2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)真題演練：數(shù)學(xué)思想方法2

二輪復(fù)習(xí)真題演練

數(shù)學(xué)思想方法（二）

（方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想）

一、選擇題

1.（2020?六盤(pán)水）下面四個(gè)幾何體中，主視圖是圓的幾何體是（）

1.D

2.（2020?南通）如圖所示的幾何圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的個(gè)數(shù)是（）

等暗二角形等腰梯形正方形正五邊形國(guó)

A.4B.3C.2D.1

2.C

3.（2020?婁底）一次函數(shù)y=kx+b（kW0）的圖象如圖所示，當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是（）

5.（2020?常州）已知。。的半徑是6,點(diǎn)O到直線(xiàn)I的距離為5,則直線(xiàn)I與。。的位置關(guān)

系是（）

A.相離B.相切C.相交D.無(wú)法判斷

5.C

6.（2020?鞍山）已知：如圖，OA,OB是。。的兩條半徑，KOA±OB,點(diǎn)C在。。上,

則/ACB的度數(shù)為（）

A.45°B.35°C.25°D.20°

6.A7.（2020?黔東南州）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（)

A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0

C.a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0

7.D

8.（2020?衢州）如圖，小敏同學(xué)想測(cè)量一棵大樹(shù)的高度.她站在B處仰望樹(shù)頂，測(cè)得仰角

為30。，再往大樹(shù)的方向前進(jìn)4m,測(cè)得仰角為60。，已知小敏同學(xué)身高（AB）為1.6m,則

這棵樹(shù)的高度為（）（結(jié)果精確到0.1m,6=1.73）.

A.3.5mB.3.6mC.4.3mD.5.1m

8.D

9.（2020?婁底）如圖，OOi,。。2、相交于A、B兩點(diǎn)，兩圓半徑分別為6cm和8cm,

兩圓的連心線(xiàn)O1O2的長(zhǎng)為10cm,則弦AB的長(zhǎng)為（）

A.4.8cmB.9.6cmC.5.6cmD.9.4cm

10.（2020?曲靖）某地資源總量Q一定，該地人均資源享有量嚏與人口數(shù)n的函數(shù)關(guān)系圖

象是（）

11.（2020?涼山州）如圖，正比例函數(shù)yi與反比例函數(shù)y2相交于點(diǎn)E（-1,2）,若yi>

y2>0,則x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）

y

2

匕

r

I?^

1

AcAo1

=pB.

c.-101D.-101

11.A

12.（2020?遵義）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）的圖象如圖如圖所示，若M=a+b-c,N=4a-2b+c,

P=2a-b.則M,N,P中，值小于0的數(shù)有（）

A.3個(gè)B,2個(gè)

13.（2020?杭州）在口ABCD中，下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AC1BDB.ZA+ZB=180°C.AB=ADD.NAHNC

13.B

14.（2020?烏魯木齊）如圖，半圓。與等腰直角三角形兩腰CA、CB分別切于D、E兩點(diǎn),

直徑FG在AB上，若BG=&-1,則4ABC的周長(zhǎng)為（）

A.4+2&B.6C.2+2&D.4

15.（2020?德陽(yáng)）如圖，在=ABCD中，AB=6,AD=9,/BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E,交

DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,BG1AE,垂足為G,若BG=4及，則4CEF的面積是（)

A.2V2B.V2C.3垃D.4a

15.A

16.（2020?紹興）小敏在作。。的內(nèi)接正五邊形時(shí)，先做了如下幾個(gè)步驟：

（1）作。。的兩條互相垂直的直徑，再作OA的垂直平分線(xiàn)交OA于點(diǎn)M,如圖1；

（2）以M為圓心，BM長(zhǎng)為半徑作圓弧，交CA于點(diǎn)D,連結(jié)BD,如圖2.若。。的半徑

為1,則由以上作圖得到的關(guān)于正五邊形邊長(zhǎng)BD的等式是（）

A.BD2=^—ODB.BD2=^1±1ODC.BD2=X/5OD

D.BD2=-V5OD

222

16.C

17.（2020?杭州）給出下列命題及函數(shù)y=x,丫=*2和丫=!，

X

①如果一>a>a~,那么0<aVl；

a

②如果a->a>—,那么a>l；

a

③如果，>a2>a,那么TVaVO；

a

④如果a2>，>a時(shí)，那么aVT.

