第3章 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法

第3章正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法【本章內(nèi)容提要】正弦電路的基本概念；正弦量的相量表示及正弦電路的相量分析法；正弦電路的功率及功率因數(shù)；串聯(lián)諧振與并聯(lián)諧振；三相電路；互感電路與理想變壓器。

本章內(nèi)容提要重點(diǎn)：（1）正弦量的三要素；（2）正弦量的相量表示方法及相量圖；（3）R、L、C各元件VCR的相量形式；（4）正弦電路的相量分析法；（5）正弦電路的功率及功率因數(shù)的提高；（6）對(duì)稱三相電源及對(duì)稱三相電路的計(jì)算。難點(diǎn)：（1）幾個(gè)同頻率正弦電壓、電流的合成只滿足相量形式合成、瞬時(shí)值（解析式）合成，而不滿足有效值合成；（2）諧振電路的諧振條件及諧振電路的諧振特征。3.1基爾霍夫定律及支路電流分析法

3.1.1正弦量的三要素

正弦量：正弦電壓、電流和電動(dòng)勢(shì)的統(tǒng)稱正弦量。

正弦量的瞬時(shí)值：一個(gè)周期內(nèi)，正弦量在不同瞬間具有不同的值，將此稱為正弦量的瞬時(shí)值，一般用小寫字母如i（）、u（）或i、u來表示時(shí)刻正弦電流、電壓的瞬時(shí)值。

正弦量的解析式：表示正弦量的瞬時(shí)值隨時(shí)間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)式叫做正弦量的瞬時(shí)值表達(dá)式，也叫解析式，用i（t），u（t）或i、u表示。

正弦波：表示正弦量的瞬時(shí)值隨時(shí)間變化規(guī)律的圖像叫正弦量的波形。正弦電壓u（t）、正弦電流i（t）的解析式可寫為（3-1）由式（3-1）看出,一個(gè)正弦量是由振幅、角頻率和初相來確定的，稱為正弦量的三要素。它們分別反映了正弦量的大小、變化的快慢及初始值三方面的特征。1.振幅正弦量瞬時(shí)值中的最大值叫振幅，也叫峰值，振幅用來反映正弦量的幅度大小。有時(shí)提及的峰-峰值是指電壓正負(fù)變化的最大范圍，即等于2Um。必須注意，振幅總是取絕對(duì)值，即正值。在分析正弦電路時(shí)，有時(shí)也常用有效值來反映正弦量的幅度大小，正弦電壓、電流的有效值與其振幅之間具有倍的關(guān)系，即常用的交流儀表所指示的數(shù)字均為有效值。交流電機(jī)和交流電器銘牌上標(biāo)的電壓或電流也都是有效值。市電的有效值是220V，其振幅為311V。2.角頻率角頻率ω是正弦量在每秒鐘內(nèi)變化的電角度，單位是弧度/秒（rad/s）。正弦量每變化一個(gè)周期T的電角度相當(dāng)于2π電弧度，因此角頻率ω與周期T及頻率f的關(guān)系如下：（3-2）上式中，T為正弦量的周期。所謂周期，就是交流電完成一個(gè)循環(huán)所需要的時(shí)間，用字母T表示，單位為秒（s）。上式中，f為正弦量的頻率。單位時(shí)間內(nèi)交流電循環(huán)的次數(shù)稱為頻率，用f表示，據(jù)此定義可知，頻率與周期互為倒數(shù)關(guān)系。頻率的單位為1/秒，又稱赫茲（Hz），工程實(shí)際中常用的單位還有kHz、MHz、GHz、THz等，相鄰兩個(gè)單位之間是103進(jìn)制。工程實(shí)際中，往往也以頻率區(qū)分電路，例如：高頻電路、低頻電路。角頻率ω、周期T、頻率f都可用來反映正弦量隨時(shí)間變化得快慢。3.初相在正弦量的解析式（3-1）中，（ωt

+

）是隨時(shí)間變化的電角度，它決定了正弦量每一瞬間的狀態(tài)，稱為正弦量的相位角或相位，單位是弧度（rad）或度（o）。

初相是正弦量在t=0時(shí)刻的相位，用

表示，我們規(guī)定|

|≤π。初相反映了正弦量在t=0時(shí)的狀態(tài)。需要注意的是，初相的大小和正負(fù)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)（即t=0時(shí)刻）的選擇有關(guān)，選擇不同，初相則不同，正弦量的初始值也隨之不同?，F(xiàn)規(guī)定：靠近計(jì)時(shí)起點(diǎn)最近的，并且由負(fù)值向正值變化所經(jīng)過的那個(gè)零值叫做正弦量的零值，簡(jiǎn)稱正弦零值。正弦量初相的絕對(duì)值就是正弦零值到計(jì)時(shí)起點(diǎn)（坐標(biāo)原點(diǎn)）之間的電角度。初相的正負(fù)這樣判斷：看正弦零值與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的位置，若正弦零值在計(jì)時(shí)起點(diǎn)之左，則初相為正；若在右邊，則為負(fù)值；若正弦零值與計(jì)時(shí)起點(diǎn)重合，則初相為零。例3-1圖3-1給出一正弦電壓的波形，試根據(jù)所給條件確定該正弦電壓的三要素，并寫出其解析式。解由波形圖可知：電流振幅Im=20A周期T=(25–5)×2=40ms=0.04s角頻率假定此電流的解析式為

