新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2習(xí)題第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3.3

1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)課時過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1已知f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則下列結(jié)論中正確的是()A.f(x)的極值點一定是最值點B.f(x)的最值點一定是極值點C.f(x)在[a,b]上可能沒有極值點D.f(x)在[a,b]上可能沒有最值點解析根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念判斷知選項A,B,D都不正確,只有選項C正確.答案C2若函數(shù)f(x)=x3+3x2+9x+a在區(qū)間[2,1]上的最大值為2,則它在該區(qū)間上的最小值為()A.5 B.7C.10 D.19解析f'(x)=3x2+6x+9=3(x22x3)=3(x+1)(x3).令f'(x)=0,得x=1或x=3.f(1)=1+39+a=a5,f(2)=8+1218+a=a+2.由題意知f(2)=f(x)max=2+a=2,∴a=0,∴f(x)min=f(1)=a5=5.答案A3函數(shù)f(x)=xex在[0,4]上的最大值為()A.0 B.1e C.4e2解析f'(x)=1-xex,令f'(x)=0,當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x0(0,1)1(1,4)4f'(x)+0f(x)0↗1↘4e4所以f(x)的最大值為f(1)=1e答案B4已知f(x)=2x36x2+a(a為常數(shù))在[2,2]上有最大值3,則此函數(shù)f(x)在[2,2]上的最小值是()A.37 B.29C.5 D.8解析f'(x)=6x212x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.由f(2)=40+a,f(0)=a,f(2)=8+a,則f(0)=a=3?f(2)=40+a=37.故選A.答案A5若函數(shù)f(x)=x3+2ax2+1在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1),則a的取值范圍為.

解析f'(x)=3x2+4ax,f(x)在[0,1]上的最小值為f(1),說明f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈[0,1]時,f'(x)≤0恒成立,即3x+4a≤0恒成立.所以a≤34x恒成立.故a≤3答案-6函數(shù)f(x)=x33x+1在閉區(qū)間[3,0]上的最大值和最小值分別是.

解析f'(x)=3x23=3(x+1)(x1),令f'(x)=0,則x=1或x=1(舍去).f(1)=3,f(0)=1,f(3)=17,所以f(x)max=f(1)=3,f(x)min=f(3)=17.答案3,177求函數(shù)y=f(x)=x332x2+5在區(qū)間[2,2]上的最大值與最小值.解先求導(dǎo)數(shù),得y'=3x23x.令y'=0,即3x23x=0,解得x1=1,x2=0.因為f(2)=9,f(0)=5,f(1)=92,f(2)=故ymax=7,ymin=9.8已知函數(shù)f(x)=x3ax2+bx+c(a,b,c∈R),(1)若函數(shù)f(x)在x=1和x=3處取得極值,試求a,b的值;(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[2,6]時,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范圍.解(1)f'(x)=3x22ax+b,∵函數(shù)f(x)在x=1和x=3處取得極值,∴1,3是方程3x22ax+b=0的兩根.∴-∴a(2)由(1)知f(x)=x33x29x+c,f'(x)=3x26x9.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x2(2,1)1(1,3)3(3,6)6f'(x)+00+f(x)c2↗極大值c+5↘極小值c27↗c+54而f(2)=c2,f(6)=c+54,∴當(dāng)x∈[2,6]時,f(x)的最大值為c+54,要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可,當(dāng)c≥0時,c+54<2c,∴c>54;當(dāng)c<0時,c+54<2c,∴c<18,∴c∈(∞,18)∪(54,+∞).故c的取值范圍為(∞,18)∪(54,+∞).能力提升1函數(shù)f(x)=exx(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間[1,1]上的最大值是()A.1+1e B.C.e+1 D.e1解析因為f(x)=exx,所以f'(x)=ex1.令f'(x)=0,得x=0.且當(dāng)x>0時,f'(x)=ex1>0,當(dāng)x<0時,f'(x)=ex1<0,即函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,f(0)=1.又f(1)=1e+1,f(1)=e綜合比較得函數(shù)f(x)=exx在區(qū)間[1,1]上的最大值是e1.故選D.答案D2函數(shù)f(x)=12ex(sinx+cosx)在區(qū)間0,π2上的值域為A.12,1C.[1,eπ2] D.(1,解析f'(x)=12ex(sinx+cosx)+12ex(cosxsinx)=excos當(dāng)0≤x≤π2時,f'(x)≥0,且只有在x=π2時,f'(x)=0,所以f(x)是0即f(x)的最大值為fπ2f(x)的最小值為f(0)=12故f(x)在0,π2上的值域為12答案A3對于R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x),若滿足(x1)·f'(x)>0,則必有()A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)=2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)解析當(dāng)x>1時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù);當(dāng)x<1時,f'(x)<0,f(x)在(∞,1)內(nèi)是減函數(shù),故當(dāng)x=1時,f(x)取得最小值,即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),得f(0)+f(2)>2f(1).答案D4若f(x)=ax33x+1對于x∈[1,1]總有f(x)≥0成立,則a的值為()A.2 B.4C.6 D.8解析①當(dāng)1≤x<0時,a≤3x-1x3=3x2-1x3在[1,0)內(nèi)恒成立,而當(dāng)1≤x<0時,3x2-1x3'=3-②當(dāng)x=0時,f(x)≥0總成立.③當(dāng)0<x≤1時,a≥3x-1x3=3x2-1x3在(0,1]上恒成立,而y=3x2-1x3的導(dǎo)數(shù)為y'=3-6xx4,答案B★5設(shè)直線x=t與函數(shù)f(x)=x2,g(x)=lnx的圖象分別交于點M,N,則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時,t的值為()A.1 B.12 C.52 D解析當(dāng)x=t時,|MN|=|f(t)g(t)|=|t2lnt|(t>0).令φ(t)=t2lnt(t>0),所以φ'(t)=2t1t所以當(dāng)t∈0,22時,φ(t當(dāng)t∈22,+∞時,φ(所以當(dāng)t=22時,φ(x)min=12+12即|MN|min=φ(x)min.故|MN|取最小值時t=22答案D6已知兩個和為48的正整數(shù),若第一個數(shù)的立方與第二個數(shù)的平方之和最小,則這兩個正整數(shù)分別為.

