第3章 函數(shù)的數(shù)值逼近

1第三章函數(shù)的數(shù)值逼近

代數(shù)多項式插值分段插值與保形插值樣條函數(shù)插值曲線擬合的最小二乘方法函數(shù)的最佳平方逼近引言

一、函數(shù)的工程化表達對于很多實際工程計算問題，函數(shù)是通過實驗或觀測得到的，表達形式上為函數(shù)表，無解析表達形式。2.雖然有些函數(shù)存在解析的表達式，但形式過于復(fù)雜而不易使用，通常也會造一個函數(shù)表。(例如：大家熟悉的三角函數(shù)表，對數(shù)表，平方根表，立方根表。)

需求：為了研究函數(shù)的變化規(guī)律，往往需要求出不在表上的函數(shù)值。解決方法：用易于計算的簡單函數(shù)近似函數(shù)表和復(fù)雜函數(shù)。設(shè)函數(shù)y=(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，且已知(x)在點上的值為，若存在一簡單函數(shù),使得成立，就稱為的插值函數(shù)，點稱為插值節(jié)點,包含插值節(jié)點的區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間，求解函數(shù)的方法稱為插值法。x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)用曲線g

(x)來近似f(x)，以此計算x點值二維插值前二維插值后若是次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式，即其中為實數(shù)，就稱為插值多項式，相應(yīng)的插值法稱為多項式插值。如果為分段的多項式，就是分段插值，若為三角多項式，就稱為三角插值。研究問題：（1）滿足插值條件的P(x)

是否存在唯一？（2）若滿足插值條件的P(x)

存在，如何構(gòu)造P(x)？（3）如何估計用P

(x)近似替代f

(

x)產(chǎn)生的誤差？一.插值多項式的存在唯一性由(1)式可得(2)設(shè)是的插值多項式，表示次數(shù)不超過n的所有多項式的集合。且。稱插值多項式存在且唯一，就是指在中有且僅有一個滿足(1)式。插值多項式的唯一性

方程組(2)有唯一解即，證明：上式稱為范德蒙(Vandermonde)行列式范德蒙行列式的性質(zhì)：由于時，，故定理1滿足條件(1)的插值多項式存在且唯一。y

0x

y=f(x)

的幾何意義一、線性插值與拋物線插值1.線性插值(n=1)設(shè)已知區(qū)間端點處的函數(shù)值，求線性插值多項式，使其滿足y=L1(x)xk

xk+1

代數(shù)多項式插值

——過兩點(xk

,yk)與

(xk+1,

yk+1)

的直線或L1(x)是兩個線性函數(shù)的線性組合稱為節(jié)點上的線性插值基函數(shù)線性函數(shù)可以把的表達式寫為

y10

xk

xk+1

x

y10

xk

xk+1

x

lk(x)

lk+1(x)滿足線性插值基函數(shù)2.拋物插值法

(n

=2時的二次插值)

設(shè)插值節(jié)點為：,求二次插值多項式，使得

先求

插值基函數(shù)lk-1(x),lk(x),lk+1(x),且在節(jié)點滿足的幾何意義，--過三點的曲線。插值多項式L2(x)是三個二次函數(shù)的線性組合y

1

0

xy

1

0

xy

1

0

xxk-1

xk

xk+1

xk-1

xk

xk+1

xk-1

xk

xk+1

拉格朗日多項式插值(n次)niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項式使得條件：無重合節(jié)點，即基函數(shù)必須滿足：li(x)

-==j

ijiiiixxCxl)(11)(拉格朗日插值多項式與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點f每個li

有n

個根x0…

xi…xn問題：這種插值得到的

近似的截斷誤差如何？截斷誤差：這個截斷誤差也被稱為插值多項式的余項。為理論上分析方便，我們引入記號：它的一階導(dǎo)數(shù)：拉格朗日插值基函數(shù)也可以寫成：定理設(shè)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)存在，節(jié)點，是節(jié)點上的插值多項式，則對于任何，插值余項為證明：由給定條件知在節(jié)點上為零，即，于是其中是與x有關(guān)的待定系數(shù)?，F(xiàn)在把x看成[a,b]上一個固定點，作函數(shù)根據(jù)插值條件及余項定義，可知在點及x處均為零，故在[a,b]上有n+2個零點，根據(jù)羅爾(Rolle)定理，在的兩個零點之間至少有一個零點。故在[a,b]內(nèi)至少有n+1個零點。對再應(yīng)用羅爾定理，可知在[a,b]內(nèi)至少有n

個零點。依次類推，在[a,b]內(nèi)至少有一個零點，記為，使于是將它帶入原式，得到余項表達式。注：

通常不能確定

x

,而是估計,

x(a,b)

將作為誤差估計上限。

當(dāng)

f(x)為任一個次數(shù)

n

的多項式時，,可知，即插值多項式對于次數(shù)

n的多項式是精確的。例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50

并估計誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計算

利用這里而

sin50=0.7660444…)185(50sin10

pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的實際誤差

0.01001

利用sin50

0.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實際誤差

0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的x

所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。n=2)185(50sin20

pL0.76543

sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差

0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……分段低次插值與保形插值例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端點附近抖動越大，稱為Runge現(xiàn)象Ln(x)

f(x)