i（t）=20sin（50πt+

i）A由圖可知正弦電流在t=5ms時(shí)，i=0，即20sin（50π×0.05

+

i）=0因此50π×0.05

+

i

=0求得初相角圖3-1此正弦電流的解析式為：

i（t）=20sin（50πt）A3.1.2相位差兩個(gè)同頻率正弦量的相位之差，稱為相位差，用

表示。同樣規(guī)定|

|≤π?，F(xiàn)有兩個(gè)同頻率的正弦電流：i1（t）=I1msin（ωt

+

1

）i2（t）=I2msin（ωt

+

2）它們的相位差為

=（ωt

+

1）-（ωt

+

2

）=

1

-

2

（3-3）上式表明兩個(gè)同頻率正弦量的相位之差等于它們的初相之差。相位差不隨時(shí)間變化，與計(jì)時(shí)起點(diǎn)也沒有關(guān)系。通常用相位差

的量值來反映兩同頻率正弦量在時(shí)間上的“超前”和“滯后”關(guān)系。所謂超前，是指一個(gè)正弦量比另一個(gè)正弦量早到達(dá)振幅（或零值）。以式（3-3）為例，若

=

1

-

2＞0，表明i1（t）超前i2（t），超前的角度為

；若

=

1

-

2＜0，表明i1（t）滯后i2（t），滯后的角度為|

|。圖3-2（a）、（b）分別表示電流i1（t）超前i2（t）和i1（t）滯后i2（t）的情況。圖3-2

3種特殊的相位關(guān)系：同頻率正弦量的相位差有3種特殊的情況。（1）

=

1

-

2=0，稱電流i1（t）與i2（t）同相；（2）

=

1

-

2=±π/2，稱電流i1（t）與i2（t）正交；（3）

=

1

-

2=±π，稱電流i1（t）與i2（t）反相。3.2正弦量的相量表示

相量表示法的產(chǎn)生背景：前面學(xué)習(xí)了正弦量解析式表示法和波形圖表示法。這兩種表示方法都能直觀地反映出正弦量的三要素，表示出正弦量的瞬時(shí)值隨時(shí)間變化的關(guān)系。然而，用這兩種方法去分析和計(jì)算正弦電路就比較繁瑣。為了解決這個(gè)問題，引入了正弦量的第三種表示方法——相量表示法。相量表示法的基本形式：相量表示法，實(shí)際上采用的是復(fù)數(shù)的表示形式。3.2.1復(fù)數(shù)的表示形式及運(yùn)算規(guī)則

圖3-3所示直角坐標(biāo)系中，實(shí)軸（+1）和虛軸（+j）組成一個(gè)復(fù)平面，該復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），復(fù)矢量的長(zhǎng)度、方向角分別為r、

，則它們之間的關(guān)系為：或a=rcos

b=rsin

其中a、b叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部；r、

叫做復(fù)數(shù)的模、幅角。規(guī)定：幅角|

|≤π。圖3-31.復(fù)數(shù)的表示形式（1）代數(shù)形式：

A=a+

jb其中“j”叫虛數(shù)單位，且有

j2

=-1，。（2）三角函數(shù)形式：

A=rcos

+jrsin

（3）指數(shù)形式：指數(shù)形式是根據(jù)歐拉公式“”得到的。（4）極坐標(biāo)形式：2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則復(fù)數(shù)相加或相減時(shí)，一般采用代數(shù)形式，實(shí)部、虛部分別相加減。復(fù)數(shù)相加或相減后，與復(fù)數(shù)相對(duì)應(yīng)的矢量亦相加或相減。在復(fù)平面上進(jìn)行加減時(shí)，其矢量滿足“平行四邊形”或“三角形”法則。復(fù)數(shù)相乘或相除時(shí)，以指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式進(jìn)行較為方便。兩復(fù)數(shù)相乘時(shí)，模相乘，幅角相加；復(fù)數(shù)相除時(shí)，模相除，幅角相減。3.2.2正弦量的相量表示1.正弦量的相量表示形式相量用大寫字母上面加一點(diǎn)表示，電壓相量用表示，電流相量用表示，對(duì)應(yīng)的模用有效值U和I而一般不用振幅表示。所以，一個(gè)正弦電壓u（t），電流i（t）的解析式與其對(duì)應(yīng)的相量形式有以下關(guān)系：關(guān)于正弦量的相量表示，需注意以下幾點(diǎn)：（1）正弦量的相量形式一般采用的是復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示形式，正弦量與其相量形式是“相互對(duì)應(yīng)”關(guān)系（即符號(hào)“”的含義），不是相等關(guān)系。（2）若已知一個(gè)正弦量的解析式，可以由有效值及初相角兩個(gè)要素寫出其相量形式，這時(shí)角頻率w是一個(gè)已知的要素，但w不直接出現(xiàn)在相量表達(dá)式中。（3）后面關(guān)于正弦電路的分析均采用相量分析法。所謂相量分析法，就是把正弦電路中的電壓、電流先表示成相量形式，然后用相量形式進(jìn)行運(yùn)算的方法。由前面分析可知，相量分析法實(shí)際上利用了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。2.相量圖把畫在同一復(fù)平面上表示正弦量相量的圖稱為相量圖。只有同頻率的正弦量，其相量圖才能畫在同一復(fù)平面上。在相量圖上，能夠非常直觀地表示出各相量對(duì)應(yīng)的正弦量的大小及相互之間的相位關(guān)系。為使圖面清晰，有時(shí)畫相量圖時(shí)，可以不畫出復(fù)平面的坐標(biāo)軸，但相位的幅角應(yīng)以逆時(shí)針方向的角度為正，順時(shí)針方向的角度為負(fù)。例3-2寫出下列各正弦量的相量形式，并畫出相量圖。