a

則（）

A.正確的命題是①④B.錯(cuò)誤的命題是②③④

C.正確的命題是①②D.錯(cuò)誤的命題只有③

1

X-

17.A

二、填空題

18.（2020?岳陽(yáng)）如圖，點(diǎn)P（-3,2）處的一只螞蟻沿水平方向向右爬行了5個(gè)單位長(zhǎng)度

19.（2020?平?jīng)觯┤鐖D，路燈距離地面8米，身高1.6米的小明站在距離燈的底部（點(diǎn)O）

20米的A處，則小明的影子AM長(zhǎng)為.米.

4

19.5

20.（2020?安順）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。

2)

21.（2020?昆明）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2,3）,在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P,使

得AAOP是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P共有個(gè).

21.8

22.（2020?杭州）四邊形ABCD是直角梯形,AB〃CD,AB_LBC,且BC=CD=2,AB=3,

把梯形ABCD分別繞直線(xiàn)AB,CD旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積分別為Si,S2,則|S『S2|=

（平方單位）

R'--------'C

22.4TT

23.（2020?自貢）如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，。。的圓心在格點(diǎn)上，則/AED的

余弦值是.

cc275

23.二一

5

24.（2020?廣安）如圖，如果從半徑為5cm的圓形紙片上剪去!圓周的一個(gè)扇形，將留下

5

的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的高是

cm.

24.3

25.（2020?江西）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接DE和BF,

分別取DE、BF的中點(diǎn)M、N,連接AM,CN,MN,若AB=2>/L60=273,則圖中陰

影部分的面積為.

4M----------------

B

26.276

27.（2020?包頭）如圖，在三角形紙片ABC中，ZC=90°,AC=6,折疊該紙片，使點(diǎn)C

落在AB邊上的D點(diǎn)處，折痕BE與AC交于點(diǎn)E,若AD=BD,則折痕BE的長(zhǎng)為.

27.4

三、解答題

28.（2020?齊齊哈爾）如圖所示，在AOAB中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0,4）,點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,

1）.

（1）畫(huà)出aOAB向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度、再向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后的△OIAIBI

（2）畫(huà)出AOAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的△OA2B2,并求出點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A2所經(jīng)過(guò)的路

徑長(zhǎng)（結(jié)果保留TT）

VAO=V12+32=V1O,

...點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A2所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為：9。萬(wàn)巴何=典開(kāi).

1802

29.(2020?齊齊哈爾)甲乙兩車(chē)分別從A、B兩地相向而行，甲車(chē)出發(fā)1小時(shí)后乙車(chē)出發(fā)，

并以各自速度勻速行駛，兩車(chē)相遇后依然按照原速度原方向各自行駛，如圖所示是甲乙兩車(chē)

之間的距離S(千米)與甲車(chē)出發(fā)時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)圖象，其中D點(diǎn)表示甲車(chē)到達(dá)

B地，停止行駛.

(1)A、B兩地的距離千米；乙車(chē)速度是；a表示.

(2)乙出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后兩車(chē)相距330千米？

29.解：⑴t=0時(shí),S=560,

所以，A、B兩地的距離為560千米；

甲車(chē)的速度為：(560-440)-r1=120km/h,

設(shè)乙車(chē)的速度為xkm/h,

則(120+x)x(3-1)=440,

解得x=100；

相遇后甲車(chē)到達(dá)B地的時(shí)間為：(3-1)x100+120=3小時(shí)，

3

所以，a=(120+100)x?=生色千米；

33

(2)設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為S=kit+bi(k#0),

將B(1,440),C(3,0)代入得,

=440

'3/+4=0，

凡=-220

解得《

&=660

所以，S=-220t+660,

當(dāng)-220t+660=330時(shí)，解得t=1.5,

所以，t-1=151=0.5；

直線(xiàn)CD的解析式為S=k2t+b2(k2#0),

514

點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為士+3=上，

33

將C(3,0),D(―,U?)代入得,

33

3k、+a=0

14_1100>

k+b

—223

k2=220

解得《

b2--660

所以，S=220t-660,

當(dāng)220t-660=330時(shí)，解得t=4.5.

