中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《一次函數(shù)與反比例函數(shù)》專題訓(xùn)練（附答案）

第頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《一次函數(shù)與反比例函數(shù)》專題訓(xùn)練（附答案）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單選題1．（2023年·通州如東一模）如果一個函數(shù)同時滿足條件：①圖象經(jīng)過點(diǎn)；②圖象經(jīng)過第四象限；③當(dāng)時，y隨x的增大而減小，那么這個函數(shù)解析式可能是（

）A． B． C． D．2.（2023年·海門一模）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B. C. D.3．（2023年·海安一模）如圖，、兩點(diǎn)分別在函數(shù)和的圖象上，線段軸，點(diǎn)在軸上，則的面積為()A．3 B．4 C．6 D．94.（2023年·崇川三模）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動．當(dāng)線段最短時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A. B. C.D.5.（2023年·啟東二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=1x(x>0)圖象上的一個動點(diǎn)，連結(jié)AO，AO的延長線交反比例函數(shù)y=kx(k>0,x<0)的圖象于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E.過點(diǎn)E作EP//AB，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)P，連結(jié)OP.若S△BOP=1.5A.4

B.9

C.10

D.12

6.（2023年·海安二模）如圖，菱形的一邊在x軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，對角線和相交于點(diǎn)D且．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，并與的延長線交于點(diǎn)E，則（）A. B.2 C.3 D.4二、填空題7．（2023年·海安一模）將一次函數(shù)的圖象向下平移2個單位長度后經(jīng)過點(diǎn)，則b的值為．8.（2023年·崇川三模）已知點(diǎn)在第三象限，則m的取值范圍是______．9.（2023年·崇川三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形在第二象限內(nèi)，邊與軸平行，、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為3、2，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．若菱形的面積為，則的值為___________．10.（2023年·通州如東二模）如圖，雙曲線與直線相交于兩點(diǎn)，將直線向上平移3個單位長度，所得的直線在第一象限內(nèi)交雙曲線于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，若，則的值為______．11.（2023年·通州如東一模）如圖，點(diǎn)是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，連接并延長，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，作軸，垂足為，連接，則的面積為(用含的式子表示)．12．（2023年·啟東一模）如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45°，與雙曲線位于第三象限的一支交于點(diǎn)C，若，則．13.（2023年·海門一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與射線交于點(diǎn)若，則的值為______．14．（2023年·海安一模）如圖，直線與雙曲線相交于，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在雙曲線上，直線交y軸于點(diǎn)D，若的面積為12，則C點(diǎn)坐標(biāo)為.15.（2023年·海門二模）如圖，已知反比例函數(shù)和的圖象分別經(jīng)過點(diǎn)A、B，線段AB交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，以AB為斜邊在AB上方作，使軸，BE交x軸于點(diǎn)F．若，則k的值為_________．16.（2023年·啟東三模）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，的長為______．三、解答題17.（2023年·海門一模）甲，乙兩人沿同一條筆直的公路由地勻速駛往地，先到者原地休息，乙的速度是甲的速度的4倍．甲：出發(fā)，乙：出發(fā)，兩人之間的距離與甲所用的時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）甲的速度為______；的值為______；，兩地之間的距離為______；（2）當(dāng)甲，乙兩人之間的距離為時，求甲所用的時間．18.（2023年·啟東二模）

共享電動車是一種新理念下的交通工具；主要面向3km～10km的出行市場，現(xiàn)有A，B兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費(fèi)y(元)與騎行時間x(min)之間的對應(yīng)關(guān)系，其中A品牌收費(fèi)方式對應(yīng)y1，B品牌的收費(fèi)方式對應(yīng)y2，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

(1)說出圖中函數(shù)y1、y2的圖象交點(diǎn)P表示的實(shí)際意義；

(2)求y1、y2關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)①如果小明每天早上需要騎行A品牌或B品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為300m/min，小明家到工廠的距離為9km那么小明選擇______品牌共享電動車更省錢？(填“A”或“B”)

