高中數(shù)學(xué)北師大版必修二課時分層作業(yè)1-4-1空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識1-4-2空間圖形的公理（公理123）

課時分層作業(yè)四空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識空間圖形的公理(公理1、2、3)一、選擇題(每小題5分，共30分)1.已知點(diǎn)A，直線a，平面α：①A∈a，a?α?A?α②A∈a，a∈α?A∈α③A?a，aα?A?α④A∈a，aα?Aα以上命題表述正確的個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選A.①中若a與α相交，且交點(diǎn)為A，則不正確；②中“a∈α”符號不對，故不正確；③中A可以在α內(nèi)，也可以在α外，故不正確；④符號“Aα”錯，故不正確.2.在空間中，可以確定一個平面的條件是 ()A.兩兩相交的三條直線B.三條直線，其中一條直線與另外兩條直線分別相交C.三個點(diǎn)D.三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)【解析】選D.A中兩兩相交的三條直線，它們可能交于同一個點(diǎn)，也可能不交于同一個點(diǎn)，若交于同一個點(diǎn)，則三條直線不一定在同一個平面內(nèi)，故排除A；B中的另外兩條直線可能共面，也可能不共面，當(dāng)另外兩條直線不共面時，則三條直線不能確定一個平面，故排除B；對于C來說，三個點(diǎn)的位置可能不在同一條直線上，也可能在同一條直線上，只有前者才能確定一個平面，故排除C；只有選項D中的三條直線，它們兩兩相交且不交于同一點(diǎn)，因而其三個交點(diǎn)不在同一條直線上，由公理1知其可以確定一個平面.3.以下四個命題中：①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面.其中正確命題的個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.①顯然是正確的；②中若A、B、C三點(diǎn)共線，則A、B、C、D、E五點(diǎn)不一定共面；③構(gòu)造長方體或正方體，如圖顯然b、c異面；④空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確.4.平面α∩β=l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈α，且C?l，C∈β，又AB∩l=R，如圖所示，過A，B，C三點(diǎn)確定的平面為γ，則β∩γ是 ()A.直線AC B.直線BCC.直線CR D.直線AR【解析】選C.由已知條件可知，C∈γ，AB∩l=R，ABγ，所以R∈γ.又因為C，R∈β，故CR=β∩γ.5.下列命題正確的個數(shù)為 ()①梯形可以確定一個平面；②若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面重合.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.②中兩直線可以平行、相交或異面，④中若三個點(diǎn)在同一條直線上，則兩個平面相交，①③正確.6.在如圖所示的幾何體中，AA′∥BB′∥CC′，則由A、B、C、A′、B′、C′六點(diǎn)可確定的平面?zhèn)€數(shù)為 ()A.5 B.8 C.11 D.12【解析】選C.六個點(diǎn)確定的面中，側(cè)面、底面有5個，從一個底面上選取兩個頂點(diǎn)，另一個底面上選取一個點(diǎn)，可確定6個面，共11個平面.二、填空題(每小題5分，共10分)7.空間有四個點(diǎn)，如果其中任意三個點(diǎn)不共線，則經(jīng)過其中三個點(diǎn)的平面有_________個.

【解析】四點(diǎn)共面時，為一個平面；四點(diǎn)不共面時，可作4個平面.答案：1或48.給出以下四種說法：(設(shè)α、β表示平面，l表示直線，A、B、C表示點(diǎn))①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，則lα；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β=AB；③若l?α，A∈l，則A?α；④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共線，則α與β重合.則上述說法中正確的個數(shù)是_________.

【解析】①②④正確；如圖所示，可知③錯誤.答案：3【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知α∩β=m，aα，bβ，a∩b=A，則直線m與A的位置關(guān)系用集合符號表示為_________.

