2021年中考數(shù)學考點09 二次函數(shù)基礎(chǔ)題匯總（解析版）

考點09二次函數(shù)根本題匯總

一、單選題（共12小題）

1.（2021秋?永吉縣期末）將二次函數(shù)>=-3（x-1）2的圖象平移后，得到二次函數(shù)y=-3/的圖象,

平移的方式可所以（）

A.向左平移1個單位長度B.向右平移1個單位長度

C.向上平移1個單位長度D.向下平移I個單位長度

【解答】解：將拋物線>■=-3（X-1）2向左平移1個單位長度得到的拋物線對應的函數(shù)表達式為：），

=-31.

故選:A.

【常識點】二次函數(shù)圖象與兒何變換

2.（2021秋?南關(guān)區(qū)校級期中）拋物線y=3/向左平移4個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物

線是（）

A.y=3（x-4）2+2B.y=3（x-4）2-2

C.y=3（x+4）2-2D.y=3（x+4）2+2

【解答］解:y=31向左平移4個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是），=3（x+4）2-2.

故選:C.

【常識點】二次函數(shù)圖象與幾何變換

3.（2021秋?沙坪壩區(qū)校級月考）若y=（/n-l）x/歷是關(guān)于x的二次函數(shù)，則機的值為（）

A.-2B.-2或1C.1D.不存在

【解答］解：若丫=（〃L1）x仇二%是關(guān)于x的二次函數(shù)，則|m+匹2,

,m-1滬0

解得："7=-2.

故選:A.

【常識點】二次函數(shù)的定義

4.（2021秋?常熟市期末）若二次函數(shù)y=x?-2x+k的圖象經(jīng)由點（-1,yi）,（y,y2）,則yi與y2

的大小關(guān)系為（）

A.yi>y2B.yi=y2C.yi<y?D.不能確定

【解答】解：當x=-1時，yi=x2-2x+k=l+2+k=k+3；

當x=2時，V2=x2-2x+k=--l+k=k--,

244

所以yi>y2.

故選:A.

【常識點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特點

5.（2021秋?吉林期末）把拋物線>=-尹向下平移1個單位，再向左平移1個單位，得到的拋物線解

析式為（）

A.y=（x+1）2+1B,y=（x+1）2-1

C.y=-（x-1）2+1D.>>=-（x-1）2-I

【解答】解：-學向下平移1個單位，再向左平移1個單位，

.?.平移后的拋物線的極點坐標為（-1,-1）,

二平移得到的拋物線的解析式為y=-y（x+1）2-1.

故選：B.

【常識點】二次函數(shù)圖象與幾何變換

6.（2021秋?龍崗區(qū)期末）如圖是二次函數(shù)）=江+法+c圖象的一部分，其對稱軸是x=-1,且過點（-

3,0）,下列說法：①而c<0；②2a-8=0；③4a+2/>+cV0；④若（-5,y。，（3,丫2）是拋

物線上兩點，則其中說法對的是（）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

【解答】解：???拋物線啟齒向上，

/.a>0,

?.?拋物線對稱軸為直線尤=-?=-I,

2a

：.b^2a>0,則2〃-6=0,所以②正確;

???拋物線與y軸的交點在x軸下方，

Ac<0,

.".abc<0,所以①正確；

；x=2時，y>0,

/.4a+2Z?+c>0,所以③）錯誤；

???點（-5,尹）離對稱軸的間隔與點（3,”）離對稱軸的間隔相等,

，yi=y2,所以④不正確.

故選:A.

【常識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

7.（2021?富順縣校級模擬）函數(shù)和y=ox+a（a是常數(shù)，且aWO）在同一向角坐標系中

【解答】解:A、由一次函數(shù)y=ar+“的圖象可得：a<0,此時二次函數(shù)y=a『+/>x+c的圖象應該啟齒向

下，故選項錯誤；

8、由一次函數(shù)y=ar+a的圖象可得：a<0,此時二次函數(shù)）>=底+必+。的圖象應該啟齒向

下，故選項錯誤；

C、由一次函數(shù)y=ar+a的圖象可得：。>0,此時二次函數(shù)y=a?+6x+c的圖象應該啟齒向

上,對稱軸x=一片2>0,故選項正確；

D、由一次函數(shù)y=ax+4的圖象可得：a<0,此時二次函數(shù)1=加+法+,的對稱軸X--不二

<0,故選項錯誤.故選:C.

【常識點】一次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的圖象

8.（2021秋?肇源縣期末）若函數(shù)），=（%2+附x6Nxl是二次函數(shù)，那么機的值是（）

A.2B.-1或3C.3D.-1±V2

2

-=

【解答】解：根據(jù)題意得：《m~2ml2

K+m關(guān)0

'm=3或-1

解得：<

m聲。且m盧一1

??加=3,

故選:C.