②當(dāng)19．（2023年·通州如東一模）定義：若函數(shù)的圖象上至少存在一個點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)落在函數(shù)的圖象上，則稱函數(shù)，為關(guān)聯(lián)函數(shù)，這兩個點(diǎn)稱為函數(shù)，的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)．例如，函數(shù)與函數(shù)為關(guān)聯(lián)函數(shù)，點(diǎn)和點(diǎn)是這兩個函數(shù)的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)．(1)判斷函數(shù)與函數(shù)是否為關(guān)聯(lián)函數(shù)？若是，請直接寫出一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)；若不是，請簡要說明理由；(2)若對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)與始終為關(guān)聯(lián)函數(shù)，求的值；(3)若函數(shù)與函數(shù)(，為常數(shù))為關(guān)聯(lián)函數(shù)，且只存在一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍．20．（2023年·啟東一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)圖象上到一條坐標(biāo)軸的距離等于a，到另一條坐標(biāo)軸的距離不大于a的點(diǎn)叫做該函數(shù)圖象的“a級方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)為雙曲線的“3級方點(diǎn)”，點(diǎn)為直線的“級方點(diǎn)”．(1)下列函數(shù)中，其圖象的“1級方點(diǎn)”恰有兩個的是（只填序號）；①y＝x；②；③．(2)判斷直線的“2級方點(diǎn)”的個數(shù)，并說明理由；(3)已知y關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)該函數(shù)圖象的“a級方點(diǎn)”恰有三個時，求a的值．21.（2023年·海門一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)與某函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)在該函數(shù)圖像上的“直差點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)，求點(diǎn)在函數(shù)圖像上“直差點(diǎn)”的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上恰好存在唯一的“直差點(diǎn)”，求的值；（3）若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上有且只有個“直差點(diǎn)”，求的取值范圍．22.（2023年·通州如東二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圖形上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圖形上的任意一點(diǎn)，若存在直線滿足且（或滿足且），則稱直線是圖形與的“界線”．例如：直線是函數(shù)的圖象與拋物線的一條“界線”．已知點(diǎn)．（1）若，在直線①，②，③中，是函數(shù)的圖象與正方形的“界線”的有______（填序號）；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)是的半徑為與正方形的“界線”有且只有一條，求“界線”的函數(shù)關(guān)系式；（3）若存在直線是函數(shù)的圖象與正方形的“界線”，求的取值范圍．（2023年·啟東二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們定義：點(diǎn)P(a,b)的“變換點(diǎn)”為Q，且規(guī)定：當(dāng)a≥b時，點(diǎn)Q為(b,?a).當(dāng)a<b.點(diǎn)Q為(a,?b)．

(1)分別寫出各點(diǎn)的“變換點(diǎn)”；(6,0)→______；(2,2)→______；(0,3)→______；

(2)當(dāng)點(diǎn)A(a,?2)的“交換點(diǎn)“在函數(shù)y=x+1的圖象上，求a的值；

(3)已知直線l與坐標(biāo)軸交于(6,0)，(0,3)兩點(diǎn)，將直線l上所有的“變換點(diǎn)“組成一新的圖形，記為M.當(dāng)拋物線y=x2+c與圖形M的交點(diǎn)個數(shù)2個或3個時，求出應(yīng)c的取值范圍．

2024年南通市中考數(shù)學(xué)專題練習(xí)（三）——一次函數(shù)與反比例函數(shù)（解析）一、單選題1．（2023年·通州如東一模）如果一個函數(shù)同時滿足條件：①圖象經(jīng)過點(diǎn)；②圖象經(jīng)過第四象限；③當(dāng)時，y隨x的增大而減小，那么這個函數(shù)解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D2.（2023年·海門一模）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】解：如圖所示：可得直線經(jīng)過，不等式可變形：，由圖像可得：的解集是：，不等式的解集是．3．（2023年·海安一模）如圖，、兩點(diǎn)分別在函數(shù)和的圖象上，線段軸，點(diǎn)在軸上，則的面積為()A．3 B．4 C．6 D．9【答案】A解：連接、，軸，的面積等于的面積，的面積：，的面積為：4.（2023年·崇川三模）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動．當(dāng)線段最短時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A. B. C.D.【答案】A【詳解】解：當(dāng)線段最短時，，∵直線為，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，∴．∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴．作于點(diǎn)H，則，∴，即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入，可得：，∴．5.（2023年·啟東二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=1x(x>0)圖象上的一個動點(diǎn)，連結(jié)AO，AO的延長線交反比例函數(shù)y=kx(k>0,x<0)的圖象于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E.過點(diǎn)E作EP//AB，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)P，連結(jié)OP.若SA.4