所以，t-1=4.5-1=3.5,

答:乙出發(fā)多長(zhǎng)0.5小時(shí)或3.5小時(shí)后兩車(chē)相距330千米.

30.(2020?南寧)在一條筆直的公路上有A、B兩地，甲騎自行車(chē)從A地到B地；乙騎自

行車(chē)從B地至ijA地，到達(dá)A地后立即按原路返回，如圖是甲、乙兩人離B地的距離y(km)

與行駛時(shí)x(h)之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象解答以下問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出A、B兩地直接的距離；

(2)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并解釋該點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義；

(3)若兩人之間保持的距離不超過(guò)3km時(shí)，能夠用無(wú)線(xiàn)對(duì)講機(jī)保持聯(lián)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出甲、

乙兩人能夠用無(wú)線(xiàn)對(duì)講機(jī)保持聯(lián)系時(shí)x的取值范圍.

30.解：(1)x=0時(shí)，甲距離B地30千米，

所以，A、B兩地的距離為30千米；

(2)由圖可知，甲的速度：30+2=15千米/時(shí)，

乙的速度:30+1=30千米/時(shí)，

30+(15+30)=-,

3

2

—x30=20「,米，

3

22

所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一，20),表示一小時(shí)后兩車(chē)相遇，此時(shí)距離B地20千米;

33

(3)設(shè)x小時(shí)時(shí)，甲、乙兩人相距3km,

①若是相遇前，則15x+30x=30-3,

3

解得x=—,

5

②若是相遇后，則15x+30x=30+3,

解得x=U,③若是到達(dá)B地前，則15x?30(x-1)=3,

15

9

解得x=2,

5

3119

所以，當(dāng)士wxw一或二仝工2時(shí)，甲、乙兩人能夠用無(wú)線(xiàn)對(duì)講機(jī)保持聯(lián)系.

5155

31.(2020?天門(mén))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(xiàn)>=3和直線(xiàn)y=kx+b交于A,B

X

兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,2),BCJ_y軸于點(diǎn)C,且OC=6BC.

(1)求雙曲線(xiàn)和直線(xiàn)的解析式；

tn

(2)直接寫(xiě)出不等式竺〉kx+b的解集.

x

31.解：(1)??,點(diǎn)A(-3,2)在雙曲線(xiàn)丫=一上，

x

m

2=—,即m=-6,

-3

?，?雙曲線(xiàn)的解析式為y=—，

x

?.?點(diǎn)B在雙曲線(xiàn)y=-9上，且0c=6BC,

X

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,-6a),

-6a=—，解得：a=±1(負(fù)值舍去)，

a

.??點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-6),

??,直線(xiàn)y=kx+b過(guò)點(diǎn)A,B,

.2=-3k+b

??*，

-6=k+h

解得：

b=-4

?,?直線(xiàn)的解析式為y=-2x-4；

32.(2020?衢州)如圖，函數(shù)yi=-x+4的圖象與函數(shù)y2=&(x>0)的圖象交于A(a,1)、

x

B(1,b)兩點(diǎn).

(1)求函數(shù)y2的表達(dá)式；

(2)觀察圖象，比較當(dāng)x>0時(shí)-，yi與y2的大小.

32.解：（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入yi=-x+4,

得-a+4=19

解得：a=3,...（1分）

???A（3,1）,

把點(diǎn)A坐標(biāo)代入歸乂,

X

電=3,

3

，函數(shù)y2的表達(dá)式為:y=-；

2x

（2）.,?由圖象可知，

當(dāng)0VXV1或x>3時(shí)，yi<y2,

當(dāng)x=1或x=3時(shí)，yi=y2,

當(dāng)1VXV3時(shí),yi>y2.

