2019年北京初中數(shù)學期中匯編：二次函數(shù)綜合題（教師版）

2019年北京初中數(shù)學期中匯編：二次函數(shù)綜合題

解答題(共22小題)

1.(2019秋?朝陽區(qū)校級期中)平面直角坐標系中，過點(趣，-2)的拋物線C可由拋物線y=平移得到，其

對稱軸為直線x=l.

2

(1)求拋物線C的解析式;

(2)若平行于x軸的直線與拋物線C交于A、B兩點，且以AB為直徑的圓恰與x軸相切，求機的值.

1111A

1234x

2.(2019秋?西城區(qū)校級期中)已知拋物線y=-必+以+小將拋物線在y軸左側(cè)部分沿x軸翻折，翻折后的部分和

拋物線在y軸右側(cè)部分組成圖形G,已知M(-3，1),N(1,1)

(1)求拋物線y=-必+?+〃的對稱軸；

(2)當”=0時，

①若點A(-1,m)在圖形G上，求機的值；

②直接寫出線段MN與圖形G的公共點個數(shù).

(3)當〃<0時，若線段例N與圖形G恰有兩個公共點，直接寫出”的取值范圍.

3.(2019秋?西城區(qū)校級期中)關于x的一元二次方程渥+云+,=()(4>0)有兩個不相等且非零的實數(shù)根，探究a,

b,c滿足的條件.

小華根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，認為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是小華的探究過程，第一步，設一

元二次方程〃/+法+°=0(a>0)對應的二次函數(shù)為y=ax2+%x+c(?>0)；

(2)參考小華的做法，解決問題：

若關于x的一元二次方程(，〃+5)x-2機=0有一個負實根和一個正實根，且負實根大于-1,求實數(shù)機的取

值范圍.

4.(2019秋?西城區(qū)校級期中)定義：對于平面直角坐標系xOy上的點P(a,b)和拋物線丫=/+以+4我們稱P

(a,b)是拋物線尸=/+以+匕的相伴點，拋物線y=x2+ax+b是點P(a,b)的相伴拋物線.

如圖，已知點A(-2,-2),B(4,-2),C(1,4).

(1)點A的相伴拋物線的解析式為；過A,8兩點的拋物線y=x2+ax+b的相伴點坐標

為;

(2)設點P(a,b)在直線AC上運動：

①點尸(a,6)的相伴拋物線的頂點都在同一條拋物線。上，求拋物線。的解析式；

②當點尸(a,b)的相伴拋物線的頂點落在aABC內(nèi)部時，請直接寫出。的取值范圍.

5.（2019秋?西城區(qū)校級期中）對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)例>0,對于任意的函數(shù)值y,都滿足-

M0WW,則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值.例如，右圖中

的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

（1）分別判斷函數(shù)丫=工（x>0）和y=x+2（-4<x<2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；

x

（2）若函數(shù)y=-x+2Ca<x<b,b>a）的邊界值是3,且這個函數(shù)的最大值也是3,求6的取值范圍;

（3）將函數(shù)y=N（-\<x<m,m>0）的圖象向下平移機個單位，得到的函數(shù)的邊界值是3

當機在什么范圍時，滿足旦5江1?

6.（2019秋?西城區(qū)校級期中）拋物線Fi：y=ax2+hx-11）與x軸交于點A、B（點A在點8的左側(cè)），與y軸

于點C,已知點4的坐標為（-工，0）,

a

（1）直接寫出6=（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）求點B的坐標；

（3）設拋物線F,的頂點為Pi,將該拋物線平移后得到拋物線B，拋物線F2的頂點B滿足P^Pi//BC,并且拋

物線尸2過點8,

①設拋物線尸2與直線8c的另一個交點為。判斷線段BC與CD的數(shù)量關系（不需證明），并直接寫出點。的

坐標;

②求出拋物線尸2與y軸的交點縱坐標的取值范圍.

JA

5-

4-

3-

2-

1-

j1__?>

-5-4-3-2-10~12345%

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

7.（2019秋?海淀區(qū)期中）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=f+6x+c與直線y=x+l交于A,B兩點，其中點A

在x軸上.

（1）用含有6的代數(shù)式表示C；

（2）①若點2在第一象限，且AB=3b,求拋物線的解析式:

②若A生3加，結合函數(shù)圖象，直接寫出h的取值范圍.