u1（t）=10sin（100πt+60o

）V

u2（t）=-6sin（100πt+135o

）V

u3（t）=5cos（100πt+60o）V解

因?yàn)?/p>

u2（t）=-6sin（100πt+135o

）=6sin（100πt+135o

–180o）=6sin（100πt-45o

）V

u3（t）=5cos（100πt+60o

）=5sin（100πt+60o+90o）=5sin（100πt+150o

）V所以其相量圖如圖3-4所示。圖3-43.3R、L、C各元件的相量模型3.3.1電阻元件圖3-5（a）所示為一純電阻電路，選取電阻元件的電壓、電流為關(guān)聯(lián)方向，根據(jù)歐姆定律不難推出電阻元件電壓u與電流i的關(guān)系為：（1）電壓與電流的頻率關(guān)系：同頻率；（2）電壓與電流的大小關(guān)系：U=RI；（3）電壓與電流的相位關(guān)系：（電壓與電流同相）。由以上結(jié)論可以推出電阻元件電壓與電流的相量關(guān)系式為：圖3-53.3.2電感元件

1.電壓、電流關(guān)系圖3-6（a）所示為一純電感電路，選取電感元件的電壓、電流為關(guān)聯(lián)方向，根據(jù)電感元件電壓、電流的瞬時(shí)值關(guān)系式，不難推出電感元件電壓u與電流i的關(guān)系為：（1）電壓與電流的頻率關(guān)系：同頻率；（2）電壓與電流的大小關(guān)系：U=wL

I。（3）電壓與電流的相位關(guān)系：（電壓超前電流90o）。2.感抗電感元件上電壓與電流的有效值滿足“wL”倍關(guān)系，wL稱為電感元件的感抗，用XL表示。感抗的表達(dá)式為

XL=wL=2

fL（3-13）感抗的單位是歐姆（Ω），用來表征電感元件對(duì)正弦電流阻礙作用的大小。在L確定的條件下，XL與w成正比，據(jù)此可知，電感具有“通低頻、阻高頻”的特點(diǎn)。3.電壓、電流的相量關(guān)系式根據(jù)正弦電路中電感元件電壓與電流的關(guān)系（指頻率、大小和相位關(guān)系）可以推出電壓、電流的相量關(guān)系式為：3.3.3電容元件1.電壓、電流關(guān)系圖3-7（a）所示為一純電容電路，選取電容元件的電壓、電流為關(guān)聯(lián)方向，根據(jù)電容元件電壓、電流的瞬時(shí)值關(guān)系式，不難推出電容元件電壓u與電流i的關(guān)系為：（1）電壓與電流的頻率關(guān)系：同頻率；（2）電壓與電流的大小關(guān)系：。（3）電壓與電流的相位關(guān)系：（電壓滯后電流90o）。2.容抗稱為電容元件的容抗，用XC表示。容抗的表達(dá)式為容抗的單位是歐姆（Ω），用來表征電容元件對(duì)正弦電流阻礙作用的大小。在電容C確定的條件下，XC與w成反比，據(jù)此可知電容具有“通高頻、阻低頻”以及“通交隔直”的特點(diǎn)。3.電壓、電流的相量關(guān)系式根據(jù)正弦電路中電容元件上電壓與電流的關(guān)系（指頻率、大小和相位關(guān)系）可以推出電壓、電流的相量關(guān)系式為：3.4復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納及正弦電路的相量分析法3.4.1復(fù)阻抗相量分析法的引入使得正弦交流電路的分析和計(jì)算變得相當(dāng)簡(jiǎn)單。以圖3-8所示R、L、C串聯(lián)電路為例，選取各電壓、電流的參考方向如圖所示。圖3-8根據(jù)相量形式的KVL得：上式中，“Z”是串聯(lián)電路的復(fù)數(shù)阻抗，簡(jiǎn)稱復(fù)阻抗。其表達(dá)式為：復(fù)阻抗的單位是歐姆（Ω），它是一個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部為串聯(lián)電路的電阻R，虛部為串聯(lián)電路的電抗X，X=XL–XC

，即電抗等于感抗與容抗之差，單位是歐姆（Ω）。X可正、可負(fù)、也可為零，X的正負(fù)體現(xiàn)了電路中電感和電容所起作用的大小，關(guān)系到電路的性質(zhì)。復(fù)阻抗的極坐標(biāo)形式為：說明：（1）阻抗∣Z∣反映了RLC串聯(lián)電路各元件對(duì)正弦電流總的阻礙作用大小。∣Z∣越大，對(duì)正弦電流的阻礙作用越大。∣Z∣只與元件的參數(shù)及頻率有關(guān)，與電壓、電流無關(guān)。