（2）根據(jù)圖象得：不等式3>kx+b的解集為-3<x<0或x>1.

x

33.（2020?鄂州）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高.小明說(shuō)：“這樓起碼20層！”

小華卻不以為然："20層？我看沒(méi)有，數(shù)數(shù)就知道了！”小明說(shuō)：“有本事，你不用數(shù)也能明

白！”小華想了想說(shuō)：“沒(méi)問(wèn)題！讓我們來(lái)量一量吧！”小明、小華在樓體兩側(cè)各選A、B兩點(diǎn)，

測(cè)量數(shù)據(jù)如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，ZA=30°,ZB=45°,

（A、C、D、B四點(diǎn)在同一直線(xiàn)上）問(wèn)：

（1）樓高多少米？

（2）若每層樓按3米計(jì)算，你支持小明還是小華的觀點(diǎn)呢？請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：

8=1.73,V2?1.41,6=2.24）

33.解：（1）設(shè)樓高為x米，則CF=DE=x米,

VZA=30°,ZB=45°,ZACF=ZBDE=90°,

.?.AC=島米，BD=x米，

AV3x+x=150-10,

解得x=——=70（V3-1）（米），

V3+1

樓高70（51）米.（2）x=70（A/3-1）=70（1.73-1）=70x0.73=51.1米<3x20米,

我支持小華的觀點(diǎn)，這樓不到20層.

34.（2020?十堰）某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A,B兩種新型節(jié)能臺(tái)燈共100盞，這兩種臺(tái)燈的進(jìn)價(jià)、

售價(jià)如表所示：

類(lèi)型價(jià)格進(jìn)價(jià)（元/盞）售價(jià)（元/盞）

A型3045

B型5070

（1）若商場(chǎng)預(yù)計(jì)進(jìn)貨款為3500元，則這兩種臺(tái)燈各購(gòu)進(jìn)多少盞？

（2）若商場(chǎng)規(guī)定B型臺(tái)燈的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A型臺(tái)燈數(shù)量的3倍，應(yīng)怎樣進(jìn)貨才能使商場(chǎng)

在銷(xiāo)售完這批臺(tái)燈時(shí)獲利最多？此時(shí)利潤(rùn)為多少元？

34.解：（1）設(shè)商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈x盞，則B型臺(tái)燈為（100-x）盞，

根據(jù)題意得,30x+50（100-x）=3500,

解得x=75,

所以，100-75=25,

答：應(yīng)購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈75盞，B型臺(tái)燈25盞；

（2）設(shè)商場(chǎng)銷(xiāo)售完這批臺(tái)燈可獲利y元，

則丫=（45-30）x+（70-50）（100-x）,

=15x+2000-20x,

=-5x+2000,

：B型臺(tái)燈的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A型臺(tái)燈數(shù)量的3倍，

.,.100-x<3x,

x>25,

Vk=-5<0,

；.x=25時(shí)，y取得最大值，為-5x25+2000=1875（元）

答：商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A型臺(tái)燈25盞，B型臺(tái)燈75盞，銷(xiāo)售完這批臺(tái)燈時(shí)獲利最多，此時(shí)利潤(rùn)為

1875%.

35.（2020?衢州）“五?一”假期，某火車(chē)客運(yùn)站旅客流量不斷增大，旅客往往需要長(zhǎng)時(shí)間排

隊(duì)等候檢票.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在車(chē)站開(kāi)始檢票時(shí)，有640人排隊(duì)檢票.檢票開(kāi)始后，仍有旅

客繼續(xù)前來(lái)排隊(duì)檢票進(jìn)站.設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的.檢票

時(shí)，每分鐘候車(chē)室新增排隊(duì)檢票進(jìn)站16人，每分鐘每個(gè)檢票口檢票14人.已知檢票的前a

分鐘只開(kāi)放了兩個(gè)檢票口.某一天候車(chē)室排隊(duì)等候檢票的人數(shù)y（人）與檢票時(shí)間x（分鐘）

的關(guān)系如圖所示.

（1）求a的值.

（2）求檢票到第20分鐘時(shí)，候車(chē)室排隊(duì)等候檢票的旅客人數(shù).

