2021年人教A版選修1-2數(shù)學(xué)第2章-推理與證明單元測試卷含答案

2021年人教A版選修1-2數(shù)學(xué)第2章推理與證明單元測試卷含

答案

學(xué)校：班級：姓名：考號：

一、選擇題（本題共計12小題，每題5分，共計60分，）

1.甲、乙、丙，丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中

有兩位優(yōu)秀，兩位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的

成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則（）

A.乙、丁可以知道自己的成績

B.乙可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績

D.丁可以知道四人的成績

2.已知某高中的一次測驗中，甲、乙兩個班級的九科平均分的雷達(dá)圖如圖所示，下列

判斷錯誤的是（）

甲班

乙班

生物化學(xué)

A.乙班的理科綜合成績強于甲班

B.甲班的文科綜合成績強于乙班

C.兩班的英語平均分分差最大

D.兩班的語文平均分分差最小

3.如圖是一系列有機物的結(jié)構(gòu)簡圖，圖中的"小黑點”表示原子，兩黑點間的"短線"表

示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)，圖5）中的化學(xué)鍵有（）

03?…

（1）（2）⑶

A.6n個B.(4n+2)個C.(5TI-1)個D.(5n+1)個

4.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如:

他們研究過圖中的1,3,6,10,…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形

數(shù)，由以上規(guī)律，則這些三角形數(shù)從小到大形成一個數(shù)列{a.},那么的值為（）

A.45B.55C.65D.66

5.歐拉公式eix=cosx+isinx（e是自然對數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位）是數(shù)學(xué)里令人著迷

的公式之一，根據(jù)歐拉公式可知，2屹-今=（）

A.V3—iB.1—y/3iC.V3+iD.l+V3i

6.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)表，這一發(fā)明為當(dāng)時的天文學(xué)家處理“大數(shù)運算"做

出了巨大貢獻.法國著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家拉普拉斯曾說過："對數(shù)倍增了天文學(xué)家的壽

命"，比如在下面的部分對數(shù)表中，8和1024對應(yīng)的暴指數(shù)分別為3和10,基指數(shù)和為

13,而13對應(yīng)的事8192,因此，8x1024=8192.根據(jù)此表，推算33554432x

262144的值對應(yīng)的基指數(shù)為（）

X23456.78910

y工2工2481632641282565121024

X11121314151617181920

y=2，2048409681921638432768655361310722621445242881048576

X2122232425

y-2,2097152419430483886081677721633554432

A.41B.42C.43D.44

7.用反證法證明命題"若。2+爐=0,則以b全為0”,其反設(shè)正確的是（）

A.a、b至少有一個不為0B.a、b至少有一個為0

C.a、b全不為0D.a、b中只有一個為0

8.用反證法證明命題：”已知a,bGN*,如果ab能被11整除，那么a,b中至少有一個

能被11整除"，則應(yīng)假設(shè)（）

A.a,b都不能被11整除

B.a,b中至多有一個能被11整除

C.a,b中至多有一個不能被11整除

D.a,b都能被11整除

試卷第2頁，總15頁

9.下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是（）

①2019不能被2整除；

②一切奇數(shù)都不能被2整除；

③2019是奇數(shù).

A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①

10.我國南北朝時代的數(shù)學(xué)家祖曬提出體積的計算原理（祖晅原理）："新勢既同，則積

不容異，，."勢，，即是高，"嘉，，是面積.意思是：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾

何體的截面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.類比祖瞄原理，如圖所示，在

平面直角坐標(biāo)系中，圖1是一個形狀不規(guī)則的封閉圖形，圖2是一個上底長為1、下底長

為2的梯形，且當(dāng)實數(shù)t?。?,3］上的任意值時，直線y=t被圖1和圖2所截得的兩線段長

總相等，則圖1的面積為（）

A.4C.5D-T

11.分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明："設(shè)a>b>c,且a+b+c=0",求證

7b2—ac<Ba"最終索的因應(yīng)是()

A.a-b>0B.a-c<0C.(a—b)(a—c)>0D.(a—b)(a—c)<0

12.如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方

形，…，如此繼續(xù)下去得到一個樹形圖形，稱為"勾股樹".若某勾股樹含有255個正方

返

形，且其最大的正方形的邊長為2，則其最小正方形的邊長為（）

1V211

A.16B.32c.32D.64

二、填空題（本題共計4小題，每題5分，共計20分，）

13.在"一帶一路"知識測驗后，甲，乙，丙三人對成績進行預(yù)測.

