2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題含答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.圖①，二次函數(shù)￥=0?+如+。(aWO)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),并且與直線y=；x-2

相交于坐標(biāo)軸上的B、C兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在直線BC下方的二次函數(shù)的圖象上.

(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖①，連接PC,PB,設(shè)△PC8的面積為S,求S的最大值；

(3)如圖②，拋物線上是否存在點(diǎn)。，使得NABQ=2NABC?若存在，則求出直線BQ

的解析式及Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)對(duì)于直線-2,

令x=0,則y=-2,

1

令y=0,Bp-x-2=0,解得：x=4,

故點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別為(4,0)、(0,-2),

拋物線過(guò)點(diǎn)A、8兩點(diǎn)，則(x+1)(x-4),

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式并解得：

故拋物線的表達(dá)式為產(chǎn)系-|x-2①；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作尸，〃y軸交8c于點(diǎn)H,

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1a1

設(shè)點(diǎn)P(x,5/-尹-2),貝嘴"(x，-X-2),

11(-x-2-#+|^+2)=-X2+4X,

5=S&PH/S?HC=《PHTXB-xc)=x4X

V-1<0,故S有最大值，當(dāng)x=2時(shí)，S的最大值為4；

(3)①當(dāng)點(diǎn)。在BC下方時(shí)，如圖2,

圖2

延長(zhǎng)8Q交y軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)C作SCLBC交x軸于點(diǎn)R,交8Q于點(diǎn)S,過(guò)點(diǎn)S作SK

_Lx軸于點(diǎn)K,

VZABQ=2ZABC,則BC是NAB”的角平分線，則為等腰三角形，

則點(diǎn)C是RS的中點(diǎn)，

設(shè)RC=x=SB應(yīng)改為RC=x=CS.

nr1nr

在△8OC中，tan/O5C=^=?=tan/ROC=浣，

則設(shè)RC=x=CS,則BC=2x,則RB=y/x2+(2x)2=瓜=BS,

在△SRB中,5A/?5B=IXSR'BC=|xBR-SK,即x2x?2x=加?底?，解得：KS=,

4x

7F4.4

：.sinZRBS=則tan/R8H=l

BbV5x53

在Rtz^OBH中，0H=0B?tanNMH=4x,=￥，則點(diǎn)”(0,一學(xué))，

由點(diǎn)B、”的坐標(biāo)得，直線BH的表達(dá)式為y=gGT)②，

聯(lián)立①②并解得：x=4(舍去)或|,

當(dāng)工=前寸，y=-半故點(diǎn)0弓，-等；

②當(dāng)點(diǎn)。在BC上方時(shí),

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同理可得：點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一斗11，—92

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(|,-摯或(-導(dǎo),1).

2.如圖，拋物線y=-7+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與)，軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)

D是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,連接B。、CD,設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為機(jī)，△BCO的面積為s.試求出s與機(jī)

的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最大值；

(3)如圖2,設(shè)AB的中點(diǎn)為E,作DF1BC,垂足為F,連接CD、CE,是否存在點(diǎn)D,

使得以C、D,尸三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△CEO相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

MJ

/TvTr

圖1圖2

解：(1)?..拋物線y=-x1+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(：-1,0),B(3,0)

-'?y--(x+1)(x-3)=-7+2%+3

.??拋物線解析式為y=-/+2x+3

(2)過(guò)點(diǎn)。作。M〃y軸，交BC于點(diǎn)M

,當(dāng)x=0時(shí)，y--xz+2x+3—3

：.C(0,3)

直線BC解析式為y=-x+3

-r?r+2m+3),M(zn,-m+3)

:.DM=~z??2+2m+3-(-m+3)=-n^+3m

...s=20B'DM=/-根+3加=-乃+產(chǎn)=Y；(m-(0V/x<3)，

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329

加

亍+-

?,'S與機(jī)的函數(shù)關(guān)系式為$=2S的最大值為

(3)存在點(diǎn)￡>,使得以C、D,F三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△CEO相似

如圖2,連接2。

設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,

?.?點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，A(-1,0),B(3,0),C(0,3)

：.E(1,0),OE=1,OC=3,CD2=W2+(-;n2+2w+3-3)2

CE=y/OE2+OC2=Vl2+32=V10

../“AOF1710/“aOC33\T0

??sm/℃E=^=廝=R,cosN°CE=^=質(zhì)="