（2）阻抗角

是在關(guān)聯(lián)參考方向下，端電壓u與端電流i的相位差，即

=

u-

i。當(dāng)XL＞XC即X＞0時(shí)，

＞0，端電壓超前端電流

電角度，此時(shí)電路呈感性；當(dāng)XL＜XC即X＜0時(shí)，

＜0，端電壓滯后端電流∣

∣電角度，此時(shí)電路呈容性；當(dāng)XL

=XC

即X=0時(shí)，

=0，端電壓與端電流同相，此時(shí)電路呈中性（阻性）。RLC串聯(lián)電路推廣到一般的情況，就是多個(gè)復(fù)阻抗的串聯(lián)。根據(jù)相量形式的KVL可以推得，當(dāng)多個(gè)復(fù)阻抗串聯(lián)時(shí)，等效復(fù)阻抗等于各個(gè)復(fù)阻抗之和。例如，R、L、C串聯(lián)組成的電路，其等效復(fù)阻抗為：復(fù)阻抗串聯(lián)，分壓公式仍然成立，以兩個(gè)復(fù)阻抗串聯(lián)為例，分壓公式為：3.4.2復(fù)導(dǎo)納復(fù)阻抗Z的倒數(shù)稱為復(fù)導(dǎo)納，用字母Y表示，單位是西門子（S）。有以下關(guān)系式：提示：對(duì)于有多個(gè)（兩個(gè)以上）復(fù)阻抗并聯(lián)的電路，用復(fù)導(dǎo)納分析較為方便。多個(gè)復(fù)阻抗并聯(lián)，其等效復(fù)導(dǎo)納等于各并聯(lián)復(fù)導(dǎo)納之和。例3-3電路如圖3-9所示，端口電壓為，試求各支路電流及電壓。解圖中注明的各段電路的復(fù)阻抗為：圖3-9電路的等效復(fù)阻抗為：電路的總電流為：各支路電流為：各支路電壓為：3.5正弦交流電路的功率3.5.1瞬時(shí)功率和平均功率圖3-10所示二端網(wǎng)絡(luò)的端電壓、端電流為同頻率正弦量，其解析式為u（t）=Umsin（ωt

+

u）

=Usin（ωt

+

u

）

i（t）=Imsin（ωt

+

i）=Isin（ωt

+

i）當(dāng)u、i為關(guān)聯(lián)方向時(shí)，可推出該二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率為

p（t）=u（t）i（t）=UIcos

-UI

cos（2wt+2

u-

）其中

=

u-

i是二端網(wǎng)絡(luò)端電壓與端電流的相位差，即電路的阻抗角。由上式可知，瞬時(shí)功率p（t）作周期性變化，且有正有負(fù)，表明二端網(wǎng)絡(luò)既消耗功率，也能發(fā)出功率。通常用平均功率來表征二端網(wǎng)絡(luò)的能量消耗情況。平均功率是指周期性變化的瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，用P

表示，單位瓦特（W），其表達(dá)式為：圖3-10（3-25）（3-26）討論：（1）當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)電阻，或其等效阻抗為一個(gè)電阻，此時(shí)二端網(wǎng)絡(luò)的端電壓、端電流為同相關(guān)系，即相位差

=

u-

i=0，則cos

=1，sin

=0，式（3-25）變?yōu)椋?/p>

p（t）=UI-UIcos2（wt+

u

）

可見，瞬時(shí)功率在任何時(shí)刻均大于或等于零，表明電阻元件始終吸收功率。此時(shí)平均功率的表達(dá)式（3-26）變?yōu)椋?）當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)電感或電容，或其等效阻抗為一個(gè)電抗，此時(shí)二端網(wǎng)絡(luò)電壓與電流相位為正交關(guān)系，即

=

u-

i=±90o，則cos

=0，式（3-25）變?yōu)椋?/p>

PL（t）=-UIsin（2wt+2

u）

PC（t）=UIsin（2wt+2

u）由上兩式可以看出，電感或電容的瞬時(shí)功率隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化，正、負(fù)值交替，一段時(shí)間內(nèi)

p（t）＞0，電感或電容吸收功率；另一段時(shí)間內(nèi)p（t）＜0，電感或電容發(fā)出功率。此時(shí)平均功率表達(dá)式（3-26）變?yōu)椋?/p>

P=UI

cos（±90o）=0（3-28）式（3-28）表明，在正弦穩(wěn)態(tài)中，儲(chǔ)能元件電感或電容的平均功率等于零，不消耗能量，和電源之間只是存在能量的交換作用，即在前半個(gè)周期吸收電源的功率并儲(chǔ)存起來，后半個(gè)周期又將其全部釋放，這種能量交換的速率用另外一種功率——無功功率來描述。3.5.2復(fù)功率、視在功率和無功功率圖3-10所示二端網(wǎng)絡(luò)工作于正弦穩(wěn)態(tài)，其電壓、電流采用關(guān)聯(lián)的參考方向，假設(shè)電壓、電流的相量表達(dá)式分別為：

電流相量的共軛復(fù)數(shù)為，則二端網(wǎng)絡(luò)吸收的復(fù)功率為：復(fù)功率的實(shí)部P=UIcos

稱為有功功率，它是二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率，單位為瓦（W）。復(fù)功率的虛部Q=UIsin

