙片ABCD．先對(duì)折矩形ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN，MN．觀察所得的線段，若AE＝1，則MN＝（）A．B．1 C． D．24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AE C．D．5．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（x1，y1），當(dāng)點(diǎn)Q（x2，y2）滿足2（x1+x2）＝y(tǒng)1+y2時(shí)，稱點(diǎn)Q（x2，y2）是點(diǎn)P（x1，y1）的“倍增點(diǎn)”．已知點(diǎn)P1（1，0），有下列結(jié)論：①點(diǎn)Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”；②若直線y＝x+2上的點(diǎn)A是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）；③拋物線y＝x2﹣2x﹣3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”；④若點(diǎn)B是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，則P1B的最小值是；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點(diǎn)為E，若，則sinC的值是（）A．B． C． D．7．已知點(diǎn)A（x1，y1）在直線y＝3x+19上，點(diǎn)B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3，x1＜x2＜x3，則x1+x2+x3的取值范圍是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜18．如圖1，點(diǎn)P從等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再?gòu)脑擖c(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)y隨x變化的關(guān)系圖象，則等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為（）A．6 B．3 C． D．9．如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，連接DE．設(shè)AB＝a，BC＝b，DE＝c，給出下面三個(gè)結(jié)論：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②B．①③ C．②③ D．①②③10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x+b的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C．若點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），，則k的值是（）A．B．C． D．二．填空題（共5小題，每小題３分，共１５分）11．“神舟”十四號(hào)載人飛行任務(wù)是中國(guó)空間站建造階段的首次載人飛行任務(wù)，也是空間站在軌建造以來(lái)情況最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務(wù)．如圖，當(dāng)“神舟”十四號(hào)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方的F點(diǎn)處時(shí)，從點(diǎn)F能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)記為Q點(diǎn)，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，則圓心角∠POQ所對(duì)的弧長(zhǎng)約為km（結(jié)果保留π）．12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到△DBE的位置，其中點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)．如果圖中陰影部分的面積為4.5，那么∠CBE的正切值是．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將BCD沿BD折疊得到△BED，連接AE．若DE⊥AB于點(diǎn)F，BC＝10，則AF的長(zhǎng)為．14．矩形ABCD中，M為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AD上，且AN＝AB＝1．當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為．15．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①abc＜0；②3b+2c＞0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝kx的兩根為x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正確的是.（只填寫序號(hào)）三．解答題（共8小題，滿分７５分）16．（９分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）和B（1，2），與過點(diǎn)（0，4）且平行于x軸的直線交于點(diǎn)C．（1）求該函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)x＜3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝x+n的值大于函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接寫出n的值．17．（９分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，DG是⊙O的直徑，弦GF的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)H，且GH⊥AC．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若DE＝2，GH＝3，求的長(zhǎng)l．18．（９分）如圖，AC是菱形ABCD的對(duì)角線．（1）尺規(guī)作圖：將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，連接BD，CE．①求證：△ABD～△ACE；②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．19．（９分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．（1）若對(duì)于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；（2）若對(duì)于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．20．（９分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于點(diǎn)M，D是線段MC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段DM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，求證：D是MC的中點(diǎn)；（2）如圖2，若在線段BM上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足DF＝DC，連接AE，EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．21．（１０分）某工廠計(jì)劃從現(xiàn)在開始，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號(hào)設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬(wàn)元/件．設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備的售價(jià)為z萬(wàn)元/件，售價(jià)z與x之間的函數(shù)解析式是z＝，其中x是正整數(shù)．當(dāng)x＝16時(shí)，z＝14；當(dāng)x＝20時(shí)，z＝13．（1）求m，n的值；（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為y件，且y與x滿足關(guān)系式y(tǒng)＝5x+20．①當(dāng)12＜x≤20時(shí)，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤(rùn)最大？最大的利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？②當(dāng)0＜x≤20時(shí)，若有且只有3個(gè)生產(chǎn)周期的利潤(rùn)不小于a萬(wàn)元，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．（１０分）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間．