模型32 三角形中的四心問題（重心、外心、內(nèi)心、垂心）（學生用）

PAGE1模型介紹模型介紹R1．三角形的五心三角形的五心定義外心：三角形三邊的垂直平分線的交點為三角形的外心，外心到三個頂點的距離相等；內(nèi)心：三角形三個角的角平分線的交點為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到三邊的距離相等；重心：三角形三條中線的交點為三角形的重心，重心為中線的三等分點；垂心：三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心；旁心：與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形旁心；三角形有三個旁心．R2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點．（2）重心的性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．③重心到三角形3個頂點距離的和最?。ǖ冗吶切危㏑3．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．R4．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．（2）任何一個三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．R5.垂心：三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心.例題精講例題精講例題精講例題精講考點一：三角形重心問題【例1】．如圖，△ABC的中線BD、CE相交于點F，若四邊形AEFD的面積為6，則△CBF的面積為．

變式訓練【變式1-1】．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB于點O，中線AE與CO相交于點F，則的值為．【變式1-2】．如圖，在平面直角坐標系中，點B（﹣2，3），點C在x軸負半軸，OB＝BC，點M為△OBC的重心，若將△OBC繞著點O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后三角形的重心的坐標為．考點二：三角形外心問題【例2】．如圖，點O是△ABC的外心，連接OB，若∠OBA＝17°，則∠C的度數(shù)為°．變式訓練【變式2-1】．已知△ABC的三邊a，b，c滿足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，則△ABC的外接圓半徑的長為．【變式2-2】．如圖，△ABC的外接圓的圓心坐標為．考點三：三角形內(nèi)心問題【例3】．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝．變式訓練【變式3-1】．⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且∠C＝90°，切點為D，E，F(xiàn)，若AF，BE的長是方程x2﹣13x+30＝0的兩個根，則S△ABC的值為（）A．30 B．15 C．60 D．13【變式3-2】．如圖所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的內(nèi)切圓半徑為2，切三邊于E、F、G，則矩形兩邊AB＝，AD＝．考點四：三角形垂心問題【例4】．如圖，H是銳角△ABC的垂心（3條高的交點），若AH＝BC，則∠BAC的度數(shù)是．變式訓練【變式4-1】．如圖，在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H為垂心，則AH＝．【變式4-2】．如圖，在△ABC中M為垂心，O為外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圓直徑為10，則AM＝．1．如圖，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，點O是△ABC的外接圓的圓心，則∠AOB等于（）A．65° B．90° C．130° D．140°2．如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的內(nèi)心，以O(shè)為中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C′，則△ABC與△A′B′C′重疊部分的面積為（）A． B． C． D．3．小穎同學在手工制作中，把一個邊長為6cm的等邊三角形紙片貼到一個圓形的紙片上，若三角形的三個頂點恰好都在這個圓上，則圓的半徑為（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如圖所示，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，若∠DEF＝52°，則∠A的度數(shù)是（）A．52° B．76° C．26° D．128°5．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．則△ABD外心與△BCD內(nèi)心的距離是（）A．5 B． C． D．6．如圖，若正△A1B1C1內(nèi)接于正△ABC的內(nèi)切圓，則的值為（）A． B． C． D．7．如圖，已知Rt△ABC的直角邊AC＝24，斜邊AB＝25，一個以點P為圓心、半徑為1的圓在△ABC內(nèi)部沿順時針方向滾動，且運動過程中⊙P一直保持與△ABC的邊相切，當點P第一次回到它的初始位置時所經(jīng)過路徑的長度是（）A． B．25 C． D．568．如圖，點G是△ABC的重心，且△DGC的面積為4，則△ABC的面積為．9．