稱為無功功率，它反映了電源與單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)儲(chǔ)能元件之間能量交換的速率，為與平均功率相區(qū)別，單位為乏（Var）。復(fù)功率的模||=UI

稱為視在功率，用S表示，即它表征一個(gè)電氣設(shè)備的功率容量，為與其它功率相區(qū)別，用伏安（V?A）作單位。例如我們說某個(gè)發(fā)電機(jī)的容量為100kV?A，而不說其容量是100kW。顯然，視在功率是二端網(wǎng)絡(luò)所吸收平均功率的最大值。3.5.3功率因數(shù)的提高由式（3-26）可知，在二端網(wǎng)絡(luò)電壓、電流有效值乘積UI一定的情況下，二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率P與cos

的大小密切相關(guān)，cos

表示功率的利用程度，稱為功率因數(shù)，記為

，其表達(dá)式為功率因數(shù)介于0和1之間，當(dāng)功率因數(shù)不等于1時(shí)，電路中發(fā)生能量交換，出現(xiàn)無功功率，

角越大，功率因數(shù)愈低，發(fā)電機(jī)發(fā)出的有功功率就愈小，而無功功率就愈大。無功功率愈大，即電路中能量交換的規(guī)模愈大，發(fā)電機(jī)發(fā)出的能量就不能充分為負(fù)載所吸收，其中一部分，在發(fā)電機(jī)與負(fù)載之間進(jìn)行交換，這樣，發(fā)電設(shè)備的容量就不能充分利用。例如，一臺(tái)容量為100kVA的變壓器，若負(fù)載的功率因數(shù)

=0.9，變壓器能輸出90kW的有功功率（即平均功率）；若功率因數(shù)

=0.6，變壓器就只能輸出60kW的有功功率?？梢娯?fù)載的功率因數(shù)低，電源設(shè)備的容量就不能得到充分利用。因此提高功率因數(shù)有很大的經(jīng)濟(jì)意義。常用的交流感應(yīng)電動(dòng)機(jī)在額定負(fù)載時(shí)，功率因數(shù)約在0.8～0.85，輕載時(shí)只有0.4～0.5，而在空載時(shí)僅為0.2～0.3，因此選擇與機(jī)械配套的電機(jī)容量時(shí)，不宜選得過大，并且應(yīng)在額定情況下工作，避免或盡量減少電機(jī)的輕載或空載。不裝電容器的日光燈，功率因數(shù)約在0.45～0.6左右。常用的方法是用電容器與感性負(fù)載并聯(lián)，這樣可使電感的磁場(chǎng)能量與電容的電場(chǎng)能量進(jìn)行部分交換，從而減少了電源與負(fù)載間能量的交換，即減少了電源提供給負(fù)載的無功功率，也就提高了功率因數(shù)。但是用電容來提高功率因數(shù)時(shí)，一般補(bǔ)償?shù)?/p>

=0.9左右，而不能補(bǔ)償?shù)礁?，因?yàn)檠a(bǔ)償?shù)焦β室驍?shù)接近1時(shí)，所需的電容量大，反而不經(jīng)濟(jì)了。3.6諧振電路1.諧振及諧振條件圖3-11所示為R、L、C組成的串聯(lián)正弦電路，電路的等效阻抗為:圖3-11由上式可知，當(dāng)正弦電壓的角頻率w變化時(shí)，電路的等效復(fù)阻抗Z隨之變化。當(dāng)感抗等于容抗時(shí)，復(fù)阻抗Z=R，串聯(lián)電路的等效復(fù)阻抗變成了純電阻，端電壓與端電流同相，這時(shí)就稱電路發(fā)生了串聯(lián)諧振?？梢?，串聯(lián)電路的諧振條件是：w0稱為電路的固有諧振角頻率，簡(jiǎn)稱諧振角頻率，它由元件參數(shù)L和C確定。用頻率f表示的諧振條件為：RLC串聯(lián)電路在諧振時(shí)的感抗和容抗相等，其值稱為諧振電路的特性阻抗，用表示，即2.串聯(lián)諧振的特點(diǎn)（1）電流特點(diǎn)（有效值）可見諧振時(shí)電路中電流最大，且與電壓源電壓同相。（2）電壓特點(diǎn)其中小結(jié)：諧振時(shí)，電感和電容兩端的電壓大小相等，都等于電源電壓US的Q倍。Q稱為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)，它是衡量電路特性的一個(gè)重要物理量，它取決于電路的參數(shù)。諧振電路的Q值一般在50～200之間，因此外加電源電壓即使不很高，諧振時(shí)電感和電容上的電壓仍可能很大。（3）通頻帶諧振電路的通頻帶△f與品質(zhì)因數(shù)Q成反比，Q越高通頻帶越窄，選擇性越好。所以說，品質(zhì)因數(shù)Q是衡量諧振回路頻率選擇性的參數(shù)?！鱢與Q的關(guān)系式為：3.6.2RLC并聯(lián)諧振電路圖3-12所示為R、L、C組成的并聯(lián)正弦電路，是另一種典型的諧振電路。1.諧振條件圖3-12電路中，其等效復(fù)導(dǎo)納為：當(dāng)復(fù)導(dǎo)納Y的虛部為零時(shí)，電路呈純阻性，端電壓與端電流同相，電路即發(fā)生了并聯(lián)諧振，與是可得RLC并聯(lián)電路的諧振條件為：2.并聯(lián)諧振的特點(diǎn)并聯(lián)諧振時(shí)，等效復(fù)導(dǎo)納Y為最小，等于純電導(dǎo)，即Y=G?；蛘哒f等效復(fù)阻抗最大，Z=R，所以諧振時(shí)端電壓達(dá)最大值：并聯(lián)諧振時(shí)有（所以并聯(lián)諧振又稱電流諧振）：式中Q稱為并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)：3.7三相電路3.7.1三相電源