分段低次插值盡量充分利用已有的信息插值多項式的次數(shù)不能持續(xù)無限制的增大&&Runge現(xiàn)象矛盾低次分段插值實際上,很少采用高于7次的插值多項式分段線性插值：所謂分段線性插值就是通過插值點用折線連接起來逼近f（x）

分段線性插值在每個區(qū)間上，用1階多項式

(直線)逼近f(x):記，易證：當(dāng)時，一致失去了原函數(shù)的光滑性。為什么前面分析的分段線性插值完全沒有光滑性呢？解決方法：不僅令插值函數(shù)在節(jié)點上與原函數(shù)值相等，還令其導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)值也相等。原因之一是插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沒能逼近原來函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。厄密插值多項式法

我們一般只考慮一階導(dǎo)數(shù)的情況，以及函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值個數(shù)相等的情況。已知節(jié)點及在其上的函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表要求插值多項式滿足條件分析：這里給出了2n+2個條件，可唯一確定一個次數(shù)不超過2n+1的多項式，其形式為2n+2個系數(shù)呢？問題：分析：直接根據(jù)來確定這些系數(shù)顯然非常復(fù)雜。如何確定中這仍然采用求拉格朗日插值多項式的基函數(shù)方法。令插值基函數(shù)為及共2n+2個，每一個基函數(shù)都是2n+1次多項式，且滿足條件于是，插值多項式，可以寫成用插值基函數(shù)表示的形式求求求解其中為拉格朗日基函數(shù)，

c，d為待定系數(shù)令？由得：如何求取對數(shù)求導(dǎo)故：求解其中為拉格朗日基函數(shù)，

e，f為待定系數(shù)令？同理代入：得：設(shè)有及都是厄密插值問題的解。證明厄密插值的唯一性。證明：那么為次數(shù)的多項式，且滿足條件：這說明都是的二重零點，即共有2n+2個零點。即，n次方程最多有n個零點。為Hermite插值多項式，

則定理

(Hermite插值余項)證明與拉格朗日余項公式證明類似.問題：已知，函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表分段三次厄密插值(保形插值)對于每個小區(qū)間求3次多項式使其滿足插值條件這種插值即為分段三次厄密插值，也叫保形插值。存在且唯一，具體表達式：高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值Hermite插值分段插值但分段線性插值在節(jié)點處不一定光滑分段Hermite插值但導(dǎo)數(shù)值不容易提?。ㄕ业剑┤螛訔l插值（不需要每點的導(dǎo)數(shù)值，并滿足二階光滑的工程需求）發(fā)展背景三次樣條插值(Cubicsplineinterpolation)前面討論的分段低次插值函數(shù)都有一致收斂性，但光滑性較差，對于像高速飛機的機翼形線，船體放樣等型值線往往要求有二階光滑度，即有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。問題：早期工程師制圖時，把富有彈性的細長木條(樣條)用壓鐵固定在樣點上，在其他地方讓它自由彎曲，然后畫下長條的曲線，成為樣條曲線。它實際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點即樣點上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。解決方案：數(shù)學(xué)定義：若函數(shù),且在每個小區(qū)間上是三次多項式，其中是給定節(jié)點，則稱

是節(jié)點上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點給定函數(shù)值，并成立則稱為三次樣條插值函數(shù)。分析：

因在上是3次多項式，即為4n個待定系數(shù):共有個條件

要唯一確定，還必須附加條件(2邊界條件)。個條件已有條件：內(nèi)部條件：

個條件

連續(xù)性4n個待定系數(shù)常見邊界條件有三種：注：一般不取一端是一階導(dǎo)數(shù)而另一端是二階導(dǎo)數(shù)。三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造(三轉(zhuǎn)角方程)現(xiàn)在構(gòu)造滿足插值條件及加上相應(yīng)邊界條件的三次樣條函數(shù)S(x)的表達式。若假設(shè)在節(jié)點處的值為，仿分段三次厄密插值公式，可得：

是未知的解決方法利用及邊界條件為求出，考慮S(x)在上的表達式：(首先令)對S(x)求二次導(dǎo)數(shù)得同理可得在上的表達式：(首先令)由條件可得：式子兩邊除以令有說明：(b)上式有n-1個方程,要確定n+1個未知量缺少兩個方程,由邊界條件補足.方程組成的方程組.

mj(j=0,1,…,n)在力學(xué)上叫做細梁xj(j=0,1,…,n)處的轉(zhuǎn)角，數(shù)學(xué)上叫做變化率。上式反映了mj與mj-1,mj+1的關(guān)系,因此叫做三轉(zhuǎn)角方程。的n-1個(a)上式是關(guān)于n+1個未知量上面的方程組為關(guān)于所滿足的方程組：(1)增加第1種邊界條件：則方程組變?yōu)殛P(guān)于所滿足的方程組可寫為：矛盾方程組n+1個未知量，n-1個方程如果邊界條件為第二類：如果邊界條件為自然邊界條件：如果邊界條件為第三類：令這些方程組的系數(shù)矩陣都是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，由此可知這些方程組的系數(shù)陣為非奇異矩陣，則方程組有唯一解可由解方程組的方法求解，從而可以得出的表達式，且S(x)具有連續(xù)的一階,二階導(dǎo)數(shù)(即S(x)為3次樣條插值函數(shù)）。說明：注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個端點可能需要）；而Hermite插值依賴于f在所有插值點的導(dǎo)數(shù)值。例