8.【概念認識】

城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走.可

以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xOy,對兩點A（xi，yi）和8（范，”），用以下方式定義兩點

間距離：d（A,B）=ki-刈+M-

【數(shù)學理解】

(1)①已知點A(-2,1),則dCO,A)=.

②函數(shù)y=-2x+4(0。a2)的圖象如圖①所示，B是圖象上一點，d(O,B)=3,則點8的坐標是

(2)函數(shù)>=匹(x>0)的圖象如圖②所示.求證：該函數(shù)的圖象上不存在點C,使d(0,C)=3.

x

(3)函數(shù)>=爐-5/7(x>0)的圖象如圖③所示，。是圖象上一點，求"(0,D)的最小值及對應的點。的坐

標.

【問題解決】

(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直

角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？(要求：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，畫出示意圖并簡要說明理由)

9.(2019?門頭溝區(qū)二模)在平面直角坐標系X。)，中，拋物線>=加-2依-3〃(存0)頂點為P,且該拋物線與x軸

交于48兩點(點A在點B的左側(cè)).我們規(guī)定：拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“G區(qū)域”(不包含邊界);

橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點.

(1)求拋物線了=,4-2ax-3〃頂點P的坐標(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如果拋物線y=ar2-2ax-3a經(jīng)過(1,3).

①求a的值；

②在①的條件下，直接寫出“G區(qū)域”內(nèi)整點的個數(shù).

(3)如果拋物線yna/Tax-3a在“G區(qū)域”內(nèi)有4個整點，直接寫出”的取值范圍.

10.（2019春?昌平區(qū)期中）學習函數(shù)知識后，可以借助函數(shù)的知識解決方程或不等式的相關問題，如“解方程：2x-

2=0"，既可以直接解方程求解，也可以用函數(shù)的知識進行求解，解題思路如下：方程Zt-2=0可以看成是函數(shù)

y=2x-2的函數(shù)值y=0的情況，該方程的解則是對應的自變量x的取值，解為x=l：該問題也可以借助函數(shù)圖

象解決，如圖1,方程2%-2=0的解對應的是函數(shù)y=2x-2的圖象與x軸交點（點A）的橫坐標所以x=I.

同樣，不等式的問題也可以借助函數(shù)知識解決，如“解不等式2x-2>0"，既可以直接解不等式進行求解，也可以

把不等式微-2>0看成是函數(shù)y=2x-2的函數(shù)值y>0的情況，該不等式的解集就是對應的自變量x的取值范

圍，所以x>l：借助函數(shù)圖象，如圖1,不等式2x-2>0的解集對應的是函數(shù)y=2x-2的圖象在x軸上方的部

分點的橫坐標取值范圍，所以該不等式的解集是x>l請解決如下問題：

（1）函數(shù)尸加（〃人"為常數(shù)）的圖象如圖2所示，請回答：

①方程mx-n=0的解為；

②不等式mx-n>3的解集為；

（2）函數(shù)y=/-左的圖象如圖3所示，請回答：

①方程N-版=0的解為；

②不等式爐-2r>0的解集為；

③不等式x2-2%-3<0的解集為；

（3）知不等式（標+1）犬+3>0的解集是x>-2,請在圖4中畫出y=）》+3的圖象.

11.在平面直角坐標系xO)，中，直線y=fcr+匕(原0)與拋物線-4or+3a的對稱軸交于點A(m,7),點A

關于x軸的對稱點恰為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的對稱軸及a的值；

(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.記直線(厚0)與拋物線圍成的封閉區(qū)域(不含邊界)為W.

①當％=1時，直接寫出區(qū)域卬內(nèi)的整點個數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)恰有3個整點，結合函數(shù)圖象，求〃的取值范圍.

12.在平面直角坐標系，中，點A(-4,-2),將點A向右平移6個單位長度，得到點B.

(1)直接寫出點B的坐標；

(2)若拋物線y=+版+c經(jīng)過點A,B,求拋物線的表達式；

(3)若拋物線y=+法+c的頂點在直線y=x+2上移動，當拋物線與線段AB有且只有一個公共點時，求拋物

線頂點橫坐標f的取值范圍.