【常識點】二次函數(shù)的定義

9.(2021秋?溫州校級期末)已知2021),B(m+n,2021)是拋物線y=-(x-h)2+2036±

兩點，則正數(shù)〃=()

A.2B.4C.8D.16

【解答】解：(肛2021),B(m+n,2021)是拋物線y=-(x-h)2+2036上兩點，

.\2021=-(x-/?)2+2036,

解得x\—h-4,X2—/1+4,

.".A(/J-4,2021),8(〃+4,2021),

■:m=h-4,m+n=h+4,

**?77=8,

故選:c.

【常識點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特點

10.(2021秋?東西湖區(qū)校級月考)已知二次函數(shù)>=4/+笈+0?的圖象經(jīng)由(-4,0)與(2,0)兩點，關(guān)

于x的方程o^+bx+c+rtiu。(機>0)有兩個根，其中一個根是4.若關(guān)于x的方程浸+6尤+<?+〃=0(0

<n<m)也有兩個整數(shù)根，則這兩個整數(shù)根是()

A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或4

【解答】解：；二次函數(shù)》=蘇+6+。的圖象經(jīng)由(-4,0)與(2,0)兩點，

...當y=0時;Ona^+bx+c的兩個根為-4和2,函數(shù)juaf+bx+c的對稱軸是直線x=-

1,

又?.,關(guān)于x的方程加+法+什加=。(w>0)有兩個根，其中一個根是4.

...方程加+Z?x+c+/w=O(w>0)的另一個根為-6,函數(shù)丫=加+取+。的圖象啟齒向下，

*.,關(guān)于尤的方程潑+法+。+〃=0(0<?<m)有兩個整數(shù)根，

.?.這兩個整數(shù)根是-5或3,

故選:C.

【常識點】根的判別式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、拋物線與x軸的交點

11.（2021秋?瑤海區(qū)期中）拋物線y=62+公+cQW0）的圖象大抵如圖所示，下列說法:

①2a+b=0；

②當-|<x<3時，y<0；

③若（xi,yi）（及，yz）在函數(shù)圖象上，當xi<X2時，yt<y2；

④9a+38+c=0,

其中對的是（）

bx+c(a^Q)

A.①②④B.①④C.①②③D.③④

【解答】解:①由圖示知，對稱軸是直線工=等=則2"+方=0,故說法正確.

22a

②由圖示知，當-l〈xV3時，y<0,故說法正確.

③若（X|,>,|）（X2,丫2）在函數(shù)圖象上，當1<X|<X2時，yi<y2,故說法錯誤.

④由圖示知，當x=3時，j—0,BP9a+3b+c—0,故說法正確.

綜上所述，對的說法是①②④.

故選:A.

【常識點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

12.（2021秋?涪城區(qū)月考）如圖，C、D是拋物線產(chǎn)f-x-3上在x軸下方的兩點，且CO〃x軸，過

點C、。分

別向x軸作垂線，垂足分別為以A,則矩形A8CD周長的最大值為（）

D

C-T-f

【解答】解：函數(shù)的對稱軸為x=--77=^-,

2X12

設(shè)點。(x,x2-x-3),根據(jù)函數(shù)的對稱性，點C的坐標為(1-X,f-x-3),

則CD=I-2x,AD=-(x2-x-3),

則矩形ABC。周長=2(CC+40=2(1-Zx--JT+X+3)=-2?-2x+8,

V-2<0,故矩形ABC。周長存在最大值，

當x=-±時，矩形A8CO周長的最大值為與

故選:A.

【常識點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、矩形的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的最值

二'填空題(共8小題)

13.(2021秋?林州市期中)當加=時，(m2-1)是二次函數(shù).

【解答】解：由題意得：>-加=2,且加_1#0,

解得:in—2,

故答案為：2.

【常識點】二次函數(shù)的定義

14.(2021秋?普陀區(qū)校級期中)參加二次函數(shù)y=-3/+x-〃z+l的圖象經(jīng)由原點，那么，"的值為.

【解答】解：把原點(0,0)代入解析式，得1-機=0,

解得，m—\,

故答案為：1.

【常識點】二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特點

15.(2021秋?岳麓區(qū)校級月考)拋物線y=f-1向右平移2個單位，再向下平移1個單位所得的拋物線

的表達式為.

【解答】解：y=f-1向右平移2個單位，再向下平移1個單位所得的拋物線的表達式為：y=（x-2）2

-1-1,即丫=（x-2）2-2.