如圖1，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構(gòu)成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點(diǎn)E，若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．請(qǐng)回答下列問題：（1）如圖2，拋物線AED的頂點(diǎn)E（0，4），求拋物線的解析式；（2）如圖3，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長(zhǎng)；（3）如圖4，在某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線透過A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為CK，求CK的長(zhǎng)．23．（１０分）問題提出如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于點(diǎn)G，探究∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題探究（1）先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)α＝90°時(shí)，直接寫出∠GCF的大??；（2）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題拓展將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)α＝120°時(shí)，若，求的值．參考答案一．選擇題（共10小題，每小題３分，共３０分）1．C2．C3．C4．C5．C6．B7．8．A9．D10．C．二．填空題（共5小題）11．π12．13．214．2或1+15．①③．三．解答題（共8小題）16．（９分）解：（1）把點(diǎn)A（0，1），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）得：b＝1，k+b＝2，解得：k＝1，b＝1，∴該函數(shù)的解析式為y＝x+1，由題意知點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，當(dāng)y＝x+1＝4時(shí)，解得：x＝3，∴C（3，4）；（2）由（1）知：當(dāng)x＝3時(shí)，y＝x+1＝4，因?yàn)楫?dāng)x＜3時(shí)，函數(shù)y＝x+n的值大于函數(shù)y＝x+1的值且小于4，所以當(dāng)y＝x+n過點(diǎn)（3，4）時(shí)滿足題意，代入（3，4）得：4＝×3+n，解得：n＝2．17．（９分）（1）證明：連接OA，過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，如圖：∵AB＝AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴AO為∠BAC的平分線，∵⊙O與AB相切于點(diǎn)D，DG是⊙O的直徑，∴OD為⊙O的半徑，∴OD⊥AB，又OM⊥AC，∴OM＝OD，即OM為⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，如圖：∵點(diǎn)O為⊙O的圓心，∴OD＝OG，OE＝OF，在△ODE和△OGF中，，∴△ODE≌△OGF（SAS），∴DE＝GF，∵DE＝2，GH＝3，∴GF＝2，∴FH＝GH﹣GF＝3﹣2＝1，∵AB＝AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴OB＝OC，∠B＝∠C，又OE＝OF，∴BE＝CF，∵GH⊥AC，EN⊥AB，∴∠BNE＝∠CHF＝90°，在△BNE和△CHF中，，∴△BNE≌△CHF（AAS），∴EN＝FH＝1，在Rt△DEN中，DE＝2，EN＝1，∴sin∠EDN＝＝，∴銳角∠EDN＝30°，由（1）可知：OD⊥AB，∴∠ODE＝90°﹣∠EDN＝90°﹣30°＝60°，又OD＝OE，∴△ODE為等邊三角形，∴∠DOE＝60°，OD＝OE＝DE＝2，∴的長(zhǎng)l＝．18．（９分）解：（1）如圖1，作法：1．以點(diǎn)D為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作弧，2．以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)E，3．連接DE、AE，△ADE就是所求的圖形．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵DE＝BC，AE＝AC，∴△ADE≌△ABC（SSS），∴△ADE就是△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖形．（2）①如圖2，由旋轉(zhuǎn)得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴＝，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．②如圖2，延長(zhǎng)AD交CE于點(diǎn)F，∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAC，∵AE＝AC，∴AD⊥CE，∴∠CFD＝90°，設(shè)CF＝m，CD＝AD＝x，∵＝tan∠DAC＝tan∠BAC＝，∴AF＝3CF＝3m，∴DF＝3m﹣x，∵CF2+DF2＝CD2，∴m2+（3m﹣x）2＝x2，∴解關(guān)于x的方程得x＝m，∴CD＝m，∴cos∠DCE＝＝＝，∴cos∠DCE的值是．19．（９分）解：（1）∵對(duì)于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵對(duì)稱軸為x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，a＞0，∴（x1，y1）離對(duì)稱軸更近，x1＜x2，則（x1，y1）與（x2，y2）的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，∴＞t，即t≤．20．（９分）（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM＝DE，∠MDE＝2α，∵∠C＝α，∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝α，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DM＝DC，即D是MC的中點(diǎn)；（2）∠AEF＝90°，證明：如圖，延長(zhǎng)FE到H使FE＝EH，連接CH，AH，∵DF＝DC，∴DE是△FCH的中位線，∴DE∥CH，CH＝2DE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM＝DE，∠MDE＝2α，∴∠FCH＝2α，∵∠B＝∠C＝α，∴∠ACH＝α，△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠ACH，AB＝AC設(shè)DM＝DE＝m，CD＝n，則CH＝2m，CM＝m+n，.DF＝CD＝n，∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝m+n，∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，∴CH＝BF，在△ABF和△ACH中，，∴△ABF≌△ACH（SAS），∴AF＝AH，∵FE＝EH，∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，21．（１０分）解：（1）把x＝16時(shí)，z＝14；x＝20時(shí)，z＝13代入y＝mx+n得：，解得m＝﹣，n＝18；（2）①設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，由（1）知，當(dāng)12＜x≤20時(shí)，z＝﹣x+18，∴w＝（z﹣10）y＝（﹣x+18﹣10）（5x+20）＝（﹣x+8）（5x+20）＝﹣x2+35x+160＝﹣（x﹣14）2+405，∵﹣＜0，12＜x≤20，∴當(dāng)x＝14時(shí)，w取得最大值，最大值為405，∴工廠第14個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤(rùn)最大，最大的利潤(rùn)是405萬(wàn)元；②當(dāng)0＜x≤12時(shí)，z＝15，∴w＝（15﹣10）（5x+20＝25x+100，∴w＝，則w與x的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知，若有且只有3個(gè)生產(chǎn)周期的利潤(rùn)不小于a萬(wàn)元，∴當(dāng)x＝13，15時(shí)w＝403.75，當(dāng)x＝12，16時(shí)，w＝400，∴a的取值范圍400＜a≤403.75．22．（１０分）解：（1）∵AB＝3m，AD＝BC＝4m，E（0，4），∴A（﹣2，3），B（﹣2，0），C（2，0），D（2，3），設(shè)拋物線表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，將A、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)代入表達(dá)式，得，解得．∴拋物線表達(dá)式為．答：拋物線表達(dá)式為．（2）設(shè)G（﹣t，3），則L（﹣t﹣），∴，解得（負(fù)值舍去），∴GM＝2t＝．答：兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長(zhǎng)為m．（3）