珞

5-

4-

3-

2-

1-

1IIIIIII11,

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

13.在平面直角坐標系x。)，中，已知拋物線-4or+3a.

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)當。>0時，設拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B左側(cè))，頂點為C,若△ABC為等邊三角形，求

。的值；

(3)過T(0,f)(其中-IS合2)且垂直y軸的直線/與拋物線交于M,N兩點.若對于滿足條件的任意“直,

線段的長都不小于1,結合函數(shù)圖象，直接寫出”的取值范圍.

5-

4-

3-

2-

1-

?????______??????

-5-4-3-2-1O12345x

-1-

-2-

-3-

-4-

14.在平面直角坐標系xOy中，拋物線>=〃上一4nx+4〃-1(〃邦)，與無軸交于點C,。(點。在點。的左側(cè))，與

y軸交于點A.

(1)求拋物線頂點M的坐標；

(2)若點A的坐標為(0,3),A3〃x軸，交拋物線于點3,求點3的坐標；

(3)在(2)的條件下，將拋物線在B,C兩點之間的部分沿y軸翻折，翻折后的圖象記為G,若直線y='+〃?

與圖象G有一個交點，結合函數(shù)的圖象，求機的取值范圍.

15.定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點P(x,y)的縱坐標y與其橫坐標x的差_y-x稱為P點的“坐標差”,

而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”.

(1)①點A(1,3)的“坐標差”為；

②拋物線y=-/+3x+3的“特征值”為；

(2)某二次函數(shù)y=-必+bx+c(c￥0)的“特征值''為-1,點8(m,0)與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸

和y軸的交點，且點8與點C的“坐標差”相等.

①直接寫出〃2=；(用含c的式子表示)

②求此二次函數(shù)的表達式.

(3)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以M(2,3)為圓心，2為半徑的圓與直線y=x相交于點￡＞、E,請直

接寫出。M的“特征值”為.

16.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx1-4mx+4m+3的頂點為A.

(1)求點A的坐標；

(2)將線段04沿x軸向右平移2個單位長度得到線段OW.

①直接寫出點。，和的坐標；

②若拋物線尸如2-4〃?x+4m+3與四邊形AOO4有且只有兩個公共點，結合函數(shù)的圖象，求皿的取值范圍.

'x-y（當x>y時）

17.在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x,y）,如果點Q（x,的縱坐標滿足？=<

.y-x（當x〈yB寸）

稱點Q為點P的“關聯(lián)點

（1）請直接寫出點（3,5）的“關聯(lián)點”的坐標；

（2）如果點P在函數(shù)y=x-2的圖象上，其“關聯(lián)點”。與點P重合，求點P的坐標；

（3）如果點例0”，n）的“關聯(lián)點"N在函數(shù)y二源的圖象上，當把團立時、求線段MN的最大值.

18.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-爐+，加+”與x軸交于點A,8（A在8的左側(cè)）.

（1）拋物線的對稱軸為直線x=-3,AB=4.求拋物線的表達式；

（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點0,且與x正半軸交于點C,記平移后的拋物線頂點為P,

若△OCP是等腰直角三角形，求點P的坐標；

（3）當初=4時，拋物線上有兩點M（xi,yi）和N（必以），若無i<2,及>2,XI+^2>4,試判斷yi與”的大

小，并說明理由.

19.閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經(jīng)過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該

點的“特征線”.例如，點M（1,3）的特征線有：x=l,y=3,y=x+2,y=-x+4.

問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形04BC,點8在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物

線yn3x-m)24n經(jīng)過B、C兩點，頂點。在正方形內(nèi)部.

(1)直接寫出點。(機，")所有的特征線；

(2)若點。有一條特征線是y=x+l,求此拋物線的解析式；

(3)點P是A8邊上除點A外的任意一點，連接0P,將△0A尸沿著0P折疊，點A落在點4的位置，當點A，

在平行于坐標軸的。點的特征線上時，滿足(2)中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？

20.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=--/疼+1的對稱軸是直線x=l.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點。(“，》)，E(3,丫2)在拋物線上，若%＜以，請直接寫出〃的取值范圍；

(3)設點M(p,1?)為拋物線上的一個動點，當時，點M關于y軸的對稱點都在直線y=fcc-4的上

方，求k的取值范圍.