B.9

C.10

D.12【答案】B

解：∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=1x(x>0)圖象上的一個動點(diǎn)，AE⊥y軸于點(diǎn)E，

∴S△AOE=12×1=12，

∵EP//AB，

∴點(diǎn)E、點(diǎn)P到AB的距離相等，

∵S△BOP=1.5，

∴OAOB=13，

作BH⊥OC于H，

∴AE//BH，6.（2023年·海安二模）如圖，菱形的一邊在x軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，對角線和相交于點(diǎn)D且．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，并與的延長線交于點(diǎn)E，則（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B解：如圖所示，過點(diǎn)C作于G，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∵D為的中點(diǎn)，∴，又∵D在反比例函數(shù)圖象上，∴，∵，∴E的縱坐標(biāo)為4，又∵E在反比例函數(shù)圖象上，∴E的橫坐標(biāo)為，∴，∴，∴，二、填空題7．（2023年·海安一模）將一次函數(shù)的圖象向下平移2個單位長度后經(jīng)過點(diǎn)，則b的值為．【答案】48.（2023年·崇川三模）已知點(diǎn)在第三象限，則m的取值范圍是______．【答案】9.（2023年·崇川三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形在第二象限內(nèi)，邊與軸平行，、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為3、2，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．若菱形的面積為，則的值為___________．【答案】【詳解】過點(diǎn)作x軸的垂線，交的延長線于點(diǎn)E，

∵，兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象，且縱坐標(biāo)分別為3，2，

∴，∴∵菱形的面積為，

∴，即，

∴，

在中，

∴，∴．又∵圖象在第二象限，∴∴10.（2023年·通州如東二模）如圖，雙曲線與直線相交于兩點(diǎn)，將直線向上平移3個單位長度，所得的直線在第一象限內(nèi)交雙曲線于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，若，則的值為______．【答案】4解：如圖，過點(diǎn)、點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為、，直線向上平移個單位長度得到直線，則直線的關(guān)系式為，，即，，軸，軸，，，設(shè)則，點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，，即，點(diǎn)、點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，，由于，解得，，點(diǎn)，，11.（2023年·通州如東一模）如圖，點(diǎn)是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，連接并延長，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，作軸，垂足為，連接，則的面積為(用含的式子表示)．【答案】【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵點(diǎn)是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，連接并延長，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，∴∵∴∴∴∴∴，∵∴的面積為，12．（2023年·啟東一模）如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45°，與雙曲線位于第三象限的一支交于點(diǎn)C，若，則．【答案】【詳解】設(shè)，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作，交于，過點(diǎn)作軸于，與軸交于，連接，∵直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，∴，，，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時，，∴，，聯(lián)立直線與反比例函數(shù)解析式得，解得：，（舍去），∴，∴，解得：，∴，13.（2023年·海門一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與射線交于點(diǎn)若，則的值為______．【答案】解：如圖，作軸于點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，，，點(diǎn)，，，∵軸，軸，∴，∴，∴，∴，，∴點(diǎn)，，點(diǎn)A，是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，∴，解得，∴14．（2023年·海安一模）如圖，直線與雙曲線相交于，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在雙曲線上，直線交y軸于點(diǎn)D，若的面積為12，則C點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】解：連接，如圖所示：∵直線與雙曲線相交于，B兩點(diǎn)，∴，A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴雙曲線為，∵點(diǎn)C在雙曲線上，∴設(shè)，設(shè)直線的解析式為，把、代入得：，解得，∴，∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴，∴，∴，解得，∴．15.（2023年·海門二模）如圖，已知反比例函數(shù)和的圖象分別經(jīng)過點(diǎn)A、B，線段AB交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，以AB為斜邊在AB上方作，使軸，BE交x軸于點(diǎn)F．若，則k的值為_________．【答案】【詳解】解：如圖：由題意可得：∴，設(shè)，則∵，∴，∴由題意可得：∴設(shè)，則∴，∴∵反比例函數(shù)和的圖象分別經(jīng)過點(diǎn)A、B∴，∴．16.（2023年·啟東三模）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，的長為______．【答案】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)Q作交于G，過點(diǎn)D作且，連接，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線對稱，∴，∴，∴，，是等腰直角三角形，∴，設(shè)與y軸交于N，過點(diǎn)E作軸于M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；由軸對稱的性質(zhì)可得，∴，∴，∵要使最小，即要使最小，∴當(dāng)最小時，最小，即最小，∴當(dāng)E、F、G三點(diǎn)共線時，最小，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立，解得，∴當(dāng)最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴，三、解答題17.（2023年·海門一模）甲，乙兩人沿同一條筆直的公路由地勻速駛往地，先到者原地休息，乙的速度是甲的速度的4倍．甲：出發(fā)，乙：出發(fā)，兩人之間的距離與甲所用的時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）甲的速度為______；的值為______；，兩地之間的距離為______；（2）當(dāng)甲，乙兩人之間的距離為時，求甲所用的時間．解：（1）由圖像知，甲的速度為，∵乙的速度是甲的速度的4倍，∴乙的速度是千米小時，由題意得，解得；由圖像知，甲小時走完全程，∴，兩地之間的距離為千米．故答案為：，，；（2）設(shè)甲所用時間為x小時，①甲、乙兩人相遇前距離為時，根據(jù)題意得：，解得舍去；甲、乙兩人相遇后距離為時，根據(jù)題意得：，解得；當(dāng)乙到達(dá)地，兩人相距時，即甲距離地，此時甲所用時間為：．綜上所述，當(dāng)甲，乙兩人之間的距離為時，甲所用的時間為或．18.（2023年·啟東二模）

