新教材高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊(cè)訓(xùn)練2-7-2拋物線的幾何性質(zhì)

第二章平面解析幾何2.7拋物線及其方程2.7.2拋物線的幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知拋物線C:y2=8x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于6,則直線AF的斜率為()A.2 B.±2C.22 D.±22答案D解析由題意,點(diǎn)F(2,0),因?yàn)閨AF|=xA+2=6,可得xA=4,又因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上,所以yA2=32,則yA=±42,所以點(diǎn)A(4,±42),則kAF=±422=2.已知直線y=kxk及拋物線y2=2px(p>0),則()A.直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)B.直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)C.直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)D.直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn)答案C解析∵直線y=kxk=k(x1),∴直線過點(diǎn)(1,0),又點(diǎn)(1,0)在拋物線y2=2px的內(nèi)部,∴當(dāng)k=0時(shí),直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)k≠0時(shí),直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn).3.若拋物線y2=2x上有兩點(diǎn)A,B,且AB垂直于x軸,若|AB|=22,則點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離為()A.12 B.32 C.2 D答案B解析由拋物線y2=2x,其準(zhǔn)線方程為x=12,∵AB垂直于x軸,|AB|=22,A到y(tǒng)軸的距離為2,假設(shè)A在y軸上側(cè),即y=2,代入拋物線y2=2x,求得x=點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線的距離d=1+124.P為拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn),A,B,P三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離分別是|AA1|,|BB1|,|PP1|,則有()A.|PP1|=|AA1|+|BB1|B.|PP1|=12C.|PP1|>12D.|PP1|<12答案B解析如圖所示,根據(jù)題意,PP1是梯形AA1B1B的中位線,故|PP1|=12(|AA1|+|BB1|)=12(|AF|+|BF|)=15.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△FPM為等邊三角形時(shí),其面積為()A.23 B.4 C.6 D.43答案D解析由題意知,△FPM為等邊三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥拋物線的準(zhǔn)線.設(shè)Pm24,m,則M(1,m),等邊三角形邊長(zhǎng)為1+m24得1+m24=(1+1)2∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為4,其面積為43,故選D.6.已知點(diǎn)(x,y)在拋物線y2=4x上,則z=x2+12y2+3的最小值是.答案3解析因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)在拋物線y2=4x上,所以x≥0,因?yàn)閦=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+所以當(dāng)x=0時(shí),z最小,其值為3.7.已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A,B在拋物線上,若△FAB為等邊三角形,則其邊長(zhǎng)為.

答案4±23解析因?yàn)閨FA|=|FB|及拋物線的對(duì)稱性知A,B關(guān)于x軸對(duì)稱,不妨設(shè)直線AF的傾斜角為π6,F12,0,則直線AF聯(lián)立y2=2x,則|AF|=x+p2=7±432+所以該三角形邊長(zhǎng)為4±23.8.若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),開口向上,F為焦點(diǎn),M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),A為拋物線上一點(diǎn),且|AM|=17,|AF|=3,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0),設(shè)A(x0,y0),由題意知M0,-∵|AF|=3,∴y0+p2=∵|AM|=17,∴x02∴x02=8,代入方程x02=28=2p3-p2,解得p=2或∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y或x2=8y.9.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=1.(1)求p的值;(2)直線l:y=x1交拋物線于A,B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|.解(1)由拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=1,得p2=1,所以p=2(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x消去y,得x26x+1=0,則x1+x所以|AB|=(=2=2×32=關(guān)鍵能力提升練10.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線l,過點(diǎn)F的直線交l于點(diǎn)A,與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為B,且FA=3FB,則|AB|=()A.23 B.43 C.83答案C解析拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)和準(zhǔn)線l:x=1,設(shè)A(1,a),B(m,n),∵FA=3FB,∴m+12=23,∴m+1=11.拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,則經(jīng)過點(diǎn)F與點(diǎn)M(2,2)且與拋物線的準(zhǔn)線l相切的圓有()A.1個(gè) B.2個(gè)C.0個(gè) D.無數(shù)個(gè)答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)M(2,2)在拋物線y2=2x上,又焦點(diǎn)F12,0,由拋物線的定義知,過點(diǎn)F,M且與l相切的圓的圓心即為線段FM的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn),這樣的交點(diǎn)共有2個(gè),故過點(diǎn)F,M且與l相切的圓有12.已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A(2,2),B,C,直線AB,AC是圓(x2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為()A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)A(2,2)在拋物線y2=2px上,故22=2p×2,即p=1,所以拋物線方程為y2=2x,設(shè)過點(diǎn)A(2,2)與圓(x2)2+y2=1相切的直線的方程為y2=k(x2),即kxy+22k=0,則圓心(2,0)到切線的距離d=|2k-0+2-2k|k2+1=1,解得k=±3,如圖,直線AB:y2=3(x2),聯(lián)立y-2=3(x-2),y2=2x,得3x2+(4314)x+1683=0,故xAxB=16-833,由xA=2得xB=8-433,故yB=23-63,聯(lián)立y-2=-3(x-2),y2=2x,得3x2(43+14)x+16+83=0,故xAxC=16+833,由xA=2得xC=8+433,故yC=-13.已知M,N是過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C的交點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足MF=3FN,S△OMN=3|MN|,則p的值為.