三相電路：三相電路是指由三相電源供電的電路。

三相電源：三相交流電源是三個(gè)單相交流電源按一定方式進(jìn)行的組合。三相供電系統(tǒng)的三相電源是三相發(fā)電機(jī)。圖3-14所示是三相發(fā)電機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖，它有定子和轉(zhuǎn)子兩大部分。定子鐵心的內(nèi)圓周的槽中對(duì)稱地安放著三個(gè)繞組（線圈）AX、BY和CZ。A、B、C為始端；X、Y、Z為末端。三繞組在空間上彼此間隔120o。轉(zhuǎn)子是旋轉(zhuǎn)的電磁鐵。當(dāng)轉(zhuǎn)子恒速旋轉(zhuǎn)時(shí)，AX、BY、CZ三繞組的兩端將分別感應(yīng)出振幅相等、頻率相同的三個(gè)正弦電壓uA（t）、uB（t）、uC（t）。圖3-14指定uA（t）、uB（t）、uC（t）的參考方向都由首端指向末端，則它們的初相彼此相差120o。若以作為參考相量，這三個(gè)電壓相量為：它們的相量圖和波形圖分別如圖3-15（a）、（b）所示。圖3-15（3-42）對(duì)稱三相電源：像這樣由三個(gè)振幅相等、頻率相同、相位彼此相差120o的三個(gè)單相正弦電源組合而成的電源稱為對(duì)稱三相正弦電源。其中的每個(gè)單相正弦電源分別稱為A相、B相和C相電源。相序：按照各相電壓經(jīng)過正峰值的先后次序來說，若它們的順序是A-B-C-A時(shí)，稱為正序，若為A-C-B-A時(shí)，稱為負(fù)序。式（3-42）就是正序時(shí)三個(gè)單相電源電壓的相量表達(dá)式。

說明：工程上通用的相序是正序，如果不加說明，都是指的這種相序。用戶可以改變?nèi)嚯娫磁c三相電動(dòng)機(jī)的連接方式來改變相序，從而改變?nèi)嚯妱?dòng)機(jī)的旋轉(zhuǎn)方向。3.7.2三相電源的聯(lián)接1.星形聯(lián)接將三相電源中每一個(gè)繞組的末端X、Y、Z連在一起，組成一個(gè)公共點(diǎn)N，對(duì)外形成A、B、C、N四個(gè)端子，這種聯(lián)接形式稱為三相電源的星形聯(lián)接（也叫Y形聯(lián)接），如圖3-16（a）所示。圖3-16

端線：從三相電源的始端A、B、C引出的導(dǎo)線稱為端線或火線。

中線：從中點(diǎn)N引出的導(dǎo)線稱為中線或零線。線電流：流出端線的電流稱為線電流，表示為：。

相電流：每一相繞組中的電流稱為相電流，表示為：。

線電壓：端線與端線間的電壓稱為線電壓，表示為：。

相電壓：每相繞組兩端的電壓稱為相電壓，表示為：。星形聯(lián)接時(shí)，線電流與相電流相等，線電壓是相電壓的倍，相位超前對(duì)應(yīng)的相電壓30o。

應(yīng)用：因?yàn)槿嚯娫吹南嚯妷簩?duì)稱，所以在三相四線制的低壓配電系統(tǒng)中，可以得到兩種不同數(shù)值的電壓，即相電壓220V與線電壓380V。一般家用電器及電子儀器用220V，動(dòng)力及三相負(fù)載用380V。

2.三角形聯(lián)接對(duì)稱三相電源可以采用三角形聯(lián)接（又稱△聯(lián)接），它是將三相電源各相的始端和末端依次相連，再由A、B、C引出三根端線與負(fù)載相連，如圖3-17所示。

