模型31 正、余弦定理與正弦面積公式原卷版

PAGE1模型介紹模型介紹正弦定理：三角形ABC的三邊長分別為a、b、c，其分別對應(yīng)∠A、∠B、∠C；則有余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示為：a2＝b2+c2﹣2bccos∠Ab2＝a2+c2﹣2accos∠Bc2＝a2+b2﹣2abcos∠C．正弦面積公式：S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB例題精講例題精講【例1】．如圖，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的兩個頂點A、B分別在OX，OY上移動，其中AB＝10，則點O到頂點A的距離的最大值為，點O到AB的距離的最大值為．變式訓(xùn)練【變式1-1】．以O(shè)為圓心，1為半徑作圓．△ABC為⊙O的內(nèi)接正三角形，P為弧AC的三等分點，則PA2+PB2+PC2的值為．【變式1-2】．如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達(dá)D點需要多長時間？【例2】．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足為D，BD＝3，CD＝2，求AD的長．變式訓(xùn)練【變式2-1】．在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝26，AD＝30，AC，BD交于點O，∠AOB＝60°．求S四邊形ABCD＝．【變式2-2】．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC平分BD，AC＝，求AB2+BC2+CD2+AD2的值．1．若△ABC的三個內(nèi)角滿足sinA：sinB：sinC＝5：11：13，則△ABC（）A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是鈍角三角形 D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形2．如圖，點D是△ABC的邊BC上一點，如果AB＝AD＝2，AC＝4，且BD：DC＝2：3，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形或直角三角形3．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，則△ABC面積的最大值為（）A．2 B．+1 C．2 D．4．△ABC中，，，BC＝2，設(shè)P為BC邊上任一點，則（）A．PA2＜PB?PC B．PA2＝PB?PC C．PA2＞PB?PC D．PA2與PB?PC的大小關(guān)系并不確定5．圓內(nèi)接四條邊長順次為5、10、11、14，則這個四邊形的面積為（）A．78.5 B．97.5 C．90 D．1026．如圖，點1為單位正方形內(nèi)一點，且AE＝BE＝AB，延長AE交CD于F，作FG⊥AB于點G，則EG的長度為（）A． B． C． D．7．設(shè)△ABC的三邊為a，b，c且（b+c）：（c+a）：（a+b）＝4：5：6，則sinA：sinB：sinC＝．8．已知在△ABC中，有一個角為60°，，周長為20，則三邊長分別為．9．已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，CA＝3，CD為∠C的角平分線，則CD＝．10．在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，那么AD的長是．11．在△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝48，BC＝27，則AC＝．12．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，點D為AC中點，DE⊥AB于點E，BE＝BC，BD＝，則AC的長為．13．在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果對于a的每一個確定的值，都存在兩個不全等的△ABC，那么a的取值范圍是．14．在△ABC中，∠B＝45°，D是BC邊上的一點，AD＝，AC＝3，CD＝，求AB的長．15．如圖，在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，點D在AB上，點E在AC上，且DE平分△ABC的面積，求線段DE長度的最小值．16．如圖，在△ABC中，AD⊥直線BC，垂足為D，且AD＝BC＝a（a為常數(shù)），AC＝b，AB＝c，求最大值．17．在△ABC中，cosA＝，cosB＝，cosC＝，我們稱為余弦定理，請用余弦定理完成下面的問題．請用余弦定理完成下面的問題：（1）如圖，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的長度；（2）通過合理的構(gòu)造，試求cos105°．18．閱讀：△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，△ABC的邊角有如下性質(zhì)：①正弦定理：＝＝②余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．③S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB請你根據(jù)上述結(jié)論求解下列問題：在銳角△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且2asinB＝b．（1）求角A的大?。唬?）若a＝6，b+c＝8，求△ABC的面積．19．△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB．（1）若∠A＝x°，∠BDC是y°，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若△BDC三邊的長是三個連續(xù)整數(shù)，求sinA；（3）在（2）的條件下求△ADC的面積．20．如