21.對于二次函數(shù)y=/-3x+2和一次函數(shù)y=-2r+4,把丫=，(x2-3x+2)+(1-r)(-2r+4)稱為這兩個函數(shù)的

“再生二次函數(shù)”，其中，是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線L.現(xiàn)有點A(2,0)和拋物線L上的點8(-1,

〃)，請完成下列任務：

【嘗試】

(1)當t—2時，拋物線y—t(x2-3x+2)+(1-r)(-2x+4)的頂點坐標為

(2)判斷點A是否在拋物線L上；

(3)求〃的值;

【發(fā)現(xiàn)】

通過(2)和(3)的演算可知，對于r取任何不為零的實數(shù)，拋物線乙總過定點，坐標為

【應用】

二次函數(shù)y=-3/+5x+2是二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求

出，的值；如果不是，說明理由.

22.已知：〃?、〃是方程x2-6x+5=0的兩個實數(shù)根，且mV",拋物線y=-x2+fov+c的圖象經(jīng)過點A(,〃，0)、B

(0,M).

(1)求這個拋物線的解析式；

(2)設(1)中拋物線與x軸的另一交點為C,拋物線的頂點為O,試求出點C、。的坐標和△BCD的面積；

(3)P是線段OC上的一點，過點尸作軸，與拋物線交于4點，若直線BC把△「＜?//分成面積之比為

2：3的兩部分，請求出P點的坐標.

2019年北京初中數(shù)學期中匯編：二次函數(shù)綜合題

參考答案與試題解析

解答題（共22小題）

1.（2019秋?朝陽區(qū)校級期中）平面直角坐標系中，過點（尚，-2）的拋物線C可由拋物線y=平移得到，其

對稱軸為直線

2

（1）求拋物線C的解析式；

（2）若平行于x軸的直線＞=，"與拋物線C交于A、8兩點，且以AB為直徑的圓恰與x軸相切，求機的值.

【分析】⑴設拋物線C的解析式為尸-（x-1）2+%,將點-2）代入解析式，可求解;

（2）可設圓心M坐標為（工，機），可得點A（工+口,機），代入解析式可求解.

22

【解答】解：⑴設拋物線C的解析式為y=-（x-1）^+k,過點（,，-2）,

...-2=-（0-』）2+k,

22

:*k=2.

...拋物線C的解析式為y=-（X-2）2+2；

2

（2）設AB為直徑的圓的圓心為點M，則點M在對稱軸上,

.,.點M（A,〃?），

2

V以AB為直徑的圓恰與x軸相切,

，點A(―+/M,m),

2

???點A在拋物線C上,

.".m—-（,—+m-—）2+2,

22

?'?mi—~2,m2—1.

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，要充分運用拋物線及圓

的對稱性解答本題.

2.（2019秋?西城區(qū)校級期中）已知拋物線y=-/+4X+小將拋物線在），軸左側(cè)部分沿x軸翻折，翻折后的部分和

拋物線在y軸右側(cè)部分組成圖形G,已知1）,N（-1,1）

（1）求拋物線y=-爐+4》+”的對稱軸；

（2）當〃=0時，

①若點A（-1,機）在圖形G上，求機的值;

②直接寫出線段與圖形G的公共點個數(shù).

（3）當〃<0時，若線段MN與圖形G恰有兩個公共點，直接寫出〃的取值范圍.

【分析】（1）由對稱軸公式直接可求;

（2）①由函數(shù)的對稱性可知，點A（-1,?。┰趫D形G上，則點（-1,-m）在）=-/+4x上；②畫出圖象，

可知線段與圖形G的公共點有三個；

（3）y—x2-4x-〃與y軸的交點在y軸的正半軸上，當（0,1）在y=/-4x-n上時，，n=-1,止匕時-r+氧-

1=1時N-我+2=0解得》=2+我，x=2-a，此時-4x-〃與線段A8有兩個不同的交點；當-r+4》+”

=1,即/-?+1-"=0,△=16-4（1-〃）=12+4〃=0時，此時G與線段A8有一個交點，則可確定在這兩

種情況之間時，G與線段A8有兩個不同的交點.