共享電動車是一種新理念下的交通工具；主要面向3km～10km的出行市場，現(xiàn)有A，B兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費(fèi)y(元)與騎行時間x(min)之間的對應(yīng)關(guān)系，其中A品牌收費(fèi)方式對應(yīng)y1，B品牌的收費(fèi)方式對應(yīng)y2，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

(1)說出圖中函數(shù)y1、y2的圖象交點(diǎn)P表示的實(shí)際意義；

(2)求y1、y2關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)①如果小明每天早上需要騎行A品牌或B品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為300m/min，小明家到工廠的距離為9km那么小明選擇______品牌共享電動車更省錢？(填“A”或“B”)

解：(1)由圖象可得，P(20,8)，

交點(diǎn)P表示的實(shí)際意義是：當(dāng)騎行時間為20min時，A，B兩種品牌的共享電動車收費(fèi)都為8元；（2）設(shè)y1=k1x，

將點(diǎn)(20,8)代入得，20k1=8，

解得：k1=0.4，

∴y1=0.4x(x>0)，

由圖象可知，當(dāng)0<x≤10時，y2=6，

設(shè)當(dāng)x>10時，y2=k2x+b，

將點(diǎn)(10,6)，(3)①小明從家騎行到工廠所需時間為9000300=30(min)，

A品牌所需費(fèi)用為0.4×30=12(元)，

B品牌所需費(fèi)用為0.2×30+4=10(元)，

∵12>10，

∴選擇B品牌共享電動車更省錢；

故答案為：B②當(dāng)0<x≤10時，y2?y1=3，

∴6?0.4x=3，

解得：x=7.5，

當(dāng)x>10時，y2?y1=3或y1?y2=3，

∴0.2x+4?0.4x=3或0.4x?(0.2x+4)=3，

解得：x=5(19．（2023年·通州如東一模）定義：若函數(shù)的圖象上至少存在一個點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)落在函數(shù)的圖象上，則稱函數(shù)，為關(guān)聯(lián)函數(shù)，這兩個點(diǎn)稱為函數(shù)，的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)．例如，函數(shù)與函數(shù)為關(guān)聯(lián)函數(shù)，點(diǎn)和點(diǎn)是這兩個函數(shù)的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)．(1)判斷函數(shù)與函數(shù)是否為關(guān)聯(lián)函數(shù)？若是，請直接寫出一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)；若不是，請簡要說明理由；(2)若對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)與始終為關(guān)聯(lián)函數(shù)，求的值；(3)若函數(shù)與函數(shù)(，為常數(shù))為關(guān)聯(lián)函數(shù)，且只存在一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)與函數(shù)是關(guān)聯(lián)函數(shù)依題意，設(shè)和是與函數(shù)這兩個函數(shù)的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)，∴，解得：或，∴和或和是這兩個函數(shù)的一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)；（2）∵對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)與始終為關(guān)聯(lián)函數(shù)，∴，，即，∴，，∴；（3）解：與函數(shù)(，為常數(shù))為關(guān)聯(lián)函數(shù)，且只存在一對關(guān)聯(lián)點(diǎn)，設(shè)和是這對函數(shù)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，∴，即關(guān)于的方程，有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，∵，∴．20．（2023年·啟東一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)圖象上到一條坐標(biāo)軸的距離等于a，到另一條坐標(biāo)軸的距離不大于a的點(diǎn)叫做該函數(shù)圖象的“a級方點(diǎn)”．例如，點(diǎn)為雙曲線的“3級方點(diǎn)”，點(diǎn)為直線的“級方點(diǎn)”．(1)下列函數(shù)中，其圖象的“1級方點(diǎn)”恰有兩個的是（只填序號）；①y＝x；②；③．