已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)表如下表所示。求滿足邊界條件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529分析：屬于第一類邊界條件三次樣條插值問題由第一類邊界條件：厄密插值公式由于數(shù)值逼近問題在生產(chǎn)實際和科學(xué)實驗中有很多函數(shù)，它的解析表達式是不知道的，僅能通過實驗觀察的方法測得一系列節(jié)點上的值。即得到一組數(shù)據(jù)或者說得到平面上一組點，現(xiàn)在的問題是尋求的近似表達式。用幾何語言來說就是尋求一條曲線，來擬合（平滑）這m個點，簡言之求一曲線擬合。曲線擬合是求近似函數(shù)的又一類數(shù)值方法。它不要求函數(shù)在節(jié)點處與函數(shù)同值，即不要求近似曲線過已知點，只要求它盡可能反映給定數(shù)據(jù)點的基本趨勢，在某種意義下“逼近”函數(shù)。函數(shù)逼近的兩種度量1.最佳一致逼近尋求次數(shù)的多項式P*n(x)，使的n次最佳一致逼近多項式。相應(yīng)的逼近問題稱為最佳一致逼近（或稱為極大極小逼近，或稱為理論上可以證明，對存在且唯一。多項式次最佳一致逼近切比雪夫（Chebyshev）逼近）。若存在稱為f(x)2.最佳平方逼近均方誤差尋求使其中權(quán)函數(shù)ω(x)滿足：這種逼近問題稱為最佳平方逼近問題。中的最佳平方逼近多項式。在[a,b]上可積在[a,b]任意小區(qū)間內(nèi)不恒等于0(1)在各種度量意義下最佳逼近多項式是否存在？是否唯一？（主要討論：最小二乘逼近）(2)如何具體尋找或構(gòu)造各種最佳逼近意義下多項式問題：1.基礎(chǔ)知識已知關(guān)于點集上函數(shù)，(1)內(nèi)積：定義:

內(nèi)積滿足以下四條性質(zhì)：定義

設(shè)稱為函數(shù)f(x)的歐幾里得范數(shù),或2范數(shù).(2)函數(shù)的歐幾里德范數(shù)性質(zhì)：(3)正交:若滿足則稱與在[a,b]上帶權(quán)正交。若函數(shù)族，滿足關(guān)系則稱是[a,b]上帶權(quán)的正交函數(shù)族。當(dāng)且僅當(dāng)時成立(4)函數(shù)組的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)有函數(shù)組在[a,b]上連續(xù)若在[a,b]上線性無關(guān)稱否則，稱函數(shù)組在[a,b]上線性相關(guān)若函數(shù)族中的任意有限個線性無關(guān)，則稱為線性無關(guān)函數(shù)族。例如：就是[a,b]上的線性無關(guān)函數(shù)族。定理：在[a,b]上線性無關(guān)的充分必要條件是它的克萊姆(Gramer)行列式，其中曲線擬合的最小二乘法在科學(xué)實驗的統(tǒng)計方法研究中，往往要從一組實驗數(shù)據(jù)中，尋找自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系。由于貫徹數(shù)據(jù)往往不準(zhǔn)確，因此不要求經(jīng)過所有點，而只要求在給定點上誤差按照某種標(biāo)準(zhǔn)最小。若記，誤差最小即要求向量的范數(shù)最小。如果采用最大范數(shù)，計算上困難較大，通常就采用歐式范數(shù)作為誤差量度的標(biāo)準(zhǔn)。關(guān)于最小二乘法的一般提法是：對給定的一組數(shù)據(jù)，要求在函數(shù)類中找到一個函數(shù)，使誤差平方和其中這就是一般的最小二乘逼近，用幾何語言說，就稱為曲線擬合的最小二乘法。的一般表達式是用最小二乘法求擬合曲線時，首先要確定的形式。這不單純是數(shù)學(xué)問題，還與所研究的運動規(guī)律及所得觀測數(shù)據(jù)有關(guān)。通常要從問題的運動規(guī)律及給定的數(shù)據(jù)描圖，確定的形式，并通過實際計算選出較好的結(jié)果。所表示的線性形式。若是k次多項式，那么就是n次多項式。為了使問題的提法更具有一般性，通常把最小二乘法中都考慮成加權(quán)平方和。其中是[a,b]上的權(quán)函數(shù)，它表示不同點處的數(shù)據(jù)比重不同。例如可表示在點處重復(fù)觀測的次數(shù)。用最小二乘法求擬合曲線的問題，即求下式的最小值問題:轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的極小值問題由多元函數(shù)極值的必要條件有：若記那么上式可寫為上面這個方程成為法方程，可以寫成矩陣形式：其中由于線性無關(guān)，故從而得到函數(shù)的最小二乘解為因為