解析設(shè)第一個數(shù)為x,則第二個數(shù)為(48x),記y=x3+(48x)2=x3+x296x+2304(0<x<48),所以y'=3x2+2x96=(3x16)(x+6).由y'=0,得x=163或x=6(舍去易知x=163是函數(shù)在區(qū)間(0,48)內(nèi)唯一的極小值點,也是最小值點但因為x是正整數(shù),所以x=5.所以所求的兩個正整數(shù)分別為5與43.答案5與437設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)xx2x3,其中a>0.(1)討論f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x∈[0,1]時,求f(x)取得最大值和最小值時x的值.解(1)f(x)的定義域為(∞,+∞),f'(x)=1+a2x3x2.令f'(x)=0,得x1=-1x2=-1+4+3a3,x所以f'(x)=3(xx1)(xx2).當(dāng)x<x1或x>x2時,f'(x)<0;當(dāng)x1<x<x2時,f'(x)>0.故f(x)在(∞,x1)和(x2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增,即f(x)在-∞,-1-1+4+3(2)因為a>0,所以x1<0,x2>0.①當(dāng)a≥4時,x2≥1.由(1)知,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增.所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值.②當(dāng)0<a<4時,x2<1.由(1)知,f(x)在[0,x2]上單調(diào)遞增,在[x2,1]上單調(diào)遞減.所以f(x)在x=x2=-1+4+3又f(0)=1,f(1)=a,所以當(dāng)0<a<1時,f(x)在x=1處取得最小值;當(dāng)a=1時,f(x)在x=0處和x=1處同時取得最小值;當(dāng)1<a<4時,f(x)在x=0處取得最小值.★8已知函數(shù)f(x)=lnxax.(1)當(dāng)a>0時,判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為32,求a的值(3)設(shè)g(x)=lnxa,若g(x)<x2在(0,e]上恒成立,求a的取值范圍.分析(1)判定函數(shù)的單調(diào)性要注意函數(shù)的定義域;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系求解,由于a的取值未定,因此要分類討論;(3)轉(zhuǎn)化為最值問題來處理.解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f'(x)=1x+ax2=x+ax2.因為a>0,x>0,所以f'(x)>0,因此(2)由(1)知f'(x)=x+①若a≥1,則x+a≥0,從而f'(x)≥0(只有當(dāng)a=1,x=1時,f'(x)=0),即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此時f(x)在[1,e]上為增函數(shù).所以f(x)的最小值為f(1)=a=32,即a=32,不符合題意,②若a≤e,則x+a≤0,從而f'(x)≤0(只有當(dāng)a=e,x=e時,f'(x)=0),即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此時f(x)在[1,e]上為減函數(shù).所以f(x)的最小值為f(e)=1ae=32,即a=e2③若e<a<1,由f'(x)=0,得x=a,當(dāng)1<x<a時,f'(x)<0,即f(x)在(1,a)內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)a<x<e時,f'(x)>0,即f(x)在(a,e)內(nèi)為增函數(shù),所以x=a是函數(shù)f(x)在(1,e)內(nèi)的極小值點,也就是它的最小值點,因此f(x)的最小值為f(a)=ln(a)+1=32,即a=e.綜上,a=e(3)g(x)<