故答案是:y=（x-2）2-2.

【常識點】二次函數(shù)圖象與幾何變換

16.（2021秋?大連月考）二次函數(shù)y=f+bx+c的圖象如圖所示，若y>0,則x的取值范疇是.

【解答】解：由圖象可得，

當y>0時，x的取值范疇是x<-1或x>3,

故答案為：xV-1或x>3.

【常識點】拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)

17.（2021秋?海淀區(qū)期末）如圖，拋物線y=ox2+"+c的對稱軸為x=l,點P,點。是拋物線與x軸

的兩個交點，若點P的坐標為（4,0）,則點。的坐標為-

【解答】解：,??拋物線的對稱軸為直線x=l,點P的坐標為（4,0）,

.?.點Q的橫坐標為1X2-4=-2,

.?.點。的坐標為（-2,0）.

故答案為：（-2,0）.

【常識點】二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點

18.（2021秋?天河區(qū)期末）如圖，以扇形AO8的極點。為原點，半徑03所在的直線為x軸，創(chuàng)立

平面直角坐標系，點8的坐標為（2,0）,NAOB=45。.現(xiàn)從-2,-y,-1,-y,0,畀隨

機拔取一個數(shù)記為a,則〃的值既使得拋物線y蔣x2+a與扇形A08的界限有公共點，又使得關(guān)

于X的方程串4=-1的解是正數(shù)的概率是

【解答】解：由已知可得，08=2,04=2,408=45°,

則點A的橫坐標為:OA,cos45°—2X^-=^1縱坐標為：OA?sin45°=2乂零

即點A的坐標為：（我，、歷），

,.ax+l二］

解得x=2,

a+1

方程些工=-1的解是正數(shù)時，±>0且1聲2.得-1且。聲V，

x-2a+1a+1

又?.?拋物線y-|x2+a與扇形408的界限有公共點,

???yX22+a>0

解得心-2,

.*.?的值既使得拋物線y-|x2+a與扇形AOB的界限有公共點，又使得關(guān)于x的方程

氏-=-1的解是正數(shù)時滿足的前提是：a>-1且

.?.從-2,y,-1,~y,0,卷中隨機拔取一個數(shù)記為a,吻合要求的有0和

.?.從-2,-p-1,-y,0,1中隨機拔取一個數(shù)記為a,則?的值既使得拋物線

y-1x2+a與扇形AOB的界限有公共點，又使得關(guān)于x的方程嘿^=-1的解是正數(shù)的

概率是：-1.

故答案為：4.

【常識點】二次函數(shù)綜合題

19.（2021秋?富裕縣期末）在拋物線形拱橋中，以拋物線的對稱軸為y軸，極點為原點創(chuàng)立如圖所示

的平面直角坐標系，拋物線解析式為卜=加，水面寬AB=6〃?，AB與y軸交于點C,0C=3〃?，當水

面上升1巾時，水面寬為m.

【解答】解：；A8=6〃?，0C=3m,

.?.點8坐標為(3,-3),

將8(3,-3)代入y=o?得：

-3=aX32,

，當水面上升1"?時，即縱坐標y=-2時，有:

.*=6,

?'?.Vl-Vfi,X2=^6-

.?.水面寬為：近-(-V6)=2近(/M)

故答案為：2后.

【常識點】二次函數(shù)的應用

20.(2021秋?朝陽區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-f+2x的極點為A,在x軸下方

作垂直于y軸的直線BC拋物線于點以C,毗鄰A3、AC,若點B到x軸的間隔是點A到x軸間

隔的3倍，則△ABC的面積為.

【解答】解：由拋物線y=-M+2x=-(x-1)2+1知，A(1,1)

?.?點8到x軸的間隔是點A到x軸間隔的3倍，

?'?>'?=-3.

則-f+2x=-3,BPx2-2x-3=0,

解得X1=3,X2=-l.

,：BCLy軸，

：.B（-I,-3）,C（3,-3）.

.?.BC=4.

=

?"?SA4BC=:—^4X48.

故答案是：8.

【常識點】拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)

三、解答題（共9小題）

21.（2021秋?吉林期末）已知函數(shù)y=（m-l）xmf+4x-5是二次函數(shù).

（1）求相的值；

（2）寫出這個二次函數(shù)圖象的對稱軸和極點坐標.

【解答】解：（1）由y=（m-l）x?+l+4x-5是二次函數(shù)，得

川+1=2且I/O.

解得m--1；

（2）當m=-1時，二次函數(shù)為y=-2『+4x-5,

a=-2,b=4,c=-5,

對稱軸為x=-^-=\,

極點坐標為（1,-3）.