(2)判斷直線的“2級方點(diǎn)”的個數(shù)，并說明理由；(3)已知y關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)該函數(shù)圖象的“a級方點(diǎn)”恰有三個時，求a的值．【詳解】（1）①③；（2）的“2級方點(diǎn)”有兩個，理由：∵，∴函數(shù)過定點(diǎn)，由“a級方點(diǎn)”的定義可知，函數(shù)圖象的“2級方點(diǎn)”是指函數(shù)圖象上落在以原點(diǎn)為中心，邊長為4且一邊平行于x軸的正方形上的點(diǎn)，∵點(diǎn)恰好落在該正方形的內(nèi)部，直線與該正方形必有兩個交點(diǎn)，∴的“2級方點(diǎn)”有兩個；（3）∵二次函數(shù)，∴拋物線的開口向下，頂點(diǎn)為，①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在時，拋物線恰有三個“a級方點(diǎn)”，如圖，則，解得；②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時，拋物線恰有三個“a級方點(diǎn)”，如圖，則，解得（不合題意，舍去），∴a的值為2，，．21.（2023年·海門一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)與某函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)在該函數(shù)圖像上的“直差點(diǎn)”．（1）已知點(diǎn)，求點(diǎn)在函數(shù)圖像上“直差點(diǎn)”的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上恰好存在唯一的“直差點(diǎn)”，求的值；（3）若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上有且只有個“直差點(diǎn)”，求的取值范圍．解：（1）設(shè)點(diǎn)在函數(shù)圖像上“直差點(diǎn)”的坐標(biāo)為，根據(jù)“直差點(diǎn)”定義可得：，解得，點(diǎn)在函數(shù)圖像上“直差點(diǎn)”的坐標(biāo)為；（2）設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖像上的“直差點(diǎn)”為，，整理得：，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上恰好存在唯一的“直差點(diǎn)”，，即，解得：舍去或，的值為；（3）設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖像上的“直差點(diǎn)”為，，，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上有且只有個“直差點(diǎn)”，的圖像與的圖像有且只有個交點(diǎn)，在中，令得或，的圖像與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，如圖：把代入得：，解得：，把代入得：，解得：，由圖像可知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上有且只有個“直差點(diǎn)”，的取值范圍是．22.（2023年·通州如東二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圖形上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圖形上的任意一點(diǎn)，若存在直線滿足且（或滿足且），則稱直線是圖形與的“界線”．例如：直線是函數(shù)的圖象與拋物線的一條“界線”．已知點(diǎn)．（1）若，在直線①，②，③中，是函數(shù)的圖象與正方形的“界線”的有______（填序號）；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)是的半徑為與正方形的“界線”有且只有一條，求“界線”的函數(shù)關(guān)系式；（3）若存在直線是函數(shù)的圖象與正方形的“界線”，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，點(diǎn)，如圖，直線與正方形有一個交點(diǎn)，直線與函數(shù)沒有交點(diǎn)，∴直線是函數(shù)的圖象與正方形ABCD的“界線”；故答案為：②；（2）與正方形的“界線”有且只有一條，與正方形有且只有一個公共點(diǎn)，如圖，當(dāng)正方形與唯一公共點(diǎn)是點(diǎn)時，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，半徑為，，，，，，，直線是與正方形的唯一“界線”，直線與相切且經(jīng)過點(diǎn)，直線，直線經(jīng)過兩點(diǎn)，直線的解析式為；當(dāng)公共點(diǎn)是點(diǎn)時，同理可得直線的解析式為，綜上，界線的解析式為或；（3）①由，得，若直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)，，，，當(dāng)時，，若存在直線是“界線”，；②對于拋物線，當(dāng)時，，若直線恰好