（3）若要在開(kāi)始檢票后15分鐘內(nèi)讓所有排隊(duì)的旅客都能檢票進(jìn)站，以便后來(lái)到站的旅客

隨到隨檢，問(wèn)檢票一開(kāi)始至少需要同時(shí)開(kāi)放幾個(gè)檢票口？

35.解:（1）由圖象知，640+16a-2x14a=520,

a=10；

（2）設(shè)當(dāng)104XW30時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,由題意，得

.10人+8=520

30k+b=0'

%=-26

解得:

工=780

y=-26x+780,當(dāng)x=2時(shí)，

y=260,

即檢票到第20分鐘時(shí)，候車(chē)室排隊(duì)等候檢票的旅客有260人.

（3）設(shè)需同時(shí)開(kāi)放n個(gè)檢票口，則由題意知

14nxi52640+16x15

4

解得：n54—，

21

為整數(shù)，

n=5.

答：至少需要同時(shí)開(kāi)放5個(gè)檢票口.

36.（2020?南充）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O,經(jīng)過(guò)點(diǎn)。

的直線(xiàn)交AB于E,交CD于F.

36.證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.OA=OC,AB〃CD,

.,.ZOAE=ZOCF,

?.,在4OAE和aOCF中，

ZAOE=ZCOF

<OA=OC,

NOAE=NOCF

/.△OAE^AOCF（ASA）,

.\OE=OF.

37.（2020?營(yíng)口）某中學(xué)為了解全校學(xué)生到校上學(xué)的方式，在全校隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)

行問(wèn)卷調(diào)查.問(wèn)卷給出了五種上學(xué)方式供學(xué)生選擇，每人只能選一項(xiàng)，且不能不選.同時(shí)把

調(diào)查得到的結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（均不完整）.請(qǐng)根據(jù)圖中提供

的信息解答下列問(wèn)題：

（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學(xué)生？

（2）通過(guò)計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“公交車(chē)”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角是多少度？

?

步行

20%

私豕車(chē)/公交車(chē)

車(chē)車(chē)主

37.解：（1）24+30%=80（名），

答:這次調(diào)查一共抽取了80名學(xué)生;

（2）80x20%=16（名），

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示;

4A5ft（A）

28

24

20

1616

12

8

4

0

自

步

行

行

車(chē)

（3）根據(jù)題意得:360°x—=117°,

80

答：在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“公交車(chē)”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角為117。；

（4）根據(jù)題意得：1600x3=200（名），

80

答：估計(jì)該校乘坐私家車(chē)上學(xué)的學(xué)生約有200名.

38.（2020?南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3,BC=7,ZB=60°,P為

BC邊上一點(diǎn)（不與B,C重合），過(guò)點(diǎn)P作/APE=NB,PE交CD于E.

（1）求證：AAPB-APEC；

（2）若CE=3,求BP的長(zhǎng).

39.(1)證明：I?等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,

/.ZB=ZC=60°,

VZAPC=ZB+ZBAP,

即NAPE+NEPC=NB+NBAP,

VZAPE=ZB,

AZBAP=ZEPC,

AAAPB^APEC；

(2)解：過(guò)點(diǎn)A作AF〃CD交BC于點(diǎn)F,

則四邊形ADCF是平行四邊形，4ABF為等邊三角形,

???CF=AD=3,AB=BF=7-3=4,

VAAPB-APEC,

.BPAB

??____一___，

ECPC

設(shè)BP=x,則PC=7-x,

VEC=3,AB=4,

?x_4

?.—=-----f

31-x

解得：Xi=3>X2=4,

經(jīng)檢驗(yàn)：xi=3,X2=4是原分式方程的解，

...BP的長(zhǎng)為：3或4.

40.(2020?隨州)如圖，。。是4ABC的外接圓，AB為直徑，/BAC的平行線(xiàn)交。。與

點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)分別交AB、AC的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)E、F.

(1)求證：AF1EF.

(2)小強(qiáng)同學(xué)通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：AF+CF=AB,請(qǐng)你幫忙小強(qiáng)同學(xué)證明這一結(jié)論.