【常識點】二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的定義

22.（2021秋?越秀區(qū)校級期中）己知二次函數(shù)的圖象的極點是（-1,-2）,且經(jīng)由點（0,-1-）.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）聯(lián)合函數(shù)圖象，當二次函數(shù)的圖象位于x軸下方時，求自變量x的取值范疇.

【解答】解：（1）設(shè)該拋物線解析式是：y=a（x+1）2-2（aWO）.

把點（0,--|）代入，得

O

a（0+1）2-2=-

解得

故該拋物線解析式是尸a(X+1)2-2.

(2)由(1)知，拋物線解析式是y=/(x+1)2-2.

由產(chǎn)/(x+1)2-2=/(X-1)(X+3)=0知，拋物線與x軸的交點坐標是(1,0)和

(-3,0),且拋物線啟齒向上，

所以，當二次函數(shù)的圖象位于x軸下方時，自變量x的取值范疇是：

【常識點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求

二次函數(shù)解析式

23.某商店經(jīng)營一種小商品，進價為40元，據(jù)市場調(diào)查，銷售價是60元時，平均天天銷售量是300件,

而銷售價每降低1元，平均天天就可以多售出20件.

(1)假定每件商品降價x元，商店天天銷售這種小商品的利潤是y元，請寫出y與x間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)每件小商品銷售價是幾元時，商店天天銷售這種小商品的利潤最大？最大利潤是幾？

【解答】解：(1)依題意有：y=(60-x-40)(300+20x)=-20x2+100x+6000：

(2)Vy=-20x?+1oox+6OOO=-20(x-2.5)2+6125；

Va=-20<0,

...當x=2.5時y取最大值，最大值是6125,即降價2.5元時利潤最大，

每件小商品銷售價是2.5元時，商店天天銷售這種小商品的利潤最大，最大利潤是6125元.

【常識點】二次函數(shù)的應用

24.(2021?朝陽區(qū)校級一模)在平面直角坐標系中，記函數(shù)y=,'+2nx+2n的圖象為G,正

,x2-6nx(x^0)

方形ABC。的對稱中間與原點重合，極點A的坐標為(2,2),點8在第四象限.

(1)當n=\時.

①求G的最低點的縱坐標；

②求圖象G上所有到x軸的間隔為2的點的橫坐標之和.

（2）當圖象G與正方形ABC。的邊恰好有兩個公共點時，直接寫出〃的取值范疇.

X2+2X+2(X<0)

【解答】解：（1）①y=,

x2-6x(x^0)

函數(shù)圖象如圖所示:

「T

J1

J-L-l-l.

l—

rT

1

—

+

1—

uu

--

l

In

r

LJ

Il

Pn

LJ

函數(shù)取低點的坐標（3,-9）,

???圖象G的最低點的縱坐標為-9.

②當），=2時，/+2x+2=2,解得x=-2或0（舍棄）

W-6x=2時，解得X=3+JT1或3-JT1（舍棄），

當）=-2時，x2-6x=-2,解得x=3+J7或3-V7,

二圖象G上所有到x軸的間隔為2的橫坐標之和=-2+3+J五+3+有+3-6=7+JTL

（2）當〉，=/+2〃大+27的極點落在4。邊上時，/=2,解得〃=我或-（舍棄）

HT

—I

r「

rn

L」_

II

J

L

I

廠

」

I

L

L-i

2

當"=&時，y=^+2nx+2n（x<0）與邊AO有一個交點，y=/-6〃x與邊8c有一個交點,

吻合題意.

當2/W2,解得“W1或〃2-1,

當y=『-6nx經(jīng)由（2,-2）時，n=-1-,

察看圖象可知當時，滿足前提，

當y=/-6nx的極點在BC邊上時，-9/=-2,

解得“=返或-返（舍棄），

33

當"=-1時，y=f+2〃x+2層（x<0）與正方形的邊沒有交點，

察看圖象可知當-IV〃〈返時，滿足前提，

3_

綜上所述，滿足前提的〃的值為-<返或或〃=亞.

32

【常識點】二次函數(shù)綜合題

25.（2021秋?溫州期中）如圖，邊長為2的正方形0ABe的極點4,C分別在x軸，y軸的正半軸上，

二次函數(shù)y=-f+fcv+c的圖象經(jīng)由8,C兩點.

（1）求Ac的值；

（2）若將該拋物線向下平移，"個單位，使其極點落在正方形0ABe內(nèi)（不包羅邊上），求機的取

值范疇.