甲：我的成績比乙高.

乙：丙的成績比我和甲的都高.

丙：我的成績比乙高.

成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的

次序為.

14.觀察下列數(shù)表：

1

35

791113

1517192123252729

設(shè)2017是該表第m行的第n個數(shù)，則m+n的值為

15.用反證法證明："a>b",應(yīng)假設(shè)為.

16.數(shù)式1+二『中省略號"…"代表無限重復(fù)，因原式是一個固定值，可以用如下方法

求得：令原式=,則1+;=,則2-—1=0,取正

值得=雪，用類似方法可得12+）2+=2.

三、解答題（本題共計6小題，每題11分，共計66分，）

17.如圖中給出了3層的六邊形，圖中所有點的個數(shù)S3為28.按其規(guī)律再畫下去，可以

得到n層六邊形，試寫出當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式.

設(shè)y>1,證明：x+y+-<-+-+xy.

18.yxyxy

19.設(shè)a,b為互不相等的正實數(shù)，求證：4(a3+b3)>(a+b)3.

+

20.在數(shù)列｛冊｝中，已知4=2,an+i=6N).

試卷第4頁，總15頁

(1)求&2，。3，。4,并由此猜想數(shù)列Sn｝的通項公式;

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

21.在已知兩邊a,b和一邊的對角4求角B時.如果4為銳角，那么可能出現(xiàn)以下情

況(如圖):

如果4為鈍角，那么可能會出現(xiàn)哪幾種情況？試畫出草圖加以說明.

22.

(1)用綜合法證明：x2+y2+z2+3>2(x+y+z)；

(2)若實數(shù)，q*構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，請用反證法證明：a,b,c不可能構(gòu)成等

差數(shù)列.

參考答案與試題解析

2021年人教A版選修1-2數(shù)學(xué)第2章推理與證明單元測試卷含

答案

一、選擇題（本題共計12小題，每題5分，共計60分）

1.

【答案】

A

【考點】

進行簡單的合情推理

【解析】

先閱讀題意，再結(jié)合簡單的合情推理逐一判斷即可得解.

【解答】

因為甲、乙、丙，丁四位同學(xué)中有兩位優(yōu)秀，兩位良好，

又甲看了乙、丙的成績且甲還是不知道自己的成績，即可推出乙、丙的成績一位優(yōu)秀,

一位良好，

又乙看了丙的成績，即乙由丙的成績可知自己的成績，

又甲、丁的成績一位優(yōu)秀，一位良好，則丁由甲的成績可知自己的成績，

即乙、丁可以知道自己的成績，

2.

【答案】

D

【考點】

進行簡單的合情推理

【解析】

先對圖象數(shù)據(jù)的進行處理，再逐一進行檢驗即可得解

【解答】

由甲、乙兩個班級的九科平均分的雷達(dá)圖可得：

乙班的理科綜合成績強于甲班，即選項4正確，

甲班的文科綜合成績強于乙班，即選項B正確，

兩班的英語平均分分差最大，即選項C正確，

兩班地理平均分分差最小，即選項。錯誤，

3.

【答案】

D

【考點】

歸納推理

【解析】

根據(jù)圖可知第一張圖有6個化學(xué)鍵，從第二個起每一個比前一個多5個，可得通項.

【解答】

第一張圖有6個化學(xué)鍵，從第二個起每一個比前一個多5個，

則第n個圖有5n+l個，

4.

【答案】

B

試卷第6頁，總15頁

【考點】

歸納推理

【解析】

根據(jù)已知中第1個圖中黑點有1個，第2個圖中黑點有1+2個，第3個圖中黑點有1+

2+3個，第4個圖中黑點有1+2+3+4個，...歸納可得第n個圖中黑點有1+2+

3+…+n個，可得結(jié)論.

【解答】

解：由已知中：

第1個圖中黑點有1個，

第2個圖中黑點有3=1+2個，

第3個圖中黑點有6=1+2+3個，

第4個圖中黑點有10=1+2+3+4個，

故第10個圖中黑點有的0=1+2+3+...+10=歿1=55個，

故選B.

5.

【答案】

D

【考點】

歐拉公式的應(yīng)用

【解析】

直接代入歐拉公式，計算即可得到結(jié)果.