?；EF是。。的切線(xiàn),

AOD±EF,

TAD平分NBAC,

AZCAD=ZBAD,

:.建D—占D，

A0D1BC,

???BC〃EF,

TAB為直徑，

AZACB=90°,

即AC1BC,

/.AF±EF；

(2)連接BD并延長(zhǎng)，交AF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,連接CD,

H

VAB是直徑，

AZADB=90°,

即ADXBH,

AZADB=ZADH=90°,

在4ABD和AADH中，

/HAD=/BAD

<AD=AD,

ZADH=ZADB

AAABD^AAHD(ASA),

；.AH=AB,

?.,EF是切線(xiàn)，

AZCDF=ZCAD,ZHDF=ZEDB=ZBAD,

???NEDF=NHDF,

VDF1AF,DF是公共邊，

AACDF^AHDF(ASA),

AFH=CF,

???AF+CF=AF+FH=AH=AB.

即AF+CF=ABo

1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.

(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母

的式子，?然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)檢驗(yàn)，寫(xiě)答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，?

是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫(xiě)出答案.

2.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量=原有量義增長(zhǎng)率現(xiàn)在量

=原有量+增長(zhǎng)量

3.等積變形問(wèn)題：常見(jiàn)幾何圖形的面積、體積、周長(zhǎng)計(jì)算公式，

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積X高=S?h=^-r2h

②長(zhǎng)方體的體積丫=長(zhǎng)X寬X高=a"

4.數(shù)字問(wèn)題

一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.十位數(shù)

可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

(1)商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品成本價(jià)(2)商品利潤(rùn)率=

商品利潤(rùn)又100%

商品成本價(jià)

(3)商品銷(xiāo)售額=商品銷(xiāo)售價(jià)X商品銷(xiāo)售量

(4)商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)=(銷(xiāo)售價(jià)一成本價(jià))X銷(xiāo)售量

(5)商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打

8折出售，即按原標(biāo)價(jià)的80%出售.

6.行程問(wèn)題：路程=速度X時(shí)間時(shí)間=路程+速度速度=路

程;時(shí)間

（1）相遇問(wèn)題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問(wèn)題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問(wèn)題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）

速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）

速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點(diǎn)考

慮相等關(guān)系.

7.工程問(wèn)題：工作量=工作效率X工作時(shí)間

完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

8.儲(chǔ)蓄問(wèn)題

利潤(rùn)=每個(gè)期的利息*100%利息=本金義利率義期數(shù)

本金

實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組題型歸納（練習(xí)題答案）

類(lèi)型一：列二元一次方程組解決一行程問(wèn)題

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時(shí)，

那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)

3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？

解：設(shè)甲，乙速度分別為x,y千米/時(shí)，依題意得：

（2.5+2）x+2.5y=36

3x+（3+2）y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時(shí)，乙的速度是3.6千米/每小時(shí)。

【變式2】?jī)傻叵嗑?80千米，一艘船在其間航行，順流用14小時(shí)，逆流

用20小時(shí)，求船在靜水中的速度和水流速度。

解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時(shí)，則水流速度y千米/小時(shí)，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得:x=17,y=3

答：這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時(shí)、水流速度3千米/小時(shí)，

類(lèi)型二：列二元一次方程組解決一一工程問(wèn)題

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢(qián)5.2

萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周完成，需工錢(qián)4.8萬(wàn)元.若

只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開(kāi)支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說(shuō)

明理由.

解：

設(shè)甲、乙兩公司每周完成工程的X和y,則

1

1

尹廣仁得10故1+工=10(周)11+工=15周

1_1015

4J+9/=1

即甲、乙完成這項(xiàng)工程分別需1。周，15周

又設(shè)需付甲、乙每周的工錢(qián)分別為3元，b萬(wàn)元?jiǎng)t

_3

6a+6b=5.2/曰"一§[10?=6（萬(wàn)元）

得,此時(shí)|；一

4a+9b=4.8-4[15b=4②兀）

15

比較知，從節(jié)約開(kāi)支角度考慮，選乙公司劃算

類(lèi)型三：列二元一次方程組解決一商品銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題

【變式1](2011湖南衡陽(yáng))李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜,

共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元,

李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝

【變式2】某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷(xiāo)售完后共獲利6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)