三相電源作三角形聯(lián)接時(shí)，其線電壓和相電壓相等，線電流等于相電流的倍，相位滯后對(duì)應(yīng)的相電流30o。

注意：由于發(fā)電機(jī)每相繞組本身的阻抗較小，所以當(dāng)三相電源接成三角形時(shí)，其閉合回路內(nèi)的阻抗并不大。通常因回路內(nèi)uA+uB+uC=0，所以在負(fù)載斷開時(shí)電源繞組內(nèi)并無電流。如果三相電壓不對(duì)稱，或者雖然對(duì)稱，但有一相接反，則uA+uB+uC≠0，即使外部沒有負(fù)載，閉合回路內(nèi)仍有很大的電流，這將使繞組過熱，甚至燒毀。所以三相電源作三角形連接時(shí)必須嚴(yán)格按照每一相的末端與次一相的始端連接。圖3-173.7.3三相電源和負(fù)載的連接1.單相負(fù)載單相負(fù)載主要包括照明負(fù)載、生活用電負(fù)載及一些單相設(shè)備。單相負(fù)載常采用三相中引出一相的供電方式。為保證各個(gè)單相負(fù)載電壓穩(wěn)定，各單相負(fù)載均以并聯(lián)形式接入電路。在單相負(fù)荷較大時(shí)，如大型居民樓供電，可將所有單相負(fù)載平分為三組，分別接入A、B、C三相電路，如圖3-18所示，以保證三相負(fù)載盡可能平衡，提高安全供電質(zhì)量及供電效率。圖3-182.三相負(fù)載三相負(fù)載的聯(lián)接方式有Y形聯(lián)接和△形聯(lián)接。當(dāng)三相負(fù)載中各相負(fù)載都相同，即ZA=ZB=ZC=Z=|Z|時(shí)，稱為三相對(duì)稱負(fù)載。因?yàn)槿嚯娫匆灿袃煞N聯(lián)接方式，所以它們可以組成以下幾種三相電路：三相四線制的Y-Y聯(lián)接、三相三線制的Y-Y聯(lián)接、Y-△聯(lián)接、△-Y聯(lián)接和△-△聯(lián)接等，如圖3-19所示。圖3-193.7.4三相電路的計(jì)算例3-4今有三相對(duì)稱負(fù)載作星形聯(lián)接，設(shè)每相負(fù)載的電阻為R=12Ω，感抗為XL

=16Ω，電源線電壓，試求各相電流。解由于負(fù)載對(duì)稱，只需計(jì)算其中一相即可推出期余兩相。相電壓的有效值所以相電壓所以由此可推出其余兩相電流為：例3-5圖3-20電路中，已知線電壓，，試求負(fù)載上的相電流和線電流。解三個(gè)相電流為：三個(gè)線電流為：3.7.5三相電路的功率相電路的總功率，等于三相負(fù)載各相的功率之和，即

P=PA+PB+PC

（3-48）對(duì)于三相對(duì)稱負(fù)載，各相電壓、電流大小相等，阻抗角相同，故各相的有功功率是相等的，即

P=PA+PB+PC=UAIAcos

A+UBIBcos

B+UCICcos

C=3UP

IP

cos

其中，UP是相電壓的有效值，IP是相電流的有效值，

為UP

與IP的相位差，cos

是功率因數(shù)。由于設(shè)備銘牌中給出的電壓、電流均是指額定線電壓UN和額定線電流IN，故無論是Y形連接還是△形連接，三相有功功率的常用計(jì)算公式都可表示為：三相電路的無功功率為：Q=QA+QB+QC=3UPIPsin

三相電路的視在功率為：測(cè)量三相電路的功率，對(duì)于三相四線制，應(yīng)對(duì)各相分別測(cè)量，通過求和得到三相電路的總功率，如圖3-21所示；對(duì)于三相三線制，可用兩瓦計(jì)法，如圖3-22所示。圖3-21圖3-223.8互感耦合電路3.8.1互感現(xiàn)象及同名端1.互感現(xiàn)象

自感現(xiàn)象：這種由于線圈自身磁鏈的變化而在其自身兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓的現(xiàn)象叫做自感現(xiàn)象。

互感現(xiàn)象：所謂互感現(xiàn)象，是指載流線圈之間通過彼此的磁場(chǎng)相互聯(lián)系的物理現(xiàn)象，也叫磁耦合。圖3-23圖3-23（a）所示為兩個(gè)有互感的載流線圈，載流線圈中的電流i1和i2稱為施感電流，線圈的匝數(shù)分別為N1和N2。線圈1中的電流i1產(chǎn)生的磁通設(shè)為Φ11，參考方向如圖所示，在穿越自身的線圈時(shí)，所產(chǎn)生的磁通鏈（簡(jiǎn)稱磁鏈）設(shè)為Ψ11，稱為自感磁鏈；Ψ11中的一部分或全部交鏈線圈2時(shí)產(chǎn)生的磁鏈設(shè)為Ψ21，稱為互感磁鏈。同樣，線圈2中的電流i2也產(chǎn)生自感磁鏈Ψ22和互感磁鏈Ψ12（圖中未畫出），這就是兩線圈彼此耦合的情況。2.互感線圈的同名端

（1）定義具有互感的線圈，同一瞬間極性相同的端子，叫做同極性端，又叫同名端。由于線圈被同一磁通交鏈，故同名端是確定的。

（2）同名端的判斷

A）已知繞向：對(duì)于相對(duì)位置和線圈繞向確定的互感線圈的同名端，可以借助右手螺旋法則來判斷，即假定給互感線圈同時(shí)通以電流。且電流與磁通的方向符合右手螺旋定則，當(dāng)各電流產(chǎn)生的磁通是相互加強(qiáng)時(shí)（即方向相同時(shí)），則電流流進(jìn)或流出的端子為同名端。同名端可用相同的符號(hào)標(biāo)記，如“·”或“*”等。