【解答】解：（1）y=-r+4x+〃的對稱軸為1=2；

(2)當〃=0時，y=-N+4x,

①點A(-1,m)在圖形G上，則點(-1,-機)在產(chǎn)-x2+4x±,

-m=-1-4=-5,

7W=5；

②畫出圖象，可知線段MN與圖形G的公共點有三個；

（3）拋物線y=-/+4x+〃的左側(cè)沿x軸翻折后的解析式為丫=3-4x-

V/t<0,

???-7?>0,

??.y=/-4x-九與y軸的交點在y軸的正半軸上，

如圖1：當(0,1)在y=x2-Ax-n上時，n=-1,

此時-x2+4x-1=1時/-4x+2=0,

解得x=2+&,x=2-V2>

/.y=x2-4x-n與線段AB有兩個不同的交點，

如圖2：當-x2+4x+n—1>BR%2-4x+l-n—0,

△=16-4(1-?)=12+4〃=0時，

n--3,

此時G與線段AB有一個交點,

A-3<n<-1時線段MN與圖形G恰有兩個公共點.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結合解題是關鍵.

3.（2019秋?西城區(qū)校級期中）關于x的一元二次方程渥+云+,=（）（4>0）有兩個不相等且非零的實數(shù)根，探究a,

b,c滿足的條件.

小華根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，認為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是小華的探究過程，第一步，設一

元二次方程+匕x+c=o（?>0）對應的二次函數(shù)為y=ox2+/；x+c（?>0）；

第二步：借助二次函數(shù)圖象.可以得到相應的一元二次方程中a,b,c滿足的條件，列表如下:

方程兩根的情況對應的二次函數(shù)的大致圖象a,b,c滿足的條件

方程有兩個不相等的負實根'a>0

A=b2_4ac^>0

4。

Na

c>0

①方程有兩個異號的實數(shù)根'a>0

*

c<0

方程有兩個不相等的正實根'a>0

△>0

③「書〉0—

2a

②―1c〉0

（1）請幫助小華將上述表格補充完整;

（2）參考小華的做法，解決問題：

若關于x的一元二次方程（〃計5）x-2m=0有一個負實根和一個正實根，且負實根大于-1,求實數(shù)機的取

值范圍.

【分析】（1）有題意即可求解；

（2）由討論中的第二種情況，可得：c>0,且x=-l時;y>0,即可求解.

【解答】解：（1）有題意得：①答案為：方程有兩個異號的實數(shù)根；

②答案如圖所示；

③答案為：a>0,A>0,一旦>0,c>0；

2a

(2)由討論中的第二種情況，可得：c<0,且x=-l時，y>0,

即-2mV0且y=l+(〃?+5)-2m>0,

解得：0<%<6.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，主要考查的是函數(shù)的基本性質(zhì)，關鍵在于理解題意，按照題設的思路

和邏輯求解即可.

4.(2019秋?西城區(qū)校級期中)定義：對于平面直角坐標系X。了上的點尸(a,b)和拋物線y=x2+nx+Z>,我們稱P

(a>b)是拋物線產(chǎn)好+"+方的相伴點，拋物線y=x2+ax+b是點P(a,b)的相伴拋物線.

如圖，已知點A(-2,-2),B(4,-2),C(1,4).

(1)點A的相伴拋物線的解析式為y=?-2x-2；過A,2兩點的拋物線y=/+or+8的相伴點坐標為—上

2,-10)；

(2)設點P(a,b)在直線AC上運動：

①點尸(?,b)的相伴拋物線的頂點都在同一條拋物線。上，求拋物線。的解析式；

②當點P(?,h)的相伴拋物線的頂點落在aABC內(nèi)部時，請直接寫出a的取值范圍.

【分析】(1)a=h=-2,故拋物線的表達式為：y=/-2x-2,故答案為：y=/-2x-2：將點A、8坐標代入

y—x2+ax+h并解得：a=-2,b=-10；

(2)①直線AC的表達式為：y=2x+2,設點P(m,2m+2),則拋物線的表達式為：y=x2+ntx+2m+2,頂點為：

(--m,--W2+2/M+2),即可求解；

24

②如圖所示，。拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段，即可求解.