如下表：

AB

進(jìn)價(jià)（元/件）12001000

售價(jià)（元/件）13801200

（注：獲利=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件；

解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A的數(shù)量為x件、購(gòu)進(jìn)B的數(shù)量為y件，依據(jù)題意列方程組

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

類(lèi)型四：列二元一次方程組解決一銀行儲(chǔ)蓄問(wèn)題

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共

存了4000元錢(qián).第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相

同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀

行年利率為2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息303.75元（不計(jì)利息稅），問(wèn)小敏的

爸爸兩種存款各存入了多少元？

解：設(shè)x為第一種存款的方式，丫第二種方式存款，則

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,丫=2500。

答：略。

類(lèi)型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問(wèn)題

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與

兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問(wèn)用多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成

一批完整的盒子？

解：設(shè)x張做盒身，y張做盒底，則有盒身8x個(gè)，盒底22y個(gè)

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110張做盒身，80張做盒底

【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，

每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺

母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解:設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為x人，生產(chǎn)螺母的工人為v人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【變式3】一張方桌由1個(gè)桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做

桌面50個(gè)，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多

少?gòu)埛阶溃?/p>

解：設(shè)用X立方米做桌面，用Y立方米做桌腿

X+Y=5..........................(1)

50X：300Y=1：4.......................(2)

解得：Y=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

類(lèi)型六：列二元一次方程組解決一增長(zhǎng)率問(wèn)題

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人

口增加1.1%,這樣全市人口增加1%,求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬(wàn)人，農(nóng)村人口有v萬(wàn)人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解這個(gè)方程組，得：x=14,y=28

答：該市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有14萬(wàn)人，農(nóng)村人口有28萬(wàn)人。

類(lèi)型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問(wèn)題

【變式1】略

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。

如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽

比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

解：設(shè)：男有X人，女有丫人，則

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得:x=4,y=3

答：略

類(lèi)型八：列二元一次方程組解決一一數(shù)字問(wèn)題

【變式1］一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以

它的各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1,這個(gè)兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位數(shù)是X,個(gè)位數(shù)是y,則這個(gè)數(shù)是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23⑴

10x+y=5(x+y)+1(2)

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：這個(gè)兩位數(shù)是56

【變式2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個(gè)

位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)的一半還少9,求這個(gè)兩位數(shù)？

解：設(shè)個(gè)位X,十位丫，有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+Y=13

解得：X=9,Y=4

這個(gè)數(shù)就是49

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0,其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9,如果百位

數(shù)字減1,個(gè)位數(shù)字加1,則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，

求原三位數(shù)。

解：設(shè)原數(shù)百位是x,個(gè)位是y那么

x+y=9

x-y=1

兩式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原數(shù)是504

類(lèi)型九：列二元一次方程組解決一一濃度問(wèn)題

【變式1］要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水

各需多少？

解：設(shè)10%的X克，85%的丫克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即：X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：Y=5.6

答：略

【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲(chóng)最有效。用多少千克濃度為35%

的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

解：800千克1.75%的農(nóng)藥中含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800x1.75%=14千克

含14千克純農(nóng)藥的35%的農(nóng)藥質(zhì)量為14+35%=40千克

由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為800-40=760千克

答：用40千克濃度為35%的農(nóng)藥添加760千克的水，才能配成濃度為1.75%的農(nóng)藥

800千克。

類(lèi)型十：列二元一次方程組解決一幾何問(wèn)題

【變式1】用長(zhǎng)48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)

邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形

的面積比矩形面積大多少？

解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為x和y厘米，則

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得：x=15)y=9

正方形的面積比矩形面積大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答:略

【變式2】一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍多10m,它的周長(zhǎng)是132m,則長(zhǎng)和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長(zhǎng)為XJ寬為則