由此可判斷出，圖3-23（a）所示兩互感線圈，1、2或1/、2/為同名端，圖中是用小圓點(diǎn)標(biāo)出的，如圖3-23（b）所示。圖3-24畫出了幾組實(shí)際繞向和相對(duì)位置不同的互感線圈。利用上述同名端的定義可以判斷出各組互感線圈的同名端。在圖3-24（a）中，若電流分別從1端和3端流入，它們產(chǎn)生的磁通相互加強(qiáng)，因此1端和3端是同名端，同理，圖（b）中1、4端是同名端，圖（c）中1、4是同名端。

圖3-24圖3-25所示電路中，由于三個(gè)線圈沒有一條磁感應(yīng)線可以同時(shí)穿過它們，因此它們沒有共同的一組同名端，只能每?jī)蓚€(gè)線圈之間具有同名端。利用上述定義可以得出，對(duì)線圈Ⅰ、Ⅱ來說，1、4端是同名端，線圈Ⅱ、Ⅲ的同名端為3端和5端，線圈Ⅰ、Ⅲ的同名端為1端和5端，分別用“·”、“△”和“*”標(biāo)記。圖3-25B）繞向不可知：這種情況下，可以采用實(shí)驗(yàn)的方法來測(cè)定兩線圈的同名端。在圖3-26電路中，直流電壓源正負(fù)極通過開關(guān)S與線圈Ⅰ的1、2端連接，直流電壓表（或電流表）接到線圈Ⅱ的3、4端。在開關(guān)S閉合瞬間，電流由電源正極流入線圈Ⅰ的1端且正在增大，即電流的變化率＞0，則與電源正極相連的1端為高電位端，2端為低電位端。此時(shí)若電壓表指針正向偏轉(zhuǎn)，則與電壓表正接線端相連的線圈Ⅱ的3端為高電位端，4端為低電位端，因?yàn)橥说母袘?yīng)電壓的實(shí)際極性始終一致，由此可判斷出，端鈕1、3是同名端。如果電壓表指針反偏，端鈕1、4是同名端。圖3-26

說明：在繪電路圖時(shí)，為了簡(jiǎn)便起見，常常不繪出線圈的繞向，而用電感元件的符號(hào)代替，同時(shí)在相應(yīng)端鈕上標(biāo)出同名端的標(biāo)記即可，如圖3-27所示。圖3-27

注意：互感線圈的同名端在理論分析時(shí)非常重要，在實(shí)際問題中對(duì)電氣設(shè)備有磁耦合的線圈，同名端的正確判別是非常必要的。例如電力變壓器在并聯(lián)運(yùn)行時(shí)，必須根據(jù)其同名端按規(guī)定的接線組別正確連接，否則將不能正常工作甚至出重大事故。變壓器反饋的振蕩器，振蕩線圈也必須按同名端正確連接，否則將不能起振。3.耦合系數(shù)兩個(gè)耦合線圈的電流所產(chǎn)生的磁通，一般情況下，只有部分磁通相互交鏈，彼此不交鏈的那部分磁通稱為漏磁通。兩耦合線圈相互交鏈的磁通越大，說明兩個(gè)線圈耦合得越緊密。為了表示兩個(gè)線圈耦合得緊密程度，通常用耦合系數(shù)k來表示。耦合系數(shù)k表達(dá)式為：其中M為兩耦合線圈的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感，單位為亨利（H）。由于漏磁通，耦合系數(shù)k總是小于1。k值大小取決于兩個(gè)線圈的相對(duì)位置及磁介質(zhì)的性質(zhì)。k值越大，表明漏磁通越小，兩線圈之間的耦合越緊密。k=1時(shí)，稱為全耦合。在電力變壓器中，為了有效地傳輸功率，采用緊密耦合，k值接近于1，而在無線電和通信方面，要求適當(dāng)?shù)?、較松的耦合時(shí)，就需要調(diào)節(jié)兩個(gè)線圈的相互位置。有的時(shí)候?yàn)榱吮苊怦詈献饔?，就?yīng)合理布置線圈的位置，使之遠(yuǎn)離，或使兩線圈的軸線相互垂直，或采用磁屏蔽方法等。3.8.2互感電壓

符號(hào)判斷：自感電壓前的“+”、“-”號(hào)可直接根據(jù)自感電壓與產(chǎn)生它的電流是否為關(guān)聯(lián)方向確定，關(guān)聯(lián)時(shí)取“+”號(hào)，非關(guān)聯(lián)時(shí)取“-”號(hào)。互感電壓前的“+”、“-”號(hào)的正確選取原則可簡(jiǎn)明地表述如下：如果互感電壓的“+”極端子與產(chǎn)生它的電流流進(jìn)的端子為一對(duì)同名端，則互感電壓前取“+”號(hào)，反之取“-”號(hào)。例3-6圖3-28所示的互感電路中，同名端標(biāo)記如圖所示。已知L1=L2=0.05H，M=0.025H，i1=2.82sin（1000t）A，試求自感電壓uL1和互感電壓u21。解選取自感電壓uL1和互感電壓u21參考方向如圖3-28所示。由于uL1與i1參考方向相反，u21的“+”極端子與產(chǎn)生它的電流i1流進(jìn)的端子是同名端，所以可得：自感電壓：互感電壓：由已知可得：自感抗:互感抗：則自感電壓、互感電壓的相量形式為：于是可得自感電壓、互感電壓的解析式為：例3-7圖3-29（a）、（b）所示的電路中