【解析】因為a∩b=A，所以A∈a，A∈b，又aα，bβ，所以A∈α，A∈β，且α∩β=m，由公理3得A∈m.答案：A∈m三、解答題9.(10分)如圖所示，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn).求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線.【證明】因為AB∥CD，所以AB，CD確定一個平面β.又因為AB∩α=E，ABβ，所以E∈α，E∈β，即E為平面α與平面β的一個公共點(diǎn).同理可證，F(xiàn)，G，H為平面α與平面β的公共點(diǎn).因為兩個不重合的平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過公共點(diǎn)的公共直線，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖，O1是正方體ABCDA1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點(diǎn)，求證：O1，M，A三點(diǎn)共線.【證明】因為A1C1∩B1D1=O1，B1D1平面B1D1A，A1C1平面AA1C1C，所以O(shè)1∈平面B1D1A且O1∈平面AA1C1C.同理可知，M∈平面B1D1A且M∈平面AA1C1C；A∈平面B1D1A且A∈平面AA1C1C.所以，O1，M，A三點(diǎn)在平面B1D1A和AA1C1C的交線上，故O1，M，A三點(diǎn)共線.一、選擇題(每小題5分，共25分)1.已知α、β為平面，A，B，M，N為點(diǎn)，a為直線，下列推理錯誤的是 ()A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?aβB.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β=MNC.A∈α，A∈β?α∩β=AD.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α、β重合【解析】選C.因為A∈α，A∈β.所以A∈α∩β，由公理3知，α∩β為經(jīng)過A的一條直線而不是A.故α∩β=A錯誤.2.下圖中正確表示兩個相交平面的是 ()【解析】選D.A中無交線；B中不可見線沒有畫成虛線；C中虛、實線沒按畫圖規(guī)則畫，也不正確；D的畫法正確.【誤區(qū)警示】畫兩平面相交時，一定要畫出交線，還要注意畫圖規(guī)則，不可見線一般應(yīng)畫成虛線，有時也可以不畫.3.如圖，α∩β=l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l=M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過 ()A.點(diǎn)A B.點(diǎn)BC.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D.點(diǎn)C和點(diǎn)M【解析】選D.因為ABγ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β=l，M∈l，所以M∈β.根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上，同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上.4.若空間中n個不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值 ()A.至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于5【解析】選B.特殊值法.當(dāng)n=3時，正三角形的三個頂點(diǎn)之間兩兩距離相等，故n=3符合；當(dāng)n=4時，聯(lián)想正四面體的四個頂點(diǎn)之間兩兩距離相等，故n=4符合.由此可以排除選項A，C，D.故選B.5.(2018·麗江高一檢測)正方體ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點(diǎn)，則過P，Q，R的截面是 ()A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形【解析】選D.如圖可知，其截面為一正六邊形，作圖依據(jù)：公理2及公理1.二、填空題(每小題5分，共20分)6.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_________.

【解析】EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行，所以與EF相交的平面有4個.答案：47.(2018·青州高一檢測)若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成_________部分.

【解析】如圖所示，三個平面α，β，γ兩兩相交，交線是a，b，c且a∥b∥c.觀察圖形，可得α，β，γ把空間分成7部分.答案：78.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有_________條.

【解析】方法一：如圖所示.在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點(diǎn)N，M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn).方法二：在A1D1上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P與直線EF作一個平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線.由點(diǎn)P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交.答案：無數(shù)9.用一個平面去截一個正方體，截面可能是_________.

①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形.【解析】如圖所示，(注：這兒畫了其中的特例來說明有這幾種圖形)答案：①②③④三、解答題(每小題10分，共30分)10.已知△ABC在平面α外，AB∩α=P，AC∩α=R，BC∩α=Q，如圖，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.【證明】因為AB∩α=P，所以P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，所以P∈平面ABC.由公理3知點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上.同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上.所以P，Q，R三點(diǎn)共線.【一題多解】因為AP∩AR=A，所以直線AP與直線AR確定平面APR.又因為AB∩α=P，AC∩α=R，所以平面APR∩平面α=PR.因為B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC平面APR.因為Q∈BC，所以Q∈平面APR.又Q∈α，所以Q∈PR，所以P，Q，R三點(diǎn)共線.11.已知：平面α，β，γ兩兩相交于三條直線l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行.求證：l1，l2，l3相交于一點(diǎn).【證明】如圖，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3.因為l1β，l2β，且l1，l2不平行，所以l1與l2必相交.設(shè)l1∩l2=P，則P∈l1α，P∈l2γ，所以P∈α∩γ=l3，所以l1，l2，l3相交于一點(diǎn)P.12.如圖，E，F(xiàn)分別為正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1和AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線.【解題指南】兩平面已有一個公共點(diǎn)B，由于直