_142

_132

x-v......-x__F

2解得,

-56

2j+10=xr

斫以寬和長(zhǎng)分別為:m、-j-m

類(lèi)型十一：列二元一次方程組解決——年齡問(wèn)題

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后,

他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

解：設(shè)小李X歲，爺爺Y歲，則

5X=Y

3（X+12）=Y+12

兩式聯(lián)立解得：X=12Y=60

所以小李今年12歲，爺爺今年60歲。

類(lèi)型十二：列二元一次方程組解決一一優(yōu)化方案問(wèn)題:

【變式】某商場(chǎng)計(jì)劃撥款9萬(wàn)元從廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)，已知廠家生產(chǎn)三種不同

型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為：甲種每臺(tái)1500元，乙種每臺(tái)2100元，丙種每臺(tái)2500元。

（1）若商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電視機(jī)50臺(tái)，用去9萬(wàn)元，請(qǐng)你研究一下商

場(chǎng)的進(jìn)貨方案；

（2）若商場(chǎng)銷(xiāo)售一臺(tái)甲、乙、丙電視機(jī)分別可獲利150元、200元、250元，在以上的

方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進(jìn)貨方案？

解：（1）分情況計(jì)算：設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種電視機(jī)X臺(tái)，乙種電視機(jī)V臺(tái)，丙種電視機(jī)z臺(tái).

4x+J=50,r=25,

1500x+2100y=90000.解得‘

（I）購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種電視機(jī)y=25.

x+z=5O,r=35,

1500x+2500y=90000一解得‘

（口）購(gòu)進(jìn)甲、丙兩種電視機(jī)y=15.

Jjr+z=50,卜=875

（HI）購(gòu)進(jìn)乙、丙兩種電視機(jī)12]<?y+2500z=90000解得[y=-37_5一（不合實(shí)際，舍去）

故商場(chǎng)進(jìn)貨方案為購(gòu)進(jìn)甲種25臺(tái)和乙種25臺(tái)；或購(gòu)進(jìn)甲種35臺(tái)和丙種15臺(tái).

（2）按方案（I），獲利150x25+200x25=8750（元）；

按方案（口），獲利150x35+250xl5=9000（元）.

二選擇購(gòu)進(jìn)甲種35臺(tái)和丙種15臺(tái).

三、列方程解應(yīng)用題

1.將一批工業(yè)最新動(dòng)態(tài)信息輸入管理儲(chǔ)存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6小時(shí)，乙獨(dú)做需4小時(shí)，甲先

做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時(shí)才能完成工作？

2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍?

3.將一個(gè)裝滿(mǎn)水的內(nèi)部長(zhǎng)、寬、高分別為300毫米，300毫米和80?毫米的長(zhǎng)方體鐵盒中的

水，倒入一個(gè)內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高(精確到

0.1毫米，乃《=3.14).

4.有一火車(chē)以每分鐘600米的速度要過(guò)完第一、第二兩座鐵橋，過(guò)第二鐵橋比過(guò)第一鐵橋

需多5秒，又知第二鐵橋的長(zhǎng)度比第一鐵橋長(zhǎng)度的2倍短50米，試求各鐵橋的長(zhǎng).

5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5,?這種三色冰淇淋

中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克？

6.某車(chē)間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4個(gè).在這16名工人中,

一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.?已知每加工一個(gè)甲種零件可獲利16元,

每加工一個(gè)乙種零件可獲利24元.若此車(chē)間一共獲利1440元，?求這一天有幾個(gè)工人加

工甲種零件.

7.某地區(qū)居民生活用電基本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，若每月用電量超過(guò)a千瓦時(shí)，則超過(guò)

部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi).

(1)某戶(hù)八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費(fèi)30.72元，求a.

(2)若該用戶(hù)九月份的平均電費(fèi)為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？?應(yīng)交電費(fèi)是

多少元？

8.某家電商場(chǎng)計(jì)劃用9萬(wàn)元從生產(chǎn)廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī).已知該廠家生產(chǎn)3?種不同型號(hào)

的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元.

(1)若家電商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬(wàn)元，請(qǐng)你研究一下

商場(chǎng)的進(jìn)貨方案.

(2)若商場(chǎng)銷(xiāo)售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，