,:BC=7OB2+OC2=3a,DFVBC

-1QQ

???由(2)知，面積s=5BC?QE=為

.八廠2s—37n2+9m—m24-3m

-DP=BC=-375=-

；以C、D,尸三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△CE。相似，ZCFD=ZC<?E=90°

△△或△△

CFDsCOECF￡)sEQC

①若△CFQS/XCOE,則//CD=NOCE

...?DF同

??sin/Nc〃C/9==-JQ-

???10DF2=CD2

-m2+3m、

A10(-------p----)2=nr+(-m2+2/n)2

V2

解得："?i=4(舍去)，加2=|

o257

-〃，+2加+3=--+5+3=4

57、

(一，一)

24

②若△CFOS^EOC,則NF7X?=NOC￡

.DF3710

..COSz_r￡/C==I。

???10。產(chǎn)=9。。2

-m2+3mioco

A10(——尸一)2=92+(-〃？+2m)勺

72

解得：如=0(舍去)，mi—|

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915

-nr0+2fn+3=—.+3+3=才

57315

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為(?「或虧7

(3,0)

(1)求拋物線的解析式

(2)點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，￡>E，x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)N是線段￡>E上一動(dòng)點(diǎn)

①當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，△CAN的周長(zhǎng)最?。?/p>

②若點(diǎn)M(〃7,0)是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且/MNC=90°,求〃?的取值范圍

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解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x+l)(x-3)=a(?-2x-3),

故-3a=-3,解得：a—\,

故函數(shù)的表達(dá)式為：y=?-2x-3;

(2)①過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)C'(2,-3),連接AC'交OE于點(diǎn)N,

將點(diǎn)4、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：產(chǎn)履+b得：〔/=氣心，解得：*二一；

故直線AC'的表達(dá)式為：y=-X-1,

當(dāng)x=l時(shí)，y=-2,

故點(diǎn)N(l,-2)；

②如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CG_LEO于點(diǎn)G,

設(shè)NG=n,則NE=3-〃，

???NCNG+NGCN=90°,NCNG+NMNE=9U0,

:?/NCG=/MNE,

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則tanNNCG=〃=tanNMNE=產(chǎn),

故ME=-/+3小

A-1<0,故ME有最大值，當(dāng)”=|時(shí)，ME=l，

zq

則m的最小值為：—梳；

如下圖所示，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)。處時(shí)，〃?取得最大值,

同理可得：m=5；

故：一.-7W故5.

4.如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)C是0。上一點(diǎn)(與點(diǎn)A,B不重合)，過(guò)點(diǎn)C作直線PQ,

使得NACQ=/4BC.

(1)求證：直線PQ是。。的切線.

(2)過(guò)點(diǎn)A作AOUQ于點(diǎn)。，交。。于點(diǎn)E,若。。的半徑為2,sin/DAC另，求

圖中陰影部分的面積.

解：(1)證明：如圖，連接0C,

是00的直徑,

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AZACB=90°,

?：OA=OC,

：.ZCAB=ZACO.

ZACQ=ZABC,、----/

AZCAB+ZABC=ZACO+ZACQ=ZOCQ=90°,即。C_LPQ,

??.直線PQ是。。的切線.

(2)連接OE,

1

VsinZDAC=^,ADVPQ,

：.ZDAC=30°，ZACD=60°.

AZABC=ZACD=60°,

：.ZCAB=90°-60°=30°,

AZEAO=ZDAC+ZCAB=60°,

又?.?O4=OE,

??.△4E。為等邊三角形，

AZAOE=60°.

?*?5陰影=S扇形-SAAEO

i

=S扇形一方OA?OE?sin60°

607rc21eveA/3

360X2-2X2X2XT

4-收

圖中陰影部分的面積為弓-V3.

5.如圖，在△A8C中，/AC2=90°,將AABC沿直線A8翻折得到△45D,連接CD交

AB于點(diǎn)M.E是線段CM上的點(diǎn)，連接BE.尸是△BOE的外接圓與4。的另一個(gè)交點(diǎn)，

連接E凡BF.

(1)求證：是直角三角形；

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(2)求證：ABEFsABCA：

(3)當(dāng)A5=6,BC=機(jī)時(shí)，在線段CM上存在點(diǎn)￡使得EF和A5互相平分，求相的

值.