【解答】解：⑴a=b=-2,故拋物線的表達式為：y=N-2x-2,

故答案為：y=x2-2x-2；

將點A、8坐標代入y=/+ar+b并解得：a—-2,b--10,

故答案為:(-2,-10)；

(2)①由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y=2x+2,

設點PCm,2m+2),則拋物線的表達式為：y=x2+mx+2m+2,

頂點為：--m2+2m+2),

24

令x=--in,則m--2x,

2

則y=--m2+2m+2=-x2-4x+2,

4

即拋物線。的解析式為：y=-/-4x+2；

拋物線與直線AC的交點為點E(0,2)；

當y=-2時，即y=-/-4x+2=-2,解得：x=-2±2?,

故點尸(-2+2加，-2)；

故0<x<-2+2&,由①知：a=m=-2x,

故：4-4^/2<?<0.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等，這種新定義類題目，通常按照

題設的順序逐次求解.

5.(2019秋?西城區(qū)校級期中)對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M>0,對于任意的函數(shù)值y,都滿足-

則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值.例如，右圖中

的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

(1)分別判斷函數(shù)>=工(x>0)和)，=x+2(-4<x<2)是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；

x

(2)若函數(shù)y=-x+2(a<x<b,b>a')的邊界值是3,且這個函數(shù)的最大值也是3,求b的取值范圍；

(3)將函數(shù)y=/(-i<x<m,,?>0)的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是

當，〃在什么范圍時，滿足旦W曰？

4

【分析】⑴在x的取值范圍內(nèi)，尸工(x>0)的y無最大值，不是有界函數(shù)；y=x+2(-4<x<2)是有界函數(shù)，

x

其邊界值是4；

(2)由一次函數(shù)的增減性，可得當x=“時，加3=3,當x=6時，y=-6+2,由邊界值定義可列出不等式，即

可求解；

(3)先設m>1,函數(shù)向下平移機個單位后，x=0時.，y=-m<-\,此時邊界值與題意不符，故，

判斷出函數(shù)所過的點，結合平移，可求04m4［或

【解答】解：(1)；y,(x>0)的y無最大值，

了。不是有界函數(shù)；

??〉=x+2(-4<x<2)是有界函數(shù)，

當x=-4時，y=-2,

當x=2時，y=4,

對于-4心2時，任意函數(shù)值都滿足-4〈產(chǎn)4,

?,?邊界值為4；

(2)?.?y=-x+2,y隨工的增大而減小，

???當x=a時，％皿=3,當x=Z?時，y=-b+2,

???邊界值是3,b>a9

：.-3<-b+2<3

：.-l<b<5

（3）若m>\,圖象向下平移m個單位后，x=0時，y=-m<-1,此時函數(shù)的邊界值,不合題意，故m<\.

函數(shù)y=X^（-1夕3^，〃?20），當X=-1時，y〃iax=1，當X—0時，ymin=0

，向下平移m個單位后，為加=1-6，ymin=~m

???邊界值

1-irtC1或-1<-irtC停

1q

。411144或了^1^r

【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，結合新定義，弄清函數(shù)邊界值的定義，同時要熟悉平移變換的性質(zhì).

6.（2019秋?西城區(qū)校級期中）拋物線>=以2+法-1（°>1）與x軸交于點A、3（點A在點8的左側(cè)），與），軸

于點C,已知點A的坐標為（-工，0）,

a

（1）直接寫出6=1-a（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）求點B的坐標；

（3）設拋物線R的頂點為P,將該拋物線平移后得到拋物線尸2,拋物線Fi的頂點P2滿足P\Pi〃BC,并且拋

物線尸2過點B,

①設拋物線尸2與直線BC的另一個交點為￡>,判斷線段BC與CD的數(shù)量關系（不需證明），并直接寫出點。的

坐標；

②求出拋物線B與y軸的交點縱坐標的取值范圍.

端

5-

4-

3-

2-

1-

j-------1_?----->

-5-4-3-2-10~12345x

-1-

-2-

-3-

-4-

【分析】(1)點A的坐標為(-衛(wèi)，0),將點A的坐標代入拋物線表達式并整理得：b=\-a,即可求解；

a

(2)拋物線的表達式為：y=ajc2+(1-a)x-1,令y=0,貝ljx=l或-工，故點8(1,0)；

a

(3)①從圖象可以看出：BC=BD,即CQ=2BC；

②平移后的圖象過點8(1,0),點。(2,I),將點8、D的坐標代入拋物線表達式：y=ar2+〃x+c得：c=2a>

1,即可求解.

