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線性代數(shù)曹霑懋

§5-4對稱矩陣的相似矩陣§5-4對稱矩陣的相似矩陣對稱矩陣的性質用正交矩陣將對稱矩陣對角化用相似變換將方陣對角化小結，思考定理1

對稱矩陣的特征值為實數(shù).證明一、對稱矩陣的性質說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣．于是有兩式相減，得定理1的意義證明于是證明它們的重數(shù)依次為根據(jù)定理1（對稱矩陣的特征值為實數(shù)）和定理3(

如上)可得：設的互不相等的特征值為由定理2知對應于不同特征值的特征向量正交，這樣的特征向量共可得個.故這個單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄繕嫵烧痪仃?，則

根據(jù)上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為：二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.解例對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對角陣.(1)第一步求的特征值解之得基礎解系解之得基礎解系解之得基礎解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化于是得正交陣1.對稱矩陣的性質：三、小結(1)特征值為實數(shù)；

(2)屬于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重數(shù)和與之對應的線性無關的特征向量的個數(shù)相等；

(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值．2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：

(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)將特征向量單位化；(4)最后正交化．思考題思考題解答第五章感謝12本4羅彭婷據(jù)課堂邏輯圖整理知識結構圖內(nèi)積

[a,b]=aTb

正交向量（n）

[a,b]=0

正交向量組（n≧2）

[a,b]=0

方法：施密特正交化個數(shù)=維數(shù)特征向量正交單位化B=Λ若有可逆矩陣P，P-1AP=B（B是A的相似矩陣）線性無關向量組

對稱矩陣A＝AT

矩陣Anxn特征值~特征向量(A-

iE)對應的齊次方程組的基礎解系

B=Λ，Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)應用如：矩陣的多項式如：二次型的標準化特征值是實數(shù)，特征向量是實向量。同一個特征值的特征向量有重數(shù)個，且無關。不同的特征值的特征向量正交。

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