答案8解析不妨設(shè)直線MN的斜率k>0,過M,N作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為G,H,過N作NK⊥MG于K,由MF=3FN,得|MF|=3|FN|,∴|MG|=3|NH|,∴|MK|=2|NH|=2|NF|=12|MN|∴|NK|=|MN|由S△OMN=S△OMF+S△ONF=12|OF|·|NK|=38p|MN|,又S△OMN=3∴38p|MN|=3|MN|,得p=814.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后,沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.今有拋物線y2=2px(p>0),如圖,一平行x軸的光線射向拋物線上的點(diǎn)P,反射后又射向拋物線上的點(diǎn)Q,再反射后又沿平行x軸方向射出,且兩平行光線間的最小距離為3,則拋物線的方程為.

答案y2=3x解析由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得,PQ必過拋物線的焦點(diǎn)Fp2,0.當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí),易得|PQ|=當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí),設(shè)PQ的方程為y=kx-p2,P(x1,y1),Q(x2,聯(lián)立y=kx-p2,y整理得4k2x2(4k2p+8p)x+k2p2=0,所以x1+x2=p+2pk2,x1x2所以|PQ|=x1+x2+p=2p1+1k2>綜上,當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí),弦長(zhǎng)最短,又因?yàn)閮善叫泄饩€間的最小距離為3,故2p=3,∴拋物線方程為y2=3x.15.(2021全國(guó)乙,理21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p;(2)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求△PAB面積的最大值.解(1)點(diǎn)F0,p2到圓M上的點(diǎn)的距離的最小值為|FM|1=p2+41=4,(2)由(1)知,拋物線的方程為x2=4y,即y=14x2,則y'=12x.設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則易得直線lPA:y=x12xx124,直線lPB:y=x22設(shè)直線lAB:y=kx+b,聯(lián)立拋物線方程,消去y并整理可得x24kx4b=0,∴Δ=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=4b,∴P(2k,b).∵|AB|=1+k2·(x1+x2∴S△PAB=12|AB|d=4(k2+b)32又點(diǎn)P(2k,b)在圓M:x2+(y+4)2=1上,故k2=1-(b-4)24,代入①得,S△PAB=4-b2+12∴當(dāng)b=5時(shí),(S△PAB)max=205.16.如圖,已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)P(2,0)的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),直線AF,BF分別與拋物線交于點(diǎn)M,N.(1)求y1y2的值;(2)連接MN,記直線MN的斜率為k1,直線AB的斜率為k2,證明:k1k(1)解依題意,設(shè)AB的方程為x=my+2,代入y2=4x,得y24my8=0,從而y1y2=8.(2)證明設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),k1k2=y3代入y2=4x,消去x得y24ny4=0,所以y1y3=4,同理y2y4=4,k1由(1)知y1y2=8,所以k1k2=學(xué)科素養(yǎng)拔高練17.已知拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作直線l交拋物線于M,N兩點(diǎn),則|NF|9-A.23 B.C.13 D.答案D解析拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F,則F(4,0),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l為x=4,由y2=16x,x=4,可得M(4,8),N(4,8),∴|MF|=|NF|=8,∴|NF|9-4|MF|=718.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)過點(diǎn)F的直線l的方程為y=k(x由y2=16x,y=k(x-4),消y可得k2x(16+8k2)x+16k2=0,∴x1+x∴|MF|=x1+p2=x1+4,|NF|=x2+p2=x2∴1|MF|+1|NF|=x1+x2+84(x1+x18.(多選)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點(diǎn),點(diǎn)P在l上的射影為P1,則下列結(jié)論中正確的是()A.若x1+x2=6,則|PQ|=8B.以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C.設(shè)M(0,1),則|PM|+|PP1|≥2D.過點(diǎn)M(0,1)與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條答案ABC解析若直線的斜率存在,設(shè)y=k(x1),由y=k(x-1),y2=4x,得kx1+x2=2k2+4k2,x1對(duì)于A,若x1+x2=6,則k2=1,故k=1或1,|PQ|=1+1(x1+x2