備用圖

(1)證明：VZACB=90°,將△ABC沿直線A8翻折得到△48。,

AZADB=ZACB=90°,

?：/EFB=NEDB,NEBF=NEDF,

???NEFB+NEBF=NEDB+NEDF=NADB=9U°,

AZBFF=90°,

???△BE尸是直角三角形.

(2)證明:?：BC=BD,

:?/BDC=/BCD,

?：/EFB=/EDB,

:?/EFB=/BCD,

\'AC=AD,BC=BD,

：.AB-LCD,

：.ZAMC=90°,

,/ZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

:?/BCD=/CAB,

；?NBFE=NCAB,

?；NACB=NFEB=90°,

:?△BEFSABCA.

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(3)解：設(shè)EF交A3于連接

???EF與AB互相平分，

,四邊形AFBE是平行四邊形，

：.ZEFA=ZFEB=90°,BPEF±ADf

VB￡>±AD,

:,EF〃BD,

a：AJ=JB,

：.AF=DF9

：.FJ=y,

；?EF=m,

*/dABCsACBM,

：.BC：MB=AB：BC,

巾2

：.BM=

o

■:ABEJs/\BME,

：.BE：BM=BJ：BE,

m

???BoEr=&

VABEF^ABCA,

eACBC

EFBE

即出亙！=霽,

m&

解得團(tuán)=2次(負(fù)根己經(jīng)舍棄).

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6.如圖1,已知四邊形4BCO是菱形，G是線段CO上的任意一點(diǎn)時(shí)，連接8G交AC于凡

FHFG

過(guò)F作FH〃CD交BC于H,可以證明結(jié)論一=-成立.(考生不必證明)

ABBG

(1)探究：如圖2,上述條件中，若G在CD的延長(zhǎng)線上，其它條件不變時(shí)，其結(jié)論是

否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)計(jì)算：若菱形ABCQ中AB=6,ZA￡)C=60°,G在直線CD上，且CG=16,連

接3G交AC所在的直線于F,過(guò)F作切〃交BC所在的直線于4,求3G與FG的

長(zhǎng).

(3)發(fā)現(xiàn)：通過(guò)上述過(guò)程，你發(fā)現(xiàn)G在直線C。上時(shí),結(jié)論方=

B

DL~f^JCG)1——乂

圖1圖2

FHFG

【解答】解：⑴結(jié)論方=正成立

證明：由己知易得

.FH_HC

??1―，

ABBC

HCFG

?:FH〃GC,—=—

BCBG

.FHFG

"AB~BG'

(2)在直線CD上,

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，分兩種情況討論如下：

①G在8的延長(zhǎng)線上時(shí)，QG=10,

如圖1,過(guò)B作3Q_LCO于Q,

由于四邊形A8CD是菱形，ZADC=60°,

：.BC=AB=6.ZBCQ=60°,

:,BQ=3?CQ=3,

：.BG=J192+(3V3)2=2V97.

FHBH

又由F”〃GG可得二

GCBC

而△。尸”是等邊三角形，

:?BH=B—HC=BC-777=6-FH,

.FH6-FH

*16-6

48

：

.FH=Tl,

八FHFG

由(1)知--=

ABBG

,口「FHBG48196y16r^=

..FG=r-=五％?2配=五版.

②G在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CG=16,

如圖2,過(guò)8作BQ_LCG于Q,

:四邊形A8C。是菱形，ZADC=60°,

.'.BC=AB=6,NBCQ=60°.

:*BQ=3痘,CQ=3.

：.BG=132+(3V3)2=14.

FHBH

又由F”〃CG,可得丁=

GCBC

.FHBH

*16-6

?：BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,

48

：.FH=T-

，：FH〃CG,

.BFFH

…BG~CG

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4842

.*.BF=14x-^-16=-^.

；.FG=14+等=弩.

FH488

⑶G在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，而=g+6=g,

FG1128

—=---+14=一，

BG55

FH尸G一

，--=---成乂.

ABBG

FHPC

結(jié)合上述過(guò)科發(fā)現(xiàn)G在直線cn上時(shí)，結(jié)論布=而還成立.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OBLOA,且08=204,點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1,2）

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)