【解答】

21■e("0"=2i[cos(--)+isin(―-)1=2i(―—^i)=1+V3i,

6622

6.

【答案】

C

【考點】

類比推理

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：由表可知,33554432=225,262144=218,

33554432,262144的對應(yīng)幕指數(shù)分別為25,18,

塞指數(shù)和為43.

故選C.

7.

【答案】

A

【考點】

反證法

【解析】

把要證的結(jié)論否定之后，即得所求的反設(shè).

【解答】

解：由于“a、b全為0”的否定為："a、b至少有一個不為0”,

故選4

8.

【答案】

A

【考點】

反證法

【解析】

反證法證明中，假設(shè)時只需要對結(jié)論進行否定即可.

【解答】

解：???反證在假設(shè)時，要對結(jié)論進行否定，

應(yīng)假設(shè)為"a,b都不能被11整除

故選4

9.

【答案】

C

【考點】

演繹推理

【解析】

按照演繹推理的三段論，“大前提，小前提和結(jié)論"，即可得出正確的排列順序.

【解答】

解：根據(jù)題意，按照演繹推理的三段論，應(yīng)為：

大前提：一切奇數(shù)都不能被2整除，

小前提：2019是奇數(shù)，

結(jié)論：2019不能被2整除；

正確的排列順序是②③①.

故選C.

10.

【答案】

B

【考點】

演繹推理

【解析】

本題考查類比推理、梯形的面積.

【解答】

解：根據(jù)祖巡原理，

可得圖1的面積等于圖2梯形的面積，

其面積為生等=

故選B.

11.

【答案】

C

【考點】

分析法的思考過程、特點及應(yīng)用

試卷第8頁，總15頁

【解析】

由題意可得，要證辦2-ac<>/3a,經(jīng)過分析，只要證(a-c)(a-6)>0,從而得出

結(jié)論.

【解答】

解：由a>b>c,且a+b+c=0可得b=—a—c,a>0,c<0.

要證A/爐—ac<V3a,只要證(—a—c)2—ac<3a2,

即證a2—ac+a2—c2>0,即證a(a—c)+(a+c)(a-c)>0,

即證a(a-c)-b(a-c)>0,即證(a—c)(a-b)>0.

故求證“4爐-ac<索的因應(yīng)是(a-c)(a-6)>0.

故選C.

12.

【答案】

A

【考點】

歸納推理

【解析】

此題暫無解析

【解答】

此題暫無解答

二、填空題(本題共計4小題，每題5分，共計20分)

13.

【答案】

甲，乙，丙

【考點】

進行簡單的合情推理

合情推理的作用

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：如果只有甲預(yù)測正確，此時根據(jù)題意得，成績由高到低順序為甲，乙，丙，滿足

條件；

如果只有乙預(yù)測正確，因為甲錯誤，得順序為丙，乙，甲，此時丙也預(yù)測正確，不滿

足條件；

如果只有丙預(yù)測正確，因為甲錯誤，得順序為丙，乙，甲，此時乙也預(yù)測正確，不滿

足條件；

故答案為：甲，乙，丙.

14.

【答案】

508

【考點】

歸納推理

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：根據(jù)數(shù)表中數(shù)的排列規(guī)律，1,3,5,...都是連續(xù)奇數(shù)，

第一行，有1個數(shù)；第二行，有2個數(shù)，且第一個數(shù)是22-1；

第三行，有4個數(shù)，且第一個數(shù)是23-1；

第四行，有8個數(shù)，且第一個數(shù)是24一1；......；

第m行，有26一1個數(shù)，且第一個數(shù)是26一1.

210-1=1023,211-1=2047,2017在第10行.

令2017=1023+（n-1）X2,得n=498,

2017是第10行的第498個數(shù)，

m+n=10+498=508.

故答案為：508.

15.

【答案】

a<b

【考點】

反證法

【解析】

根據(jù)反證法定義進行求解.

【解答】

解：反證法肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾，

題設(shè)"a>b",那么假設(shè)為：aWb.

故答案為：aWb.

16.

【答案】

【考點】

類比推理

【解析】

通過已知得到求值方法：先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），再運用該方

法，注意兩邊平方，得到方程，解出方程舍去負(fù)的即可.

【解答】

由已知代數(shù)式的求值方法：

先換元，再列方程，解方程，求解（舍去負(fù)根），

可得要求的式子.