【解答】解：(1)點A的坐標為(-工，0),

a

將點4的坐標代入拋物線表達式并整理得：b=l-a,

故答案為：1-4；

(2)拋物線的表達式為：丫=加+(I-6f)X-1

令y=0,貝!]x=l或-工，

a

故點8(1,0)；

(3)①從圖象可以看出：BC=BD,即CZ)=2BC；

則點8是C、。的中點，由中點公式得：點0(2,1)；

②平移后的圖象過點8(1,0),點。(2,1),

將點8、。的坐標代入拋物線表達式：尸加+〃x+c得：Ja+b'+c=0,

14a+2b'+c=l

解得：c=2a>2,

拋物線尸2與y軸的交點縱坐標的取值范圍為：c>2.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、圖象的平移等，其中(3)②，解題的關鍵是利用

中點公式求出點。的坐標，進而求解.

7.（2019秋嗨淀區(qū)期中）在平面直角坐標系xOy中，拋物線丫=爐+公+。與直線y=x+l交于A,B兩點，其中點4

在x軸上.

（1）用含有b的代數(shù)式表示c；

（2）①若點2在第一象限，且A8=3點,求拋物線的解析式；

②若A生3加，結合函數(shù)圖象，直接寫出力的取值范圍.

4-

3-

2-

1-

iiii11111A

-4-3-2-1012345x

-1-

【分析】（1）由題意直線y=x+l與x軸交于點A,可得點A坐標為（-1,0）,將點A坐標（-1,0）代入拋物

線解析式，即可求解；

（2）①設y=x+l與y軸交于點C,可得：A（-1,0）,C（0,1）,ZOAC=45°,90°,則點B的坐

標為（2,3）,即可求解；

②（I）當點B在點A右側(cè)時，如上圖所示，A8=3近,則%=0,AB>3正時，拋物線對稱軸從x=0隨4B的

增加向右側(cè)移動，拋物線的對稱軸x=-山->0,則6<0,

2a

故厄0；（II）當點8在點A的左側(cè)，同理可得：b>6,即可求解.

【解答】解：（1）由題意直線y=x+l與x軸交于點A

可得點A坐標為（-1,0）,

拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A

所以將點A坐標（-1,0）代入拋物線解析式可得

1-6+c=0,B|1c=b-1.

（2）①設y=x+l與），軸交于點C,可得：

A(-1,0),C(0,1).

可知OA=OC=].

又因NAOC=90°,

所以N。4c=45。.

如圖，已知AB=3J5，過B作軸于點Q,

則/A￡>B=90。.

又因NBAO=45。，48=3料，

所以4D=BO=3.

所以點B的坐標為（2,3）.

將點B的坐標（2,3）代入拋物線丁=爐+法+'的解析式可得26+c=-1.

9h+r=—1

{c=b-l.

解得嚴，

Ic=_l.

得拋物線的解析式為〉=始-1；

②（I）當點3在點A右側(cè)時，

如上圖所示，AB=3?,貝!Ib=0,

A8>3y歷時，拋物線對稱軸從x=0隨A8的增加向右側(cè)移動，

拋物線的對稱軸x=-旦>0,則b<0,

2a

故后0；

（II）當點B在點A的左側(cè),

當48=3加時,

同理可得：拋物線的表達式為：y=/+6x+5,

故：6=6,

故A生3M時，h>6；

綜上，后0或佗6.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)等，其中(2)②，要注意

分類求解，避免遺漏.

8.【概念認識】

城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走.可

以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xOy,對兩點A(M，yi)和B(X2,>2)，用以下方式定義兩點

間距離：d(A,B)=ki-刈+M-冽.

【數(shù)學理解】

(1)①已知點A(-2,1),則d(。，A)=3.

②函數(shù)y=-2x+4(0<x<2)的圖象如圖①所示，B是圖象上一點，d(0,B)=3,則點B的坐標是(1,2)

(2)函數(shù)>=且(x>0)的圖象如圖②所示.求證：該函數(shù)的圖象上不存在點C,使d(O,C)=3.

x

(3)函數(shù)y=/-5x+7(x>0)的圖象如圖③所示，。是圖象上一點，求d(0,D)的最小值及對應的點。的坐

標.