如圖所示，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD⊥BC于D點，且AC＝5，DC＝3，AB＝，則⊙O的直徑等于．10．如圖，點D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE．若△ABC的周長為6，則△DCE的周長為．11．如圖，⊙O與△ABC的邊BC、AC、AB分別切于E、F、D三點，若⊙O的半徑是1，∠C＝60°，AB＝5，則△ABC的周長為．12．如圖，點P是△ABC的重心，過P作AB的平行線DE，分別交AC于點D、交BC于點E；作DF∥BC，交AB于點F，若△ABC的面積為36，則四邊形BEDF的面積為．13．如圖所示，O是△ABC的內(nèi)心，∠BOC＝100°，則∠BAC＝度．14．一個直角三角形的兩條邊長是方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，則此直角三角形外接圓的半徑等于．15．如圖，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，則它的內(nèi)切圓的半徑為．16．如圖，G為△ABC的重心，點D在CB延長線上，且BD＝BC，過D、G的直線交AC于點E，則＝．17．在半徑為1的⊙O中內(nèi)接有銳角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分線AL垂直于OH，則BC＝．18．如圖，⊙O的半徑為，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，將△ABC折疊，使點A落在⊙O上，折痕EF平行BC，則EF長為．19．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分別是△ABC和△ADC的內(nèi)切圓，則O1O2＝．20．如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于O點，則AB＝．21．若△ABC的外接圓半徑為2，H是△ABC垂心，則△HAB的外接圓半徑長是22．如圖，剪一個邊長為2的等邊三角形，讓它沿直線l在桌面上向右滾動，當?shù)冗吶切蔚?次落在直線l上時，等邊三角形的內(nèi)心運動過的路程長為．23．如圖，O，H分別為△ABC的外心和垂心，O到BC邊的距離為2，H到BC邊的距離為HE＝3，則BC邊上的高為．24．如圖，正△ABC的面積是8，取正△ABC的內(nèi)心O1，以O(shè)1B為邊長作正△O1BP1，再取正△O1BP1的內(nèi)心O2，以O(shè)2B為邊長作正△O2BP2，…，依次規(guī)律作第2009個正△O2009BP2009．則△O2009BP2009的面積是．25．如圖，點P為△AOB的重心，點B在x軸的正半軸上，函數(shù)（k＞0）圖象經(jīng)過點A，P，且交AB于點C，則點A，P的縱坐標之比是，AC：BC的值為．26．如圖，已知銳角△ABC的外接圓半徑等于2，∠BAC＝60°，O、H分別為△ABC的外心和垂心，連接OH與BC的延長線交于點P，則OH?OP＝．27．如圖，AB＝2，BC＝1，△ABC與△EBD為全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F(xiàn)為直線AE和直線CD的交點，求線段BF的取值范圍為．28．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點O是△ABC的重心，將線段AO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至O'，點D為線段CO′的中點，連接BD，則BD的最大值為．29．如圖，等邊△ABC的邊長為4，點O為△ABC的三條中線的交點，點D，E分別為邊AB，BC上的點，若∠DOE＝120°，則DE的最小值為．30．如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于半徑為R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延長線與BC交于點M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，則OM的長＝．31．如圖，半徑為3的⊙O分別與x軸，y軸交于A，D兩點，⊙O上兩個動點B，C，使∠BAC＝45°恒成立，設(shè)△ABC的重心為G，則DG的最小值是．32．如圖，線段AC＝7，半圓D的直徑AB＝4，點B在射線CB上運動．（1）當半圓D恰好經(jīng)過AC邊的中點時，CB＝；（2）當△ABC的內(nèi)心，外心與某一個頂點在同一條直線上時，tanC＝．

33．如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的上，有一個動點P，PH⊥OA，垂足為H，△OPH的重心為G．（1）當點P在上運動時，線段GO、GP、GH中，有無長度保持不變的線段？如果有，請指出這樣的線段，并求出相應的長度；（2）如果△PGH是直角三角形，試求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，試求出線段PH的長．

34．如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心O，且點E在半圓弧上．①若正方形的頂點F也在半圓弧上，則半圓的半徑與正方形邊長的比是；②若正方形DEFG的面積為100，且△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝4，則半圓的直徑AB＝．

35．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象過點C（0，﹣4）和點D（2