令12+V2+V24—=m（m>0）,

則兩邊平方得，2加+萬口示三=m2,

即2+血=血2,解得，m=2（―1舍去）.

三、解答題（本題共計6小題，每題11分，共計66分）

17.

【答案】

設(shè)每層上的點數(shù)為時，

則的=5,

。2=9=54-4x1,

%=13=54-4X2,

{an}是以5為首項，4為公差的等差數(shù)列，

Sn=。1+O,2+Q3+?…+Qn+1=---------—+1=2九2+371+（1）

試卷第10頁，總15頁

【考點】

歸納推理

【解析】

設(shè)每層上的點數(shù)為a”，推導(dǎo)出｛an｝是以5為首項，4為公差的等差數(shù)列，再由%=%+

+%+…+1，能求出結(jié)果.

【解答】

設(shè)每層上的點數(shù)為

則的=5,

@2=9=5+4x1,

%=13=5+4x2,

「?｛an｝是以5為首項，4為公差的等差數(shù)列，

*Sn=%+0,2+。3+,?,+1=、+S[(---~+1=2九2+371+(1)

18.

【答案】

證明：要證％4-y+—<-+-+xy

yxyxyJf

只需證明—---<xy—%—y,

xyxyyJ

只需證明(1-J)(l-i)<(l-x)(l-y)=(x-l)(y-l),

只需證明1一工工工一1；1—-<y—1,

xy

即證％+：Z2,y+；N2,(xZLyN1)這是均值不等式，

所以xNl,y>1,%+y+工WL+工+xy得證.

xyxy

【考點】

綜合法與分析法

不等式的證明

【解析】

直接利用分析法，通過移項變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式，即可證明不等式成立.

【解答】

證明：要證x+y+^W2+^+xy,

yxyxy/

只需證明工----<xy-x-yf

xyxyy/

只需證明(1-》(1-9W(1-x)(l-y)=(x-l)(y-1),

只需證明1一三<x-l；l--<y-l,

xy

即證式+乙22,y+->2,(%Z1,yN1)這是均值不等式，

3y

所以久之1,y>1,%+y+3工：+已+盯得證.

19.

【答案】

證明：因為Q>o,h>0,所以要證4(Q3+〃)>(□+b)3,

只要證4(。+Z?)(a2—ab+h2)>(a+6)3,

即要證4(小一池+b2)>(a+b)2,

只需證3(a-Z?)2>0,

2

而aHb,故3(Q-b)>0成立.

???4(a3+b3)>(a+6)3.

【考點】

不等式的證明

分析法的思考過程、特點及應(yīng)用

【解析】

利用分析法，從結(jié)論入手，尋找結(jié)論成立的條件，即可得到證明.

【解答】

證明：因為Q>o,b>0,所以要證4(Q3+/)>(a+b)3,

只要證4(a+b)(a2-ab+b2)>(a+b)3,

即要證4(Q2—Q/J+人2)>(q+與2,

只需證3(a-bp>0,

而aHb,故3(Q—b)2>0成立.

4(a3+h3)>(a4-h)3.

20.

【答案】

(1)解：根據(jù)遞推公式可求得:

猜想數(shù)列Sn｝的通項公式為a”=后手;

(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明：①當(dāng)n=l時，由題意知的=2,

顯然滿足的=后￥=2；

②假設(shè)當(dāng)n=k時猜想成立,

則當(dāng)n=/c+l時，ak+1=

_l2k+3_，2(-+1)一1+3

知當(dāng)九=k+1時猜想也成立，

綜合①②可知，對neN*猜想都成立，

即數(shù)列｛aj的通項公式為即=套

【考點】

數(shù)列遞推式

數(shù)學(xué)歸納法

歸納推理

試卷第12頁，總15頁

【解析】

此題暫無解析

【解答】

(1)解：根據(jù)遞推公式可求得:

Is[7

。2=在。3=65國

猜想數(shù)列｛5｝的通項公式為對?=后至；

(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明：①當(dāng)九=1時，由題意知的=2,

顯然滿足%=后上=2：

②假設(shè)當(dāng)n=k時猜想成立，即以

-2比丁+3

則當(dāng)n=k+l時，—+1=］竽=

2（k+l）-l+3

2（卜+1）-1

知當(dāng)九=k+1時猜想也成立，

綜合①②可知，對n€N*猜想都成立,

即數(shù)列｛〃｝的通項公式為