【問題解決】

(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直

角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？(要求：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担嫵鍪疽鈭D并簡要說明理由)

【分析】(1)①根據(jù)定義可求出d(0,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；②由兩點間距離:d(A,B)=ln-x2|+|yi-

"I及點8是函數(shù)y=-2JC+4的圖象上的一點，可得出方程組，解方程組即可求出點8的坐標；

(2)由條件知x>0,根據(jù)題意得x+魚=3,整理得f-3x+4=0,由AVO可證得該函數(shù)的圖象上不存在點C,

x

使4(。，C)=3.

(3)根據(jù)條件可得國+M-5X+7],去絕對值后由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值；

(4)以M為原點，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標系xOy,將函數(shù)y=-x的圖象沿了軸正方向平移，

直到與景觀湖邊界所在曲線有交點時停止，設交點為E,過點E作EH_LMN,垂足為“，修建方案是：先沿MN

方向修建到“處，再沿方向修建到E處，可由d(。，P)>d(0,E)證明結論即可.

【解答】解：(1)①由題意得：d(O,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；

②設8(x,y),由定義兩點間的距離可得：|0-x|+|0-y|=3,

V0<x<2,

3,

.?什3,

ly=-2x+4

解得：卜=1,

1y=2

：.B(1,2),

故答案為：3,(1,2)；

(2)假設函數(shù)y=生(x>0)的圖象上存在點C(x,>)使4(0,C)=3,

根據(jù)題意，得|x-0|+|?-0|=3，

Vx>0,

.?.且>0，|x-0|+|--0|=x+-^)

XXX

x-^=3,

x

.*.x2+4=3x,

Ax2-3x+4=0,

.?.△=按-4ac=-7<0,

?方程N-3尤+4=0沒有實數(shù)根,

，該函數(shù)的圖象上不存在點C,使d(O,C)=3.

(3)設。(x,y),

根據(jù)題意得，"(O,D)=|x-0|+k2-5x+7-0|=卜|+廿-5x+7|,

?'X2-5X+7=(X4)2+^-〉0，

24

又xK),

：.dCO,D)=因+4-5x+7|=x+N-5x+7=/-4x+7=(x-2)2+3,

.,.當x=2時，cl(O,D)有最小值3,此時點。的坐標是(2,1).

(4)如圖，以M為原點，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標系xO?將函數(shù)y=-x的圖象沿y軸正方向

平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點時停止，

設交點為E,過點E作EH1MN,垂足為H,修建方案是：先沿MN方向修建到H處，再沿HE方向修建到E

處.

理由：設過點E的直線人與x軸相交于點F.在景觀湖邊界所在曲線上任取一點P,過點P作直線/2〃伍/2與x

,：ZEFH=45°,

：.EH=HF,dCO,E)=OH+EH=OF,

同理d(O,P)=0G,

'：OG>OF,

：.d(O,P)>d(O,E),

???上述方案修建的道路最短.

【點評】考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識點有新定義，解方程(組)，二次函數(shù)的性質(zhì)等.

9.(2019?門頭溝區(qū)二模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線>=加-2依-34加)頂點為P,且該拋物線與x軸

交于A,8兩點(點4在點8的左側(cè)).我們規(guī)定：拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“G區(qū)域”(不包含邊界);

橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點.

(1)求拋物線y=ax2-2*-3”頂點P的坐標(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)如果拋物線、=浸-2以-3a經(jīng)過(1,3).

①求?的值；

②在①的條件下，直接寫出“G區(qū)域”內(nèi)整點的個數(shù).

(3)如果拋物線〉=加-2公-34在“6區(qū)域”內(nèi)有4個整點，直接寫出。的取值范圍.

【分析】(1)利用配方法將拋物線的解析式變形為頂點式，由此即可得出頂點P的坐標；

(2)將點(1,3)代入拋物線解析式中，即可求出〃值，再分析當》=0、1、2時，在“G區(qū)域”內(nèi)整數(shù)點的坐標,

由此即可得出結論；

(3)分〃<0及兩種情況考慮，依照題意畫出圖形，結合圖形找出關于a的不等式組，解之即可得出結論.

【解答】解：(1)'."y=ax2-lax-3a=a(x+1)(x-3)=a(x-1)2-4a,

頂點P的坐標為(1,-4a).

(2):拋物線y=a(x+1)(x-3)經(jīng)過(1,3),

；.3=a