【解答】（1）；正方形OABC的邊長為2,

...點8、C的坐標分別為（2,2）,（0,2）,

???二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)由B,C兩點，

.[2=-4+2b+c

-"I2=c

解得（b=2；

1c=2

（2）由（1）可知拋物線為y=-1+2%+2,

"'"y=-x2+2x+2=-（x-1）2+3,

二極點為（1,3）,

???正方形邊長為2,

二將該拋物線向下平移〃，個單位，使其極點落在正方形048c內(nèi)（不包羅邊上），〃，的取

值范疇是1V,”V3.

【常識點】正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、二次函數(shù)圖象與幾何

變換

26.(2021秋?雨花區(qū)校級月考)已知拋物線y=(2，〃-1)x2+(/?+1)x+3(m為常數(shù)).

(1)若該拋物線經(jīng)由點(1,m+7),求機的值；

(2)若拋物線上始終存在不重合的兩點關(guān)于原點對稱，求滿足前提的最大整數(shù)加

(3)將該拋物線向下平移若干個單位長度，所得的新拋物線經(jīng)由P(-5,力)，Q(7,”)(其

中yi<>2)兩點，當-5Wx<3時，點P是該部分函數(shù)圖象的最低點，求，"的取值范疇.

【解答】解：(1)拋物線經(jīng)由點(1,"?+7),

?*-7/1+7=277?-l+m+1+3,

?'?m=2；

(2)設(shè)拋物線線上關(guān)于原點對稱且不重合的兩點坐標分別為(xo,州)，(-xo,-yo),

2

yn=(2m-l)x0+(m+l)x0+3

代入解析式可得：｛,

-y0=(2m-l)xQ-(m+1)XQ+3

兩式相加可得:2(2m-1)必2+6=o,

化簡得：城=-/不，

又，沏#0,

：.2m-l<0,

故滿足前提的最大整數(shù)，”=0；

(3)???新拋物線經(jīng)由尸(-5,力)，Q(7,>-2)(其中yi<y2)兩點，

?.?當-5WxW3時，點P是該圖象的最低點，

①當2m-l>0時，

2m-1

?1-<2

23

②當2w-IVO時，-空當》3,

2m-1

—：

72

綜上所述：?99?且"武1去

732

【常識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、二次函數(shù)圖象與幾何變換、

二次函數(shù)的最值

27.(2021秋?溫州校級期末)如圖直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線)，=?『+6五+3交y軸于點A,過

A作AB〃x軸，交拋物線于點8,連結(jié)。B.點P為拋物線上A8上方的一個點，連結(jié)布，作PQ

垂足為H,交08于點Q.

(1)求A8的長；

(2)當時，求點P的坐標；

(3)當面積是四邊形AOQH面積的2倍時，求點P的坐標.

【解答】解：(1)對于y=-f+6x+3,令x=0,則y=3,故點A(0,3),

令y=-『+6x+3=3,解得x=0或6,故點8(6,3),

故AB=6：

(2)設(shè)尸(/n,-m2+6m+3),

,:NP=NB,NAHP=NOAB=90；

.?.△48。?△“陰，故里段.

ABA0

?-m2+6m__m

63,

解得加=4.

：.P(4,11)；

(3)當△42//的面積是四邊形AOQ”的面積的2倍時，

則2(AO+〃Q)=PH,

/.2(3+-^2^)=-病+6"

解得：〃?1=4,叱=3,

：.P(4,11)或P(3,12).

【常識點】二次函數(shù)綜合題

28.（2021秋?建華區(qū)期末）如圖所示，二次函數(shù)y=-『+2%+加的圖象與x軸的一個交點為A（3,0）,

另一交點為8,且與y軸交于點C.

（1）求相的值；

（2）求點B的坐標；

（3）該二次函數(shù)圖象上有一點ZXx,y）（其中x>0,y>0）,使SAABD=SAABC,求點。的坐標；

（4）若點P在直線4c上，點。是平面上一點，是否存在點。，使以點A、點8、點P、點

Q為極點的四邊形為矩形？若存在，請你直接寫出。點的坐標；若不存在，請說明來由.

【解答】解：(1)把A(3,0)代入二次函數(shù)y=得：

-9+6+777=0,

"7=3；

(2)由(1)可知，二次函數(shù)的解析式為：y=-/+2x+3；

當x=0時，y=3,

：.C(0,3),

當y=0時，-/+2%+3=0,

f-2x-3=0,

(x+1)(x-3)=0,

.\x=-1或3,

：.B(-1,0)；

（3）S△ABD=S&ABC,

當y=3時，-了+2計3=3,

-f+21=0,

x2-2x=0,

x（x>2）=0,

x=0或2,

???只有（2,3）吻